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河南省实验中学 2025——2026 学年上期期中试卷
高一 数学
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若集合 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，得到集合 ，从而得到交集.
【详解】 ，所以 ．
故选：B．
2. 命题“ ， 是无理数”的否定是（ ）
A. ， 不是无理数 B. ， 是无理数
C. ， 不是无理数 D. ， 是无理数
【答案】A
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定形式判定选项即可.
【详解】命题“ ， 是无理数”为全称量词命题，
该命题的否定为“ ， 不是无理数”.
故选：A.
3. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知求得 的范围，得到 的定义域，再由题意列关于 的不等式组求解.
【详解】因为 的定义域为 ，
即 ，则 ，
对于函数 ，由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：D.
4. 若实数a，b，c满足 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【
分析】利用特殊值可判断ABC，做差可判断D.
【详解】对于A，若 ，则 ，故A错误；
对于B，若 ，则 ，故B错误；
对于C， 时不能做分母，故C错误；
对于D， 因为 ，所以 ，所以
，所以 ，故D正确.故选：D.
5. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个
函数的图像构成，则“心形”在 轴上方的图像对应的函数解析式可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】将 代入计算，即可排除A，由函数的奇偶性即可判断BD，然后分别验证函数的奇偶性以及
单调性即可判断C
【详解】A选项： 时， ，故A错误；
B选项：记 ，则 ，故 为奇函数，不符合题意，故B
错误；
C选项：记 ，则 ，故 为偶函数，当
时， ，
此函数在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，故C正确；
D选项：记 ，则 ，故 既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误.
故选：C
6. 已知函数 是定义域为R的偶函数，且 在 上单调递减，则不等式
的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先可以根据函数 是定义域为R的偶函数判断出函数 的对称轴，再通过
在 上单调递减判断出函数 在 上的单调性，进而由 列
出不等式求解即可．
【详解】因为函数 是定义域为R的偶函数，
则函数 关于 轴对称，
所以函数 关于 对称，
又因为函数 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，即 ，
化简得 ， ，
解得 ，
故选：A．
7. 关于 的不等式 恰有两个整数解，则实数 的取值范围为（ ）A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程 两根的大小关系，结合一元二次不等式的解法分类讨论
进行求解即可.
【详解】 ，
当 时，原不等式的解集为空集，不符合题意；
当 时，原不等式的解集为 ，
因为原不等式恰有两个整数解，
所以这两个正整数一定为 ，因此 ；
当 时，原不等式的解集为 ，
因为原不等式恰有两个整数解，
所以这两个正整数一定为 ，因此 ，
综上所述：实数 的取值范围为 或 ，
故选：D
8. 已知函数 ， 是定义在R上的函数，其中 是奇函数， 是偶函数，且
，若对任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】由函数的奇偶性的性质结合条件求出函数 的解析式，再根据 ，可得函数
在 上递减，再根据函数的单调性分 和 列不等式求 的
取值范围.
【详解】因为函数 是奇函数， 是偶函数，
所以 ， ，
又 ，
则 ；
∴ ，若对任意 ，都有 ，
即 成立，
令 ，则函数 在区间 上单调递减；
当 时， ，则函数 在区间 上单调递减，符合题意．
当 时， 为二次函数，图像关于 对称．
因为函数 在 上递减，
所以 或 ，解得： 或 ．
综上：a的取值范围是 ．
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列比较大小正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据指数函数与幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，由指数函数 为单调递增函数，可得 成立，所以A正确；
对于B，由幂函数 在 上单调递增，可得 成立，所以B不正确；
对于C，由指数函数 为单调递减函数，可得 成立，所以C正确；
对于D，由 ，所以 ，所以D不正确.
故选：AC.
10. 已知函数 的图象过原点，且无限接近直线 ，但又不与该直线相交，则（
）
A. ， B. 的值域为
C. 若 ，则 D. 若 ，且 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由 ， ，判断A；由指数函数的单调性判断BC；由偶函数的性质判断D.
【详解】对于A，∵ 过原点，∴ ，∴ ①，
又∵ 时， ，
∴ 时， ，由题，图象无限接近直线 ，则 ②，
由①②知 ， ，故A正确；
对于B，由 ， ，得 ，， ，故B正确；
对于C，由图知， 在 上单调递减，因为 ，则 ，故C错误；
对于D，∵函数 为偶函数，∴ ，
又∵. ，∴ ，∴ ，∴ ，故D正确．
故选：ABD
11. 已知定义在 上的函数 ， 满足 ，且 ，
， ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 为奇函数 D. 的图象关于点 对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】取 可知A正确；取 ，结合A中式子可知B错误；令 可求得 为偶函数，分
别令 、 可证得D正确；取 ， ，结合D的结论可证得C正确.
【详解】对于A，取 ，则 ，A正确；
对于B，若 恒成立，则 ， 恒成立，显然不合题意，
不恒等于 ，
令 ，则 ， ，将 代入A中式子可得： ，即 ，
，B错误；
对于D，令 ，则 ，即 ，
为定义在 上的偶函数， ；
令 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
， 的图象关于点 对称，D正确；
对于C，取 ， ，则 ，
由D知： ， ，
为奇函数，C正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数 是幂函数，且 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，确定幂函数的解析式，再求函数值.
【详解】设 ，则 ，所以 .
故 ，
所以 .
故答案为：13. 已知 ，若实数 且 ，则 的最小值是
______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先证明 为奇函数，由 可得 ，利用基本不等式常数代换技
巧求解 的最小值.
【详解】函数 ，定义域为R，
，则 为奇函数，
若实数 且 ，函数 单调递增，
则有 ，即 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为：
14. 已知点 在函数 的图象上，且 有最小值，则常数 的取值范围
______．
【答案】【解析】
【分析】分别画出函数 和 的图象，再根据条件求解.
【详解】设 ， ，分别绘制 ， 的草图如下：
其中 有最小值，且 ；
无最小值，且 ， .
因为函数 有最小值，所以 ；
点 在 的图象上，所以 .
综上 .
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）化简： ；
（2）已知 （ 且 ），求 的值；
（3）化简： ．
【答案】（1）28；（2） ；（3） ．
【解析】【分析】（1）由根式的运算与幂的运算法则计算；
（2）由幂的运算法则计算出 与 后可得；
（3）根据对数的运算法则及换底公式计算可得．
【详解】（1）
；
（2） （ 且 ），
则 ， ，
所以 ；
（3）
．
16. 已知集合 ， ，全集 .
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当 时，写出集合 ，利用补集和交集的定义可得出集合 ；
（2）由题意可知，集合 为集合 的真子集，分 、 两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数 的不等式（组），综合可得出实数 的取值范围.
【小问1详解】
当 时，集合 ，全集 ，则 或 ，
又因为集合 ，故 .
【小问2详解】
若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则集合 为集合 的真子集，
当 时， ，解得 ；
当 时，由题意可得 ，解得 ，
检验：当 时， ，此时集合 为集合 的真子集，合乎题意；
当 时， ，此时集合 为集合 的真子集，合乎题意.
综上所述，实数 的取值范围是 .
17. 2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行
的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 .经市场调研测算，列车载
客量与发车时间间隔t相关，当 时列车为满载状态，载客量为720人；当 时，载客量
会减少，减少的人数 ，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.
记列车载客量为 .
（1）求 的表达式；
（2）为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？
（3）若该线路每分钟的净收益为 （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
【答案】（1） ；
（2）至少5分钟； （3）时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元.
【解析】
【分析】（1）当 时， ，当 时, ,由题可求出 ,即
可得到答案.
（2）由（1）知 ，结合基本不等式和函数单调性即可求出的
净收益最大值.
【小问1详解】
由题知，当 时， ；
当 时, ,
因为发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为 人，
此时发车时间间隔为3分钟时的载客量为 人，
，解得 ，
此时 ，
所以 .
【小问2详解】
依题意 ，
当 时， ，满足题意；
当 时， ，即 ，解得 ，所以列车发车间隔时间至少5分钟，列车载客量至少达到524人.
【小问3详解】
由（1）知
时 ，当且仅当 等号成立，
时
当 上, 单调递减,则
综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元.
18. 已知定义域为 的函数 是奇函数．
（1）求实数 ， 的值；
（2）若 对任意 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 ， 求解即可；
（2）由函数单调性可得 在 上单调递减，再将问题转化为 对任意
恒成立，再设 ，根据二次不等式恒成立问题列式即可.
【小问1详解】在 上为奇函数，故 ，即 ，解得 ，故 .
又 ， ；解得 .
故 ， .
【小问2详解】
；
增大时， 增大， 减小， 减小；
在 上单调递减；
为奇函数， 由 得， ；
又 在 上单调递减；
，该不等式对于任意 恒成立；
对任意 恒成立；
设 ，则 对于任意 恒成立；
设 ，△ ；
应满足： ；
解得 ；
的取值范围为 ．19. 定义：若对定义域内任意x，都有 （a为正常数），则称函数 为“a距”增函数．
（1）若 ， (0， )，试判断 是否为“1距”增函数，并说明理由；
（2）若 ， R是“a距”增函数，求a的取值范围；
（3）若 ， (﹣1， )，其中k R，且为“2距”增函数，求 的最小值．
【答案】（1）见解析； （2） ； （3） .
【解析】
【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明 即可；（2）由“a距”增函数的定义得到
在 上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由 为
“2距”增函数可得到 在 恒成立，从而得到 恒
成立，分类讨论可得到 的取值范围，再由 ，可讨论出 的最小值．
【详解】（1）任意 , ,
因为 , , 所以 ，所以 ，即 是“1距”增函数．
（2） .
因为 是“ 距”增函数，所以 恒成立，
因为 ,所以 在 上恒成立，所以 ，解得 ，因为 ,所以 .
（3）因 为， ，且为“2距”增函数，
所以 时， 恒成立，
即 时， 恒成立，
所以 ，
当 时， ，即 恒成立，
所以 , 得 ;
当 时， ，
得 恒成立，
所以 ,得 ,
综上所述，得 .
又 ，
因为 ,所以 ，
当 时，若 ， 取最小值为 ；
.
当 时，若 ， 取最小值
因为 在R上是单调递增函数，
所以当 ， 的最小值为 ；当 时 的最小值为 ，即 .
【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论
思想的运用，属于中档题．
