文档内容
2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共5页，150分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试
卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项。
1．已知集合 A=-1,0,1,2,B= x 0< x<3 ，则A B=
I
A. -1,0,1
B. 0,1
C. -1,1,2
D. 1,2
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2），则i×z=
A. 1+2i
B. -2+i
C. 1-2i
D. -2-i
5
3．在 x -2 的展开式中，x2的系数为
A.-5
B.5
C.-10
D.10
4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为
A.6+ 3
第1页 | 共8页B. 6+2 3
C. 12+ 3
D. 12+2 3
5．已知半径为1的圆经过点3,4，则其圆心到原点的距离的最小值为
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
6．已知函数 f x=2x -x-1，则不等式 f(x)>0的解集是
(A) -1,1
(B) -¥,-1 1,+¥
U
(C) 0,1
(D) -¥,0 1,+¥
U
7．设抛物线的顶点为O，焦点为F ，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，
过P作PQ^l于Q，则线段FQ的垂直平分线
(A) 经过点O
(B) 经过点P
第2页 | 共8页(C) 平行于直线OP
(D) 垂直于直线OP
a
8．在等差数列 n 中，a =-9，a =-1，记T =aa … a n=1,2,… ,则数列T
1 5 n 1 2 n n
（A）有最大项，有最小项
（B）有最大项，无最小项
（C）无最大项，有最小项
（D）无最大项，无最小项
9．已知a，bÎR，则“存在kÎZ 使得a=kp+-1k b”是“sina=sinb”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π
Day）.历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似
，数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边
形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的
算术平均数作为2π的近似值，按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是
30° 30°
（A）3（n sin +tan ）
n n
30° 30°
（B）6（n sin +tan ）
n n
60° 60°
（C）3（n sin +tan ）
n n
60° 60°
（D）6（n sin +tan ）
n n
第3页 | 共8页第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
1
11．函数 f(x)= +Inx的定义域是_________.
x+1
x2 y2
12．已知双曲线C: - =1，则C 的右焦点的坐标为_________:
6 3
C 的焦点到其渐近线的距离是_________.
uuur 1 uuur uuur uuur
13．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP= (AB+ AC)，则 PD =_____
2
uuur uuur
____；PB×PD=_________.
14．若函数 f(x)=sin(x+j)+cosx的最大值为2，则常数j的一个取值为______
___.
15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求企业加强污水治理，排放未
达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t的关系为W = f(t)，
f(b)- f(a)
用- 的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知
b-a
整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
第4页 | 共8页给出下列四个结论：
① 在[t ,t ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
1 2
② 在t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
2
③ 在t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
3
④ 甲企业在[0,t ],[t ,t ],[t ,t ]这三段时间中，在[0,t ]的污水治理能力最强.
1 1 2 2 3 1
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．(本小题13分)
如图，在正方体ABCD-ABC D 中，E为BB 的中点，
1 1 1 1 1
(Ⅰ)求证: BC 平面ADE；
1P 1
(Ⅱ)求直线AA 与平面ADE所成角的正弦值。
1 1
第5页 | 共8页17．(本小题13分)
在 ABC中，a+b=11,
V
再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求:
(I) a的值；
(II) sinC 和 ABC的面积.
V
1
条件①: c=7, cosA=- ;
7
1 9
条件②: cosA= ，cosB= 。
8 16
注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。
18.（本小题14分）
某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、
方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获
得数据如下表：
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中
恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 p 。假设该校一年级有500名
0
男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p
1
，试比较 p 与 p 的大小。（结论不要求证明）
0 1
第6页 | 共8页19．（本小题15分）
已知函数 f(x)=12-x2。
（Ⅰ）求曲线y = f(x)的斜率等于-2的切线方程；
（Ⅱ）设曲线y = f(x)在点(t, f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
S(t)，求S(t)的最小值.
20．（本小题15分）
x2 y2
已知椭圆C: + =1过点A(-2,-1)，且a =2b。
a2 b2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M ，N ，直线MA，NA分别交直线
|PB|
x=-4于点P，Q.求 的值.
|BQ|
第7页 | 共8页21.（本小题15分）
已知{a }是无穷数列，给出两个性质：
n
a2
①对于{a }中任意两项a ,a (i＞j)，在{a }中都存在一项a ，使得 i =a ；
n i j n m a m
j
②对于{a }中任意一项a (n³3)，在{a }中都存在两项a ,a (k＞l)，使得
n n n k l
a 2
a = k .
n a
l
（Ⅰ）若a =n(n=1,2,...)，判断数列{a }是否满足性质①，说明理由；
n n
（Ⅱ）若a =2n-1(n=1,2,...)，判断数列{a }是否同时满足性质①和性质②，说
n n
明理由；
（Ⅲ）若{a }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a }为等比数
n n
列.
第8页 | 共8页
