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届高三 月质量检测数学
２０２６ ３
参考答案、提示及评分细则
．【答案】
１ C
( )
【解析】由题意可得A B ７ 故 B ７ 故 B A 故选 ．
＝{２,３,４}, ＝ ,＋∞ , ∁ R ＝(－∞, ], (∁ R )∩ ＝{２}, C
３ ３
．【答案】
２ B
【解析】由题意可得z２ ２ ２ 于是 z２ ２ ２ 故选 ．
＝(２－i)＝４－４i＋i＝３－４i, ＋１ ＝ ４－４i＝ ４＋(－４)＝４２, B
．【答案】
３ A
【解析】对于甲 由 x 得x 对于乙 由 x 得x 可知甲是乙的充分不必要条
, ln ＞０ ∈(１,＋∞), , ln ≥０ ∈[１,＋∞),
件 故选
, A．
．【答案】
４ D
a b ( ) ( )
【解析】由题意可得 xa b 即 x １ a b x １ x 解得x １或 故选 ．
b２ ＝ ( ), － ( )＝ － (＋２)＝０, ＝ －２, D
２ ２ ２
．【答案】
５ B
【解析】因为 BM AM 所以点M 在y轴左侧 如图 作MN x轴 垂足为
＞ , , , ⊥ ,
N．由 BAM ４ 得 BAM ４ 所以 MN AM BAM 即
tan∠ ＝ , sin∠ ＝ , ＝ sin∠ ＝８,
３ ５
yM
＝８,
则 AN
＝ １０
２
－８
２
＝６,
BN
＝ (４ １３)
２
－８
２
＝１２,
所以 AB
＝
a 即a 则x 故选 ．
２ ＝１８, ＝９, M ＝－９＋６＝－３, B
．【答案】
６ C
【解析】先安排队头有A１ 种排法 再安排队尾有A１ 种排法 然后安排 名女同学有A４ 种排法 最后在 名女
３ , ２ , ４ ４ , ４
同学中安排剩下男同学有A１ 种排法 根据分步乘法计数原理可知 不同的排法种数为A１A１A４A１ 故
３ , , ３ ２ ４ ３＝４３２,
选
C．
．【答案】
７ D
( ) θ θ θ
【解析】由题意可得 θ π tan －１ 解得 θ 显然 θ θ θ ２sincos
tan － ＝ θ＝２, tan ＝－３, sin２ ＝２sincos ＝ ２θ ２θ＝
４ １＋tan cos ＋sin
θ ２θ ２θ ２θ ( )
２tan －６ ３ θ cos －sin １－tan １－９ ４ 于是 θ π ２ θ
２θ＝ ＝－ ,cos２ ＝ ２θ ２θ＝ ２θ＝ ＝－ , sin ２ ＋ ＝ (sin２ ＋
１＋tan １＋９ ５ cos ＋sin １＋tan １＋９ ５ ４ ２
θ ７２ 故选 ．
cos２ )＝－ , D
１０
．【答案】
８ A
【解析】注意到x n n 时 fx 由周期性可知在定义域上fx 而当x n n 时 若
∈[－１,) , ( )≤０, ( )≤０, ∈[ －１,) ,
( n)２ n２
n 则fx x 在 n n 上单调递增 注意到fn n 可知fx 在
≥２, ()＝ － － [ －１, ) , ( －１)＝－( －１), ( )
２ ４
n n 上的值域为 n 于是当k 时y kx与y fx 在n n 上有交点 故在
[－１,) [－(－１),０), ∈[－１,０) ,＝ ＝ ( ) [－１,) ,
上必有无穷个交点 符合要求．当k 时x 时有kx fx x 时kx fx 故交点
(０,＋∞) , ＜－１ ,＞０ ＜ ( ), ＜０ ＞０＞ ( ),
个数有限．当k 时 注意到f n f n f 可知fx 有无穷个零点 符合要求．当
＝０ , (－ )＝ (－ ＋１)＝＝ (０)＝０, () ,
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 １ ( ５ )】
{#{QQABDYKpxggwkpTACA5LQ0UqCQiYsJCgLMgExRCQOARCSRFABIA=}#}k 时 注意到x 时fx xx 故x １时kx fx 故在 上的交点
＞０ , ∈[０,１) ()＝ (－１)＞－１, ＜－k ＜－１＜ ( ), (－∞,０)
个数有限 而x 时kx fx 可得交点个数有限．综上 由题意知k 故选
, ＞０ ＞０＞ (), , ∈[－１,０], A．
．【答案】
９ BC
( )
【解析】对于 fx 的最小正周期T 可得 错误 对于 选项 显然fx 在区间 π ２π 上有定义 显然其
A,() ＝π, A ; B , () , ,
３ ３
( ) ( ) é ( )ù ( )
在连续定义域上单调递增 故 正确 对于 f π x ２π x ê ê x π ú ú x π
, B ; C, － ＝tan － ＝tanëπ－ ＋ û＝－tan ＋ ＝
３ ３ ３ ３
( )
fx 可得曲线y fx 关于点 π 中心对称 故 正确 对于 由单调性和周期性可知fx 在
－ (), ＝ () ,０ , C ; D, ()＝ ３
６
和 上各只有一个解 矛盾 故 错误 故选
(０,π] (π,２π] , , D , BC．
．【答案】
１０ AD
【解析】易得f′x x２ 由f′x x２ 解得 x
()＝－３ ＋３, ( )＝－３ ＋３＞０, －１＜ ＜１,
由f′x x２ 解得x 或x 所以fx 在 和
()＝－３ ＋３＜０, ＜－１ ＞１, ( ) (－∞,－１)
上单调递减 在区间 上单调递增 所以x x 分别
(１,＋∞) , (－１,１) , ＝－１, ＝１
为fx 的极小值点和极大值点 则fx 有两个极值点 故 正确 因为
( ) , ( ) , A ;
x 所以 x x 根据fx 在区间 上单调递增 所以
０＜ ＜１, ０＜ ＜ ＜１, ( ) (０,１) ,
f ( x )＞ f ( x ), 故 B 错误 ; f ( x )极小值 ＝ f (－１)＝－４＜０, f ( x )极大值 ＝ f (１)
f 结合fx 的单调性 作出fx 的大致图象 由右图可
＝０,(－３)＝１６＞０, () , () ,
知fx 有两个零点 故 错误 结合图象可知不等式fx 的解集为
,() , C ; ( )＜０
{xx 且x } 故 正确 故选 ．
＞－２, ≠１ , D ; AD
．【答案】
１１ AC
【解析】由双曲线定义及点P在右支上可知 AP PB a 又已知 AP PB 解得 PB a
,| |－| |＝２ , | |＝２| |, | |＝２ ,
AP a 由三角形三边关系得 a a c a a 化简得a c a 故双曲线离心率e 在
| |＝４ , ４ －２ ＜２ ＜４ ＋２ , ＜ ＜３ , ∈(１,３),
a２ c２ a２ c２ a２ a２ a２ c２
APB中 由余弦定理得 PBA ４ ＋４ －１６ －３ APB １６ ＋４ －４
△ , cos∠ ＝ a c ＝ ac ,cos∠ ＝ a a ＝
２(２ )(２ ) ２ ２(４ )(２ )
a２ c２
５ － 对于选项 若 APB为锐角三角形 则必须满足 PBA 且 APB 解得 e
a２ , A, △ , cos∠ ＞０ cos∠ ＞０, ３＜ ＜
４
故 正确 对于选项 若 APB为钝角三角形 则满足 PBA 或 APB 解得 e
５, A ; B, △ , cos∠ ＜０ cos∠ ＜０, １＜ ＜
a２ c２ a２ a２ c２
或 e 故e 不一定成立 故 错误 对于选项 PAB １６ ＋４ －４ ３ ＋
３ ５＜ ＜３, ＞ ５ , B ; C,cos∠ ＝ a c ＝ ac ＝
２(４ )(２ ) ４
( ) ( )
１ ３ e 因为e 由基本不等式得１ ３ e ３ 当且仅当e 时等号成立 此时 PAB
e＋ , ∈(１,３), e＋ ≥ , ＝ ３ , cos∠
４ ４ ２
取得最小值 即 PAB取得最大值 将e 代入得 PBA 即 PBA 此时 APB为直角三
, ∠ , ＝ ３ cos∠ ＝０, ∠ ＝９０°, △
角形 故 正确 对于选项 APB的面积S １ AP PB APB a２ APB 当 APB
, C ; D,△ ＝ | || |sin∠ ＝４ sin∠ , ∠ ＝９０°,
２
即e 时面积取得最大值 a２ 但当 PBA 即e 时 APB也为直角三角形 此时面积为 a２
＝ ５ ４ , ∠ ＝９０°, ＝ ３ △ , ２３
并非最大值 故 错误 故 ．
, D ; AC
．【答案】
１２ ４０
a a
【解析】由等差数列的定义可得 n n ＝ １ ＋２( n －１)＝２ n －１, 故a n ＝(２ n －１)２ n , 故a ３＝５×２ ３ ＝４０, 故答案
２ ２
为 ．
４０
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【 ２ ( ５ )】
{#{QQABDYKpxggwkpTACA5LQ0UqCQiYsJCgLMgExRCQOARCSRFABIA=}#}．【答案】
１３ lg２
I I I I
【解析】设材料乙的透射光光强为I
,
A甲
＝lg
０
＝lg
２
I
０
＝lg２＋lgI
０
,
A乙
＝lgI
０
,
于是A甲
－
A乙
＝lg２,
故
１I
２
答案为 ．
lg２
．【答案】８０
１４
２４３
ì ì
ï ï
pn １９ pn ８ ì ï
ïï１－ ＝ ïï ＝ ïp ２ ( )
【解析】由题意知í ２７ 可得í ２７ 解得í ＝ 故X B ２
ï , ï , ïï ３, ~ ６, ,
î ï １－ pn ＋１ ＝ ６５ î ïpn ＋１ ＝ １６ în ＝３ ３
８１ ８１
PX k Ck
(
２
)k (
１
)６－ k Ck
６２
k
．PX １ PX １２PX ６０
( ＝ )＝ ６ ＝ ６ ( ＝０)＝ ６ , ( ＝１)＝ ６ , ( ＝２)＝ ６ ,
３ ３ ３ ３ ３ ３
PX １６０PX ２４０PX １９２PX ６４ 可知PX k 的最大值为P X
( ＝３)＝ ６ , ( ＝４)＝ ６ , ( ＝５)＝ ６ , ( ＝６)＝ ６ , ( ＝ ) ( ＝４)＝
３ ３ ３ ３
８０ 故答案为８０．
,
２４３ ２４３
．【解析】 平均每年的研发投入为x １ ． ． ． ． ． ． ． ． ．
１５ (１) ＝１２＋ (０１＋０５－０７＋０４＋１１－０５－１－０７＋０６＋０２)＝１２
１０
分
２
平均每年的营业额为y １ ． 分
＝６００＋ (５０＋８０＋２０＋６０＋９５＋４０＋０＋３０＋６５＋６０)＝６５０ ４
１０
将所给数据代入相关系数计算公式得r
i∑ １
＝
０
１
( x i － x )( y i － y )
１６９
．
５ ． 分
(２) ＝ １０ １０ ＝ ． ８
i∑( x i － x ) ２ i∑( yi － y ) ２ ４２６× ７２５０
＝１ ＝１
．
其中 ． 所以r １６９５ ． ． 分
４２６× ７２５０＝ ３０８８５≈１７６, ≈ ≈０９６ １０
１７６
由题意知 回归直线过样本中心点 即 b 解得b ． 分
(３) , (１２,６５０), ６５０＝１２ ＋１７０, ＝４０ １１
所以回归方程为^ y x ．将x ．代入回归方程 得^ y ． 故预测该公司今年的
＝４０ ＋１７０ ＝１３５ , ＝１３５×４０＋１７０＝７１０,
营业额为 亿元． 分
７１０ １３
．【解析】 此时CE→ CD→ DE→ AB→ １AA→ 分
１６ (１) ２＝ ＋ ２＝－ ＋ １, １
２
EA→ EB→ BA→ AB→ １AA→ 分
１ １＝ １ １＋ １ １＝－ ＋ １, ２
２
于是CE→ EA→ 而AE 不与CE 共面 可得CE AE 分
２＝ １ １, １ １ ２ , ２∥ １ １, ３
由AE 平面ACE CE 平面ACE 可得CE 平面ACE ． 分
１ １⊂ １ １ １, ２⊄ １ １ １, ２∥ １ １ １ ４
以A为坐标原点 AB→的方向为x轴正方向 AD→的方向为y轴正方向 AA→的方
(２) , , , １
向为z轴正方向 建立空间直角坐标系A xyz 分
, － , ５
λ
不妨设AB AA λ 则A C E A λ C λ AC→ AC→
＝１, １＝ ＞０, (０,０,０), (１,１,０),１(１,０, ), １(０,０,),１(１,１,), ＝ １ １＝
２
λ λ
AE→ AE→ 分
(１,１,０), １＝(１,０, ),１ １＝(１,０,－ ), ７
２ ２
{n AC→ ì ï ï x １＋ y １＝０
记平面ACE １ 的法向量为n １＝( x １, y １, z １), n １ AE→ ＝０ , 即í ïïx λz １ , 可取n １＝(－ λ , λ ,２), ９ 分
１ １＝０ î １＋ ＝０
２
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【 ３ ( ５ )】
{#{QQABDYKpxggwkpTACA5LQ0UqCQiYsJCgLMgExRCQOARCSRFABIA=}#}{n AC→ ì ï ï x ２＋ y ２＝０
记平面A １ C １ E １ 的法向量为n ２＝( x ２, y ２, z ２), n ２ A １ E→ １＝０ , 即í ïïx λz ２ , 可取n ２＝( λ ,－ λ ,２),
２ １ １＝０ î ２－ ＝０
２
分
１１
记平面ACE 与平面ACE 夹角为θ 则 θ １ |
n
１
n
２| |－２
λ２
＋４| |２－
λ２
| 分
１ １ １ １ , cos＝ ＝n n ＝ λ２ ＝ λ２ , １２
３ | １|| ２| ２ ＋４ ２＋
λ 时 λ２ λ２λ 分
＜ ２ ,６－３ ＝２＋ ,＝１, １３
λ 时 λ２ λ２λ 分
＞ ２ ,３ －６＝２＋ ,＝２, １４
AA
故 １ λ 或 ． 分
AB＝ ＝１ ２ １５
p
．【解析】 抛物线Cx２ pyp 的准线为y 由点Tt 在C的准线上 得p 分
１７ (１) : ＝２ ( ＞０) ＝－ , (,－１) , ＝２ ２
２
所以抛物线C的方程为x２ y． 分
＝４ ３
( ) ( )
由 知 抛物线Cy １x２ 设Ax １x２ Bx １x２ 求导得y′ １x 分
(２) (１) , :＝ , １, １ , ２, ２ , ＝ , ６
４ ４ ４ ２
１x２
１＋１ x
直线TA的斜率k
TA ＝
４
x t ＝
１
,
整理得x２
１－２
tx
１－４＝０,
同理x２
２－２
tx
２－４＝０ ８
分
１－ ２
x x x
因此x
１,
x
２
为方程x２
－２
tx
－４＝０
的两个根
,
x
１
x
２＝－４,
而直线TB斜率k
TB ＝
２
,
则k
TA
k
TB ＝
１
２
２ ２ ２
所以TA TB． 分
＝－１, ⊥ １１
若点Ax y Bx y 即x２ y x２ y 则由 知 y tx y tx 因此
(３) (１,１), (２,２), １＝４ １,２＝４ ２, (２) ,４ １－２ １－４＝０,４ ２－２ ２－４＝０,
点AB的坐标满足方程 y tx 即 tx y 分
, ４ －２ －４＝０, ２ －４ ＋４＝０ １３
t
则直线AB的方程为 tx y 其斜率为k 所以当t 时 直线AB的斜率为１． 分
２ －４ ＋４＝０, ＝ , ＝１ , １５
２ ２
．【解析】 由题意可得f′x x２ x x x３ x x x３ x x x２ xx x x x x 分
１８ (１) ()＝３ esin ＋ esin ＋ ecos ＝ e(sin ＋ cos ＋３sin ), ３
故曲线y fx 在x 处的切线斜率为f′ ． 分
＝ () ＝０ (０)＝０ ４
即极值点满足x x x x 分
(２)(i) n(sin n ＋cos n)＋３sin n ＝０, ５
x x
显然 x 得sin n ＋cos n １ ３ 分
sin n ≠０, x n ＝１＋ x n＝－x n＜０, ７
sin tan
即 １ 可得 x 分
x n＜－１, －１＜tan n ＜０, ８
tan
(ii)
注意到x
n ＝ －
３
１ ＝ － sin x
３
n
si
＋
n x
co
n
s x n ,
于是f
(
x
n)＝ － (sin
２
x
７
n
s
＋
in
c
３
o
x
s x
n
n) ３ e
xn
sin
x
n ＝
１＋ x n
tan
２７e
xn
sin
４x
n 分
－ (sin x n ＋cos x n) ３ , １１
xn x
题中不等式等价于 (sin x n e ＋cos x n) ３＜ (sin x n e ＋c n os x n) ３ , 而 (sin x n ＋cos x n) ３ ＝cos ３x n (tan x n ＋１) ３ , 显然
x 可知不等式等价于 xn x x 分
tan n ＋１＞０, (e －e n)cos n ＜０, １３
设gx x xg′x x x 时 g′x gx 单调递减 x 时 g′x
()＝e－e , ()＝e－e,∈(－∞,１) , ( )＜０, ( ) ; ∈(１,＋∞) , ( )＞０,
gx 单调递增 分
() , １５
于是g ( x )≥ g (１)＝０, 而x n ≠１, 可得 e xn －e x n ＞０, 故 cos x n ＜０, １６ 分
结合 x 可得x 为第二象限角． 分
－１＜tan n ＜０ n １７
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【 ４ ( ５ )】
{#{QQABDYKpxggwkpTACA5LQ0UqCQiYsJCgLMgExRCQOARCSRFABIA=}#}．【解析】 由题意可知 三角形OPP 为直角三角形 且 OP P ．在 OPP 中 OP
１９ (１) , n n ＋１ , ∠ n ＋１ n ＝９０° Rt△ n n ＋１ ,| n ＋１|
OP θ 又因为 OP 所以数列 OP 是以 为首项 θ为公比的等比数列 则 OP
＝| n |cos, | １|＝１, {| n |} １ ,cos , | n |＝
θn －１ n －１θ． 分
(cos) ＝cos ２
在
Rt△
OP
n
P
n ＋１
中
,|
P
n
P
n ＋１|＝|
OP
n |sin
θ
＝sin
θ
cos
n －１θ
,
所以数列
{|
P
n
P
n ＋１|}
是以
sin
θ为首项
,cos
θ
θ nθ
为公比的等比数列 其前n项和S 为S sin (１－cos )． 分
, n n ＝ θ ４
１－cos
(２)
存在这样的实数λ．设射线l
１,
l
２,
l
３
方向上的单位向量分别为e→
１,
e→
２,
e→
３,
由
(１)
可知
|
OP
n |＝cos
n －１θ．对
于向量PP→ 有PP→ OP→ OP→ OP e→ OP e→ θe→ e→． 分
１ ２, １ ２＝ ２－ １＝| ２|２－| １|１＝cos ２－ １ ６
对于向量P
４
P→
５,
由于点列P
n
所在射线按l
１,
l
２,
l
３
顺序循环
,
故P
４
在l
１
上
,
P
５
在l
２
上
,
则P
４
P→
５＝
OP→
５－
OP→ OP e→ OP e→． 分
４＝| ５|２－| ４|１ ８
由 代入可得PP→ ４θe→ ３θe→ ３θ θe→ e→ 对比可得PP→ ３θPP→．因此存在实
(１), ４ ５＝cos ２－cos １＝cos (cos ２－ １), ４ ５＝cos １ ２
数λ ３θ 使得PP→ λPP→． 分
＝cos , ４ ５＝ １ ２ １０
(３) 记a n ＝| P １ P→n | ２．由向量模长公式可得a n ＝| P １ P→n | ２ ＝| OP→n － OP→ １| ２ ＝| OP→n | ２ ＋| OP→ １| ２ －２ OP→n OP→ １,
又已知
|
OP→
１|＝１,
且由
(１)
知
|
OP→n
|＝cos
n －１θ
,
故a
n ＝cos
２(n －１)θ
＋１－２
OP→n OP→
１
．
１２
分
当n
＝３
k
－２(
k
∈
N∗
)
时
,
此时P
n
位于射线l
１
上
,
OP→n 与OP→
１
同向．OP→n OP→
１＝|
OP
n ||
OP
１|cos０°＝
cos
n －１θ
,
则a
n ＝cos
２(n －１)θ
＋１－２cos
n －１θ
＝(１－cos
n －１θ
)
２．
当n
≠３
k
－２(
k
∈
N∗
)
时
,
此时P
n
位于射线l
２
或l
３
上．由题意知
,
射线l
１
与l
２、
l
３
的夹角均为θ．
OP→n OP→ １＝| OP n || OP １|cos θ ＝cos n －１θ cos θ ＝cos nθ , 则a n ＝１＋cos ２ n －２θ －２cos nθ．综上所述 ,
{ n －１θ２ n k k N∗
|
P
１
P→n
|
２
＝
(１－cos
２ n －２θ
),
nθ n
＝３
k
－２(
k
∈
N∗
) ．
１４
分
１＋cos －２cos , ≠３ －２(∈ )
下面证明 : 当n ≥２ 时 , 点P n 始终在以P １ 为球心 ,１ 为半径的球内 , 即证明对于任意n ≥２, 都有 | P １ P→n | ２ ＜１ ．当
n
＝３
k
－２(
k
∈
N∗
)
且n
≥２
时
,|
P
１
P→n
|
２
＝(１－cos
n －１θ
)
２
,
因为
０＜
θ
＜
π
,
所以
０＜cos
θ
＜１,
进而
０＜cos
n －１θ
２
＜１,
所以
０＜１－cos
n －１θ
＜１,
故
(１－cos
n －１θ
)
２
＜１
成立．当n
≠３
k
－２(
k
∈
N∗
)
且n
≥２
时
,|
P
１
P→n
|
２
＝１＋
２ n －２θ nθ 要证该式小于 只需证 ２ n －２θ nθ 也即证 nθ n －２θ 因为
cos －２cos , １, cos －２cos ＜０, cos (cos －２)＜０,
θ 所以 nθ 又因为 n －２θ 所以 n －２θ 所以上述不等式恒成立 即
０＜cos＜１, cos ＞０, cos ≤１, cos －２≤－１＜０, ,
| P １ P→n | ２ ＜１ 成立 , 综上所述 , 当n ≥２ 时 , 点P n 始终在以P １ 为球心 ,１ 为半径的球内． １７ 分
评分细则 第三问若考生在证明的时候利用几何的角度去说明解释 只要逻辑严谨过程合理均酌情给分．
【 】 ,
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ５ ( ５ )】
{#{QQABDYKpxggwkpTACA5LQ0UqCQiYsJCgLMgExRCQOARCSRFABIA=}#}
