文档内容
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答
案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中
，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x2 -3x-4<0},B={-4,1,3,5}，则A
I
B=（ ）
{-4,1} {1,5}
A. B.
{3,5} {1,3}
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A
I
B，得到结果.
【详解】由x2 -3x-4<0解得-1< x<4，
所以A=x|-1< x<4
，
又因为B=-4,1,3,5 ，所以A I B=1,3 ，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集
合，集合的交运算，属于基础题目.
2.若z=1+2i+i3，则|z|=（ ）
A. 0 B. 1
第1页 | 共23页C 2 D. 2
.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据i2 =-1将z化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
【详解】因为z =1+2i+i3 =1+2i-i =1+i，所以 z = 12 +12 = 2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的
高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与
底面正方形的边长的比值为（ ）
5-1 5-1 5+1 5+1
A. B. C. D.
4 2 4 2
【答案】D
【解析】
【分析】
1
设CD =a,PE =b，利用PO2 = CD×PE得到关于a,b的方程，解方程即可得到答案.
2
a2
【详解】如图，设CD =a,PE =b，则PO = PE2 -OE2 = b2 - ，
4
第2页 | 共23页1 a2 1 b b
由题意PO2 = ab，即b2 - = ab，化简得4( )2 -2× -1=0，
2 4 2 a a
b 1+ 5
解得 = （负值舍去）.
a 4
故选：C.
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容
易题.
4.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（
）
1 2
A. B.
5 5
1 4
C. D.
2 5
【答案】A
【解析】
【分析】
列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算
即可.
【详解】如图，从O,A,B,C,D5个点中任取3个有
{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C}
{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D}
第3页 | 共23页{A,C,D},{B,C,D}共10种不同取法，
3点共线只有{A,O,C}与{B,O,D}共2种情况，
由古典概型的概率计算公式知，
2 1
取到3点共线的概率为 = .
10 5
故选：A
【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是
一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个
不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x,y )(i=1,2, ,20)得到下面的散点图：
i i L
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回
归方程类型的是（ ）
A. y=a+bx B. y =a+bx2
C. y=a+bex D. y =a+blnx
【答案】D
第4页 | 共23页【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y =a+blnx.
故选：D.
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
6.已知圆x2 + y2 -6x=0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线和圆心与点(1,2)连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆x2 + y2 -6x=0化为(x-3)2 + y2 =9，所以圆心C坐标为C(3,0)，半径为3，
设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦
长最短，
根据弦长公式最小值为2 9-|CP|2 =2 9-8 =2.
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
π
7.设函数 f(x)=cos(wx+ )在[-π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
6
第5页 | 共23页10π 7π
A. B.
9 6
4π 3π
C. D.
3 2
【答案】C
【解析】
【分析】
æ 4p ö æ 4p pö æ 4p ö
由图可得：函数图象过点ç - ,0 ÷，即可得到cos ç - ×w+ ÷ =0，结合ç - ,0 ÷是
è 9 ø è 9 6 ø è 9 ø
4p p p 3
函数 f x 图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到- ×w+ =- ，即可求得w=
9 6 2 2
，再利用三角函数周期公式即可得解.
æ 4p ö
【详解】由图可得：函数图象过点ç - ,0 ÷，
è 9 ø
æ 4p pö
将它代入函数 f x 可得：cos ç - ×w+ ÷ =0
è 9 6 ø
æ 4p ö
又ç - ,0 ÷是函数 f x 图象与x轴负半轴的第一个交点，
è 9 ø
4p p p 3
所以- ×w+ =- ，解得：w=
9 6 2 2
2p 2p 4p
T = = =
所以函数 f x 的最小正周期为 w 3 3
2
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中
第6页 | 共23页档题.
8.设alog 4=2，则4-a =（ ）
3
1 1 1 1
A. B. C. D.
16 9 8 6
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到log 4a =2，即4a =9，进而求得
3
1
4-a = ，得到结果.
9
【详解】由alog 4=2可得log 4a =2，所以4a =9，
3 3
1
所以有4-a = ，
9
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数
的运算法则，属于基础题目.
9.执行下面的程序框图，则输出的n=（ ）
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图的算法功能可知，要计算满足1+3+5+ +n>100的最小正奇数n，根据等
L
第7页 | 共23页差数列求和公式即可求出．
【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n是满足1+3+5+ +n>100的最小正奇
L
数，
æn-1 ö
1+n´ +1
ç ÷
因为
1+3+5+ +n=
è 2 ø
=
1 n+12
>100
，解得n>19，
L
2 4
所以输出的n=21．
故选：C
.
【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n项和公式的应用，属
于基础题．
10.设{a }是等比数列，且a +a +a =1，a +a +a =2，则a +a +a =（ ）
n 1 2 3 2 3 4 6 7 8
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 q 的值，再由a +a +a =q5a +a +a 可求得结果.
6 7 8 1 2 3
【详解】设等比数列 a 的公比为 q ，则a +a +a =a 1+q+q2 =1，
n 1 2 3 1
a +a +a =aq+aq2 +aq3 =aq 1+q+q2 =q=2，
2 3 4 1 1 1 1
因此，a +a +a =aq5 +aq6 +aq7 =aq5 1+q+q2 =q5 =32.
6 7 8 1 1 1 1
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
y2
11.设F,F 是双曲线C:x2 - =1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，
1 2
3
则△PFF 的面积为（ ）
1 2
7 5
A. B. 3 C. D. 2
2 2
【答案】B
第8页 | 共23页【解析】
【分析】
由V F
1
F
2
P是以P为直角直角三角形得到|PF
1
|2 +|PF
2
|2=16，再利用双曲线的定义得到
1
|PF |-|PF | =2，联立即可得到|PF ||PF |，代入S = |PF ||PF |中计算即可.
1 2 1 2 △F 1 F 2 P 2 1 2
【详解】由已知，不妨设F(-2,0),F (2,0)，
1 2
1
则a=1,c=2，因为|OP|=1= |FF |，
2 1 2
所以点P在以FF 为直径的圆上，
1 2
即V F
1
F
2
P是以P为直角顶点的直角三角形，
故|PF |2 +|PF |2=|FF |2，
1 2 1 2
即|PF |2 +|PF |2=16，又 |PF |-|PF | =2a =2，
1 2 1 2
所以4= |PF |-|PF | 2 = |PF |2 +|PF |2 -2 |PF ||PF |=16-2|PF ||PF |，
1 2 1 2 1 2 1 2
1
解得|PF ||PF |=6，所以S = |PF ||PF |=3
1 2 △F 1 F 2 P 2 1 2
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数
学运算能力，是一道中档题.
12.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O
1
为
V
ABC 的外接圆，若⊙O
1
的面积为4π
，AB= BC = AC =OO ，则球O的表面积为（ ）
1
A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得等边 ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO 的值，根据球截面性质
V 1
，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】设圆O 半径为r，球的半径为R，依题意，
1
第9页 | 共23页得pr2 =4p,\r =2，
由正弦定理可得AB =2rsin60°=2 3，
\OO = AB =2 3，根据圆截面性质OO ^平面ABC，
1 1
\OO ^O A,R =OA= OO2 +O A2 = OO2 +r2 =4，
1 1 1 1 1
\球O的表面积S =4pR2 =64p.
故选：A
【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于
基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
ì2x+ y-2£0,
ï
13.若x，y满足约束条件íx- y-1³0, 则z=x+7y的最大值为______________.
ï
y+1³0,
î
【答案】1
【解析】
【分析】
首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
第10页 | 共23页1 1
目标函数z = x+7y即：y =- x+ z，
7 7
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
ì2x+ y-2=0
联立直线方程：í ，可得点A的坐标为：A(1,0)，
î x- y-1=0
据此可知目标函数的最大值为：z =1+7´0=1.
max
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最
大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大
时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
r r
14.设向量a =(1,-1),b=(m+1,2m-4)，若a^b，则m=______________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
r r
r r
【详解】由a^b可得a×b=0，
r r
又因为a=(1,-1),b=(m+1,2m-4)，
r r
所以a×b=1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0，
即m=5，
故答案为：5.
第11页 | 共23页【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础
题目.
15.曲线y =lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】y =2x
【解析】
【分析】
设切线的切点坐标为(x ,y )，对函数求导，利用 y¢| =2，求出x ，代入曲线方程求出y
0 0 x 0 0 0
，得到切线的点斜式方程，化简即可.
1
【详解】设切线的切点坐标为(x ,y ),y =lnx+ x+1,y¢= +1，
0 0 x
1
y¢| = +1=2,x =1,y =2，所以切点坐标为(1,2)，
x=x 0 x 0 0
0
所求的切线方程为y-2=2(x-1)，即y =2x.
故答案为：y =2x.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
16.数列{a }满足a +(-1)na =3n-1，前16项和为540，则a = ______________.
n n+2 n 1
【答案】7
【解析】
【分析】
对n为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项
用a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立a 方程，求解即可得出结论.
1 1
【详解】a +(-1)na =3n-1，
n+2 n
当n为奇数时，a =a +3n-1；当n为偶数时，a +a =3n-1.
n+2 n n+2 n
设数列 a 的前n项和为S ，
n n
S =a +a +a +a + +a
16 1 2 3 4 L 16
=a +a +a +a +(a +a )+ (a +a )
1 3 5L 15 2 4 L 14 16
第12页 | 共23页=a +(a +2)+(a +10)+(a +24)+(a +44)+(a +70)
1 1 1 1 1 1
+(a +102)+(a +140)+(5+17+29+41)
1 1
=8a +392+92=8a +484=540，
1 1
\a =7.
1
故答案为：7.
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学
计算能力，属于较难题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必
考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.
加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；
对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂
加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，
在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选
哪个分厂承接加工业务?
第13页 | 共23页【答案】（1）甲分厂加工出来的A级品的概率为0.4 ，乙分厂加工出来的A级品的概率为
0.28；（2）选甲分厂，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据两个频数分布表即可求出；
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选
择．
40
【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为 =0.4，乙厂加工
100
28
出来的一件产品为A级品的概率为 =0.28；
100
（2）甲分厂加工100件产品的总利润为
40´90-25+20´50-25+20´20-25-20´50+25=1500元，
所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；
乙分厂加工100件产品的总利润为
28´90-20+17´50-20+34´20-20-21´50+20=1000元，
所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出
决策，属于基础题．
18.V ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a= 3c，b=2 7 ，求 ABC 的面积；
V
2
（2）若sinA+ 3sinC= ，求C.
2
【答案】（1） 3；（2）15°.
【解析】
【分析】
（1）已知角B和b边，结合a,c关系，由余弦定理建立c的方程，求解得出a,c，利用面积
公式，即可得出结论；
第14页 | 共23页（2）将A=30°-C代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C角的三
角函数值，结合C的范围，即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得b2 =28=a2 +c2 -2ac×cos150°=7c2，
1
\c =2,a =2 3,\△ABC的面积S = acsinB= 3；
2
（2） A+C =30°，
Q
\sinA+ 3sinC =sin(30°-C)+ 3sinC
1 3 2
= cosC+ sinC =sin(C+30°)= ，
2 2 2
0°0，解得x>0，
所以 f(x)的减区间为(-¥,0)，增区间为(0,+¥)；
（2）若 f(x)有两个零点，即ex -a(x+2)=0有两个解，
ex
从方程可知，x=2不成立，即a = 有两个解，
x+2
ex ex(x+2)-ex ex(x+1)
令h(x)= (x¹-2)，则有h'(x)= = ，
x+2 (x+2)2 (x+2)2
令h'(x)>0，解得x>-1，令h'(x)<0，解得x<-2或-2h(-1)= ，
x+2 e
1
所以满足条件的a的取值范围是：( ,+¥).
e
【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数
的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问
第17页 | 共23页题转化为曲线y =ex和直线 y =a(x+2)有两个交点，利用过点(-2,0)的曲线y =ex的切线
斜率，结合图形求得结果.
x2
21.已知A、B分别为椭圆E： + y2 =1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，
a2
uuur uuur
AG×GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
x2
【答案】（1） + y2 =1；（2）证明详见解析.
9
【解析】
【分析】
（1）由已知可得：A-a,0
，
Ba,0 ，G0,1 ，即可求得 u A u G ur ×G uu B ur =a2 -1，结合已知即可求得：a2 =9，问题得解.
y
（2）设P6,y ，可得直线AP的方程为：y = 0 x+3，联立直线AP的方程与椭圆方
0 9
æ-3y 2 +27 6y ö
程即可求得点C的坐标为ç 0 , 0 ÷，同理可得点D的坐标为
y 2 +9 y 2 +9
è ø
0 0
æ3y 2 -3 -2y ö
ç 0 , 0 ÷，即可表示出直线CD的方程，整理直线CD的方程可得：
y 2 +1 y 2 +1
è ø
0 0
4y æ 3ö
y = 0 x-
3
3- y
2ç
è 2
÷
ø
，命题得证.
0
【详解】（1）依据题意作出如下图象：
第18页 | 共23页x2
由椭圆方程E: + y2 =1(a >1)可得：A-a,0 ， Ba,0 ，G0,1
a2
uuur uuur
\ AG =a,1，GB=a,-1
uuur uuur
\ AG×GB=a2 -1=8，\a2 =9
x2
\椭圆方程为： + y2 =1
9
（2）证明：设P6,y
，
0
y -0 y
则直线AP的方程为：y = 0 x+3 ，即：y = 0 x+3
6--3
9
ìx2
+ y2 =1
ï
ï 9
联立直线AP的方程与椭圆方程可得：í ，整理得：
y
ï y = 0 x+3
ïî 9
-3y 2 +27
y 2 +9 x2 +6y 2x+9y 2 -81=0，解得：x=-3或x= 0
0 0 0 y 2 +9
0
-3y 2 +27 y 6y
将x= 0 代入直线y = 0 x+3可得：y = 0
y 2 +9 9 y 2 +9
0 0
æ-3y 2 +27 6y ö
所以点C的坐标为ç 0 , 0 ÷.
y 2 +9 y 2 +9
è ø
0 0
æ3y 2 -3 -2y ö
同理可得：点D的坐标为ç 0 , 0 ÷
y 2 +1 y 2 +1
è ø
0 0
第19页 | 共23页6y æ -2y ö
0 -ç 0 ÷
æ -2y ö y 2 +9 è y 2 +1 ø æ 3y 2 -3ö
\直线CD的方程为：y-ç 0 ÷= 0 0 çx- 0 ÷，
y 2 +1 -3y 2 +27 3y 2 -3 y 2 +1
è ø è ø
0 0 - 0 0
y 2 +9 y 2 +1
0 0
2y 8y y 2 +3 æ 3y 2 -3ö 8y æ 3y 2 -3ö
整理可得：y+ 0 = 0 0 çx- 0 ÷= 0 çx- 0 ÷
y 2 +1 6 9- y 4 è y 2 +1 ø 6 3- y 2 è y 2 +1 ø
0 0 0 0 0
4y 2y 4y æ 3ö
y = 0 x+ 0 = 0 x-
整理得： 3 3- y 2 y 2 -3 3 3- y 2ç è 2 ÷ ø
0 0 0
æ3 ö
故直线CD过定点ç ,0 ÷
è2 ø
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理
论证能力，属于难题.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按
所做的第一题计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
ìx=cosk t,
22.在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为í (t 为参数)．以坐标原点为极点
1 îy =sink t
，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4rcosq-16rsinq+3=0．
2
（1）当k =1时，C 是什么曲线？
1
（2）当k =4时，求C 与C 的公共点的直角坐标．
1 2
1 1
【答案】（1）曲线C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）( , ).
1 4 4
【解析】
【分析】
（1）利用sin2t+cos2t =1消去参数t，求出曲线C 的普通方程，即可得出结论；
1
ì ï x =cos2t
（2）当k =4时，x³0,y³0，曲线C 的参数方程化为í (t为参数），两式相
1 ïî y =sin2t
加消去参数t，得C 普通方程，由rcosq= x,rsinq= y，将曲线C 化为直角坐标方程，
1 2
联立C ,C 方程，即可求解.
1 2
第20页 | 共23页ìx=cost
【详解】（1）当k =1时，曲线C 的参数方程为í (t为参数），
1 îy =sint
两式平方相加得x2 + y2 =1，
所以曲线C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
1
ìx=cos4t
（2）当k =4时，曲线C 的参数方程为í (t为参数），
1 îy =sin4t
ì ï x =cos2t
所以x³0,y³0，曲线C 的参数方程化为í (t为参数），
1 ïî y =sin2t
两式相加得曲线C 方程为 x + y =1，
1
得 y =1- x ，平方得 y = x-2 x +1,0£ x £1,0£ y £1，
曲线C 的极坐标方程为4rcosq-16rsinq+3=0，
2
曲线C 直角坐标方程为4x-16y+3=0，
2
ìïy = x-2 x +1
联立C ,C 方程í ，
1 2
ïî4x-16y+3=0
1 13
整理得12x-32 x +13=0，解得 x = 或 x = （舍去），
2 6
1 1 1 1
\x = ,y = ，\C ,C 公共点的直角坐标为( , ).
4 4 1 2 4 4
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是
解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数 f(x)=|3x+1|-2|x-1|．
（1）画出y = f(x)的图像；
第21页 | 共23页（2）求不等式 f(x)> f(x+1)的解集．
æ 7ö
【答案】（1）详解解析；（2）ç -¥,- ÷.
è 6ø
【解析】
【分析】
（1）根据分段讨论法，即可写出函数 f x 的解析式，作出图象；
（2）作出函数 f x+1 的图象，根据图象即可解出．
ì
ï x+3, x³1
ï
ï 1
【详解】（1）因为 f x=í5x-1, - < x<1，作出图象，如图所示：
3
ï
ï 1
-x-3, x£-
ï
î 3
（2）将函数 f x 的图象向左平移1个单位，可得函数 f x+1 的图象，如图所示：
第22页 | 共23页7
由-x-3=5x+1-1，解得x=-
．
6
æ 7ö
所以不等式的解集为ç -¥,- ÷．
è 6ø
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结
合能力，属于基础题．
第23页 | 共23页
