2020年高考数学试卷（理）（新课标Ⅰ）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（河北）数学高考真题

绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂 黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案 写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的. 1.若z=1+i，则|z2–2z|=（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意首先求得z2 -2z的值，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得：z2 =1+i2 =2i，则z2 -2z=2i-21+i=-2. 故 z2 -2z = -2 =2. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 2.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 第1页 | 共24页【分析】 由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的 值. 【详解】求解二次不等式x2-4£0可得：A=x|-2£ x£2 ， ì aü 求解一次不等式2x+a£0可得：B=íx|x£- ý. î 2þ a 由于AÇB=x|-2£ x£1 ，故：- =1，解得：a =-2. 2 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算 求解能力. 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的 高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与 底面正方形的边长的比值为（ ） 5-1 5-1 5+1 5+1 A. B. C. D. 4 2 4 2 【答案】D 【解析】 【分析】 1 设CD =a,PE =b，利用PO2 = CD×PE得到关于a,b的方程，解方程即可得到答案. 2 a2 【详解】如图，设CD =a,PE =b，则PO = PE2 -OE2 = b2 - ， 4 第2页 | 共24页1 a2 1 b b 由题意PO2 = ab，即b2 - = ab，化简得4( )2 -2× -1=0， 2 4 2 a a b 1+ 5 解得 = （负值舍去）. a 4 故选：C. 【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容 易题. 4.已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p =（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. p p 【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知| AF |= x + =12，即12=9+ ，解得 A 2 2 p=6. 故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容 易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个 第3页 | 共24页不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x,y )(i=1,2, ,20)得到下面的散点图： i i L 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回 归方程类型的是（ ） A. y=a+bx B. y =a+bx2 C. y=a+bex D. y =a+blnx 【答案】D 【解析】 【分析】 根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y =a+blnx. 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 6.函数 f(x)=x4 -2x3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为（ ） A. y =-2x-1 B. y =-2x+1 C. y =2x-3 D. y =2x+1 【答案】B 【解析】 【分析】 求得函数y = f x 的导数 f ¢x ，计算出 f 1 和 f¢1 的值，可得出所求切线的点斜式方 第4页 | 共24页程，化简即可. 【详解】Q f x= x4 -2x3，\ f¢x=4x3 -6x2，\ f 1=-1， f¢1=-2， 因此，所求切线的方程为y+1=-2x-1 ，即y =-2x+1. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 π 7.设函数 f(x)=cos(wx+ )在[-π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ） 6 10π 7π A. B. 9 6 4π 3π C. D. 3 2 【答案】C 【解析】 【分析】 æ 4p ö æ 4p pö æ 4p ö 由图可得：函数图象过点ç - ,0 ÷，即可得到cos ç - ×w+ ÷ =0，结合ç - ,0 ÷是 è 9 ø è 9 6 ø è 9 ø 4p p p 3 函数 f x 图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到- ×w+ =- ，即可求得w= 9 6 2 2 ，再利用三角函数周期公式即可得解. æ 4p ö 【详解】由图可得：函数图象过点ç - ,0 ÷， è 9 ø æ 4p pö 将它代入函数 f x 可得：cos ç - ×w+ ÷ =0 è 9 6 ø 第5页 | 共24页æ 4p ö 又ç - ,0 ÷是函数 f x 图象与x轴负半轴的第一个交点， è 9 ø 4p p p 3 所以- ×w+ =- ，解得：w= 9 6 2 2 2p 2p 4p T = = = 所以函数 f x 的最小正周期为 w 3 3 2 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中 档题. y2 8.(x+ )(x+ y)5的展开式中x3y3的系数为（ ） x A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】 æ y2 ö 求得(x+ y)5展开式的通项公式为T =Crx5-ryr（rÎN 且r £5），即可求得çx+ ÷与 r+1 5 è x ø (x+ y)5展开式的乘积为Crx6-ryr或Crx4-ryr+2形式，对r分别赋值为3，1即可求得x3y3的 5 5 系数，问题得解. 【详解】(x+ y)5展开式的通项公式为T =Crx5-ryr（rÎN 且r £5） r+1 5 æ y2 ö 所以çx+ ÷与(x+ y)5展开式的乘积可表示为： è x ø y2 y2 xT = xCrx5-ryr =Crx6-ryr或 T = Crx5-ryr =Crx4-ryr+2 r+1 5 5 x r+1 x 5 5 在xT =Crx6-ryr中，令r =3，可得：xT =C3x3y3，该项中x3y3的系数为10， r+1 5 4 5 y2 y2 在 T =Crx4-ryr+2中，令r =1，可得： T =C1x3y3，该项中x3y3的系数为5 x r+1 5 x 2 5 第6页 | 共24页所以x3y3的系数为10+5=15 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及 分析能力，属于中档题. 9.已知aÎ(0,π)，且3cos2a-8cosa=5，则sina=（ ） 5 2 A B. . 3 3 1 5 C. D. 3 9 【答案】A 【解析】 【分析】 用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosa的一元二次方程，求解得出cosa，再 用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】3cos2a-8cosa=5，得6cos2a-8cosa-8=0， 2 即3cos2a-4cosa-4=0，解得cosa=- 或cosa=2（舍去）， 3 5 又 aÎ(0,p),\sina= 1-cos2a= . Q 3 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考 查计算求解能力，属于基础题. 10.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O 1 为 V ABC 的外接圆，若⊙O 1 的面积为4π ，AB= BC = AC =OO ，则球O的表面积为（ ） 1 A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π 【答案】A 【解析】 【分析】 第7页 | 共24页由已知可得等边 ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO 的值，根据球截面性质 V 1 ，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆O 半径为r，球的半径为R，依题意， 1 得pr2 =4p,\r =2， 由正弦定理可得AB =2rsin60°=2 3， \OO = AB =2 3，根据圆截面性质OO ^平面ABC， 1 1 \OO ^O A,R =OA= OO2 +O A2 = OO2 +r2 =4， 1 1 1 1 1 \球O的表面积S =4pR2 =64p. 故选：A 【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于 基础题. 11.已知⊙M：x2 + y2 -2x-2y-2=0，直线l：2x+ y+2=0，P为l上的动点，过点 P作⊙M的切线PA,PB，切点为A,B，当|PM |×| AB|最小时，直线AB的方程为（ ） A. 2x- y-1=0 B. 2x+ y-1=0 C. 2x- y+1=0 D. 2x+ y+1=0 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A,P,B,M 共圆，且AB^MP，根 第8页 | 共24页据 PM × AB =2S =2 PA 可知，当直线MP^l 时， PM × AB 最小，求出以MP为 △PAM 直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程． 【详解】圆的方程可化为x-12 +y-12 =4，点M 到直线l的距离为 2´1+1+2 d = = 5 >2，所以直线l与圆相离． 22 +12 依圆的知识可知，四点A,P,B,M 四点共圆，且AB^MP，所以 1 PM × AB =2S =2´ ´ PA´ AM =2 PA ，而 PA = MP 2 -4 ， △PAM 2 当直线MP^l 时， MP = 5， PA =1，此时 PM × AB 最小． min min ì 1 1 1 1 1 ï y = x+ ìx=-1 ∴MP: y-1= x-1即y = x+ ，由í 2 2 解得，í ． 2 2 2 ï î2x+ y+2=0 îy =0 所以以MP为直径的圆的方程为 x-1x+1+ yy-1=0，即x2 + y2 - y-1=0， 两圆的方程相减可得：2x+ y+1=0，即为直线AB的方程． 故选：D . 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意 在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 12.若2a +log a=4b +2log b，则（ ） 2 4 A. a>2b B. a<2b C. a >b2 D. a0，此时 f(a)> f(b2)，有a >b2 当b=2时， f(a)- f(b2)=-1<0，此时 f(a)< f(b2)，有a0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF a2 b2 垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________. 【答案】2 【解析】 【分析】 第11页 | 共24页b2 根据双曲线的几何性质可知， BF = ， AF =c-a，即可根据斜率列出等式求解即可． a b2 BF b2 【详解】依题可得， =3，而 BF = ， AF =c-a，即 a ，变形得 AF a =3 c-a c2 -a2 =3ac-3a2，化简可得，e2 -3e+2=0，解得e=2或e=1（舍去）． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题 ． 16.如图，在三棱锥P– ABC的平面展开图中，AC=1，AB= AD= 3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠F CB=______________. 1 【答案】- 4 【解析】 【分析】 在△ACE中，利用余弦定理可求得CE，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC、BD，可 得出BF ，然后在 BCF中利用余弦定理可求得cosÐFCB的值. V 【详解】 AB^ AC ，AB= 3，AC =1， Q 第12页 | 共24页由勾股定理得BC = AB2 + AC2 =2， 同理得BD= 6 ，\BF = BD= 6， 在△ACE中，AC =1，AE = AD= 3，ÐCAE =30o， 3 由余弦定理得CE2 = AC2 + AE2 -2AC×AEcos30o =1+3-2´1´ 3´ =1， 2 \CF =CE =1， 在 BCF中，BC =2，BF = 6，CF =1， V CF2 +BC2 -BF2 1+4-6 1 由余弦定理得cosÐFCB= = =- . 2CF×BC 2´1´2 4 1 故答案为：- . 4 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.设{a }是公比不为1的等比数列，a 为a ，a 的等差中项． n 1 2 3 （1）求{a }的公比； n （2）若a =1，求数列{na }的前n项和． 1 n 1-(1+3n)(-2)n 【答案】（1）-2；（2）S = . n 9 【解析】 【分析】 q （1）由已知结合等差中项关系，建立公比 的方程，求解即可得出结论； （2）由（1）结合条件得出{a }的通项，根据{na }的通项公式特征，用错位相减法，即可 n n 求出结论. 【详解】（1）设{a }的公比为 q ，a 为a ,a 的等差中项， n 1 2 3 2a =a +a ,a ¹0,\q2 +q-2=0， Q 1 2 3 1 第13页 | 共24页Q q¹1,\q=-2； （2）设{na }的前n项和为S ，a =1,a =(-2)n-1， n n 1 n S n =1´1+2´(-2)+3´(-2)2 + L +n(-2)n-1，① -2S n =1´(-2)+2´(-2)2 +3´(-2)3+ L (n-1)(-2)n-1+n(-2)n，② ① - ②得，3S n =1+(-2)+(-2)2 + L +(-2)n-1-n(-2)n 1-(-2)n 1-(1+3n)(-2)n = -n(-2)n = ， 1-(-2) 3 1-(1+3n)(-2)n \S = . n 9 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和 ，考查计算求解能力，属于基础题. 18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE = AD． V ABC 6 是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO= DO． 6 （1）证明：PA^平面PBC ； （2）求二面角B-PC-E的余弦值． 2 5 【答案】（1）证明见解析；（2） . 5 【解析】 【分析】 （1）要证明PA^平面PBC ，只需证明PA^ PB，PA^ PC即可； （2）以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面 第14页 | 共24页r ur r ur ur r n×m PCB的法向量为n，平面PCE 的法向量为m，利用公式cos= r ur 计算即可得 |n||m| 到答案. 【详解】（1）由题设，知△DAE为等边三角形，设AE =1， 3 1 1 6 2 则DO= ，CO = BO = AE = ，所以PO = DO = ， 2 2 2 6 4 6 6 PC = PO2 +OC2 = ,PB= PO2 +OB2 = , 4 4 BA 3 又 ABC 为等边三角形，则 =2OA，所以BA= ， V sin60o 2 3 PA2 +PB2 = = AB2，则ÐAPB =90o，所以PA^ PB， 4 同理PA^ PC，又PC PB = P，所以PA^平面PBC ； I （2）过O作ON∥BC交AB于点N，因为PO^平面ABC，以O为坐标原点，OA为x轴，ON 为y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 1 2 1 3 1 3 则E(- ,0,0),P(0,0, ),B(- , ,0),C(- ,- ,0)， 2 4 4 4 4 4 uuur 1 3 2 uuur 1 3 2 uuur 1 2 PC =(- ,- ,- )，PB =(- , ,- )，PE =(- ,0,- )， 4 4 4 4 4 4 2 4 r 设平面PCB的一个法向量为n=(x ,y ,z )， 1 1 1 第15页 | 共24页uuuv ìnv×PC =0 ì ï-x - 3y - 2z =0 由í înv× u P u B uv =0 ，得í ïî -x 1 + 3y 1 - 2z 1 =0 ，令x 1 = 2 ，得z 1 =-1,y 1 =0， 1 1 1 r 所以n=( 2,0,-1)， ur 设平面PCE 的一个法向量为m=(x ,y ,z ) 2 2 2 uuuv ìmv×PC =0 ì ï-x - 3y - 2z =0 3 由í îmv× u P u E uv =0 ，得í ïî 2 -2x - 2 2z = 2 0 ，令x 2 =1，得z 2 =- 2,y 2 = 3 ， 2 2 ur 3 所以m=(1, ,- 2) 3 r ur ur r n×m 2 2 2 5 cos= = = r ur 故 |n|×|m| 10 5 ， 3´ 3 2 5 设二面角B-PC-E的大小为q，则cosq= . 5 【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能 力，数学运算能力，是一道容易题. 19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签 决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场 轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰， 另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率 1 都为 ， 2 （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 1 3 7 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 16 4 16 【解析】 【分析】 （1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概 第16页 | 共24页率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性 可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 4 æ1ö 1 【详解】（1）记事件M :甲连胜四场，则PM= ç ÷ = ； è2ø 16 （2）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 4 æ1ö 1 P¢= PABAB+PACAC+PBCBC+PBABA=4´ = ， ç ÷ è2ø 4 3 所以，需要进行第五场比赛的概率为P=1-P¢= ； 4 （3）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 记事件M :甲赢，记事件N :丙赢， 则甲赢的基本事件包括：BCBC 、ABCBC、ACBCB、 BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC， 4 5 æ1ö æ1ö 9 所以，甲赢的概率为PM= ç ÷ +7´ ç ÷ = . è2ø è2ø 32 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 9 7 所以丙赢的概率为PN=1-2´ = . 32 16 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查 计算能力，属于中等题. x2 20.已知A、B分别为椭圆E： + y2 =1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， a2 uuur uuur AG×GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. x2 【答案】（1） + y2 =1；（2）证明详见解析. 9 第17页 | 共24页【解析】 【分析】 （1）由已知可得：A-a,0 ， Ba,0 ，G0,1 ，即可求得 u A u G ur ×G uu B ur =a2 -1，结合已知即可求得：a2 =9，问题得解. y （2）设P6,y  ，可得直线AP的方程为：y = 0 x+3，联立直线AP的方程与椭圆方 0 9 æ-3y 2 +27 6y ö 程即可求得点C的坐标为ç 0 , 0 ÷，同理可得点D的坐标为 y 2 +9 y 2 +9 è ø 0 0 æ3y 2 -3 -2y ö ç 0 , 0 ÷，即可表示出直线CD的方程，整理直线CD的方程可得： y 2 +1 y 2 +1 è ø 0 0 4y æ 3ö y = 0 x- 3  3- y 2ç è 2 ÷ ø ，命题得证. 0 【详解】（1）依据题意作出如下图象： x2 由椭圆方程E: + y2 =1(a >1)可得：A-a,0 ， Ba,0 ，G0,1 a2 uuur uuur \ AG =a,1，GB=a,-1 uuur uuur \ AG×GB=a2 -1=8，\a2 =9 x2 \椭圆方程为： + y2 =1 9 （2）证明：设P6,y  ， 0 第18页 | 共24页y -0 y 则直线AP的方程为：y = 0 x+3 ，即：y = 0 x+3 6--3 9 ìx2 + y2 =1 ï ï 9 联立直线AP的方程与椭圆方程可得：í ，整理得： y ï y = 0 x+3 ïî 9 -3y 2 +27  y 2 +9  x2 +6y 2x+9y 2 -81=0，解得：x=-3或x= 0 0 0 0 y 2 +9 0 -3y 2 +27 y 6y 将x= 0 代入直线y = 0 x+3可得：y = 0 y 2 +9 9 y 2 +9 0 0 æ-3y 2 +27 6y ö 所以点C的坐标为ç 0 , 0 ÷. y 2 +9 y 2 +9 è ø 0 0 æ3y 2 -3 -2y ö 同理可得：点D的坐标为ç 0 , 0 ÷ y 2 +1 y 2 +1 è ø 0 0 6y æ -2y ö 0 -ç 0 ÷ æ -2y ö y 2 +9 è y 2 +1 ø æ 3y 2 -3ö \直线CD的方程为：y-ç 0 ÷= 0 0 çx- 0 ÷， y 2 +1 -3y 2 +27 3y 2 -3 y 2 +1 è ø è ø 0 0 - 0 0 y 2 +9 y 2 +1 0 0 2y 8y  y 2 +3  æ 3y 2 -3ö 8y æ 3y 2 -3ö 整理可得：y+ 0 = 0 0 çx- 0 ÷= 0 çx- 0 ÷ y 2 +1 6  9- y 4 è y 2 +1 ø 6  3- y 2 è y 2 +1 ø 0 0 0 0 0 4y 2y 4y æ 3ö y = 0 x+ 0 = 0 x- 整理得： 3  3- y 2 y 2 -3 3  3- y 2ç è 2 ÷ ø 0 0 0 æ3 ö 故直线CD过定点ç ,0 ÷ è2 ø 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理 论证能力，属于难题. 21.已知函数 f(x)=ex +ax2 -x. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； 1 （2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围. 2 【答案】（1）当xÎ-¥,0 时， f 'x<0, f x 单调递减，当xÎ0,+¥ 时， 第19页 | 共24页é7-e2 ö f 'x>0, f x 单调递增.（2）ê ,+¥÷ 4 ë ø 【解析】 【分析】 (1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最 大值即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)当a=1时， f x=ex +x2 -x， f 'x=ex +2x-1， 由于 f ''x=ex +2>0，故 f 'x 单调递增，注意到 f '0=0，故： 当xÎ-¥,0 时， f 'x<0, f x 单调递减， 当xÎ0,+¥ 时， f 'x>0, f x 单调递增. 1 1 (2)由 f x³ x3+1得，ex +ax2 -x… x3+1，其中x³0， 2 2 ①.当x=0时，不等式为：1³1，显然成立，符合题意； 1 ex - x3-x-1 ②.当x>0时，分离参数a得， 2 ， a… - x2 1 æ 1 ö ex - x3 -x-1 x-2 ç ex - x2 -x-1 ÷ 记 gx=- 2 ， g'x=- è 2 ø， x2 x3 1 令hx=ex - x2 -x-1x³0， 2 则h'x=ex -x-1，h''x=ex -1³0， 故h'x 单调递增，h'x³h'0=0， 故函数hx 单调递增，hx³h0=0， 1 由hx³0可得：ex - x2 -x-1…0恒成立， 2 故当xÎ0,2 时，g'x>0，gx 单调递增； 当xÎ2,+¥ 时，g'x<0，gx 单调递减； 第20页 | 共24页7-e2 因此，égxù = g2= , ë û max 4 é7-e2 ö 综上可得，实数a的取值范围是ê ,+¥÷. 4 ë ø 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的 知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按 所做的第一题计分。 [选修4—4：坐标系与参数方程] ìx=cosk t, 22.在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为í (t 为参数)．以坐标原点为极点 1 îy =sink t ，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4rcosq-16rsinq+3=0． 2 （1）当k =1时，C 是什么曲线？ 1 （2）当k =4时，求C 与C 的公共点的直角坐标． 1 2 1 1 【答案】（1）曲线C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）( , ). 1 4 4 【解析】 【分析】 （1）利用sin2t+cos2t =1消去参数t，求出曲线C 的普通方程，即可得出结论； 1 ì ï x =cos2t （2）当k =4时，x³0,y³0，曲线C 的参数方程化为í (t为参数），两式相 1 ïî y =sin2t 加消去参数t，得C 普通方程，由rcosq= x,rsinq= y，将曲线C 化为直角坐标方程， 1 2 联立C ,C 方程，即可求解. 1 2 ìx=cost 【详解】（1）当k =1时，曲线C 的参数方程为í (t为参数）， 1 îy =sint 第21页 | 共24页两式平方相加得x2 + y2 =1， 所以曲线C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆； 1 ìx=cos4t （2）当k =4时，曲线C 的参数方程为í (t为参数）， 1 îy =sin4t ì ï x =cos2t 所以x³0,y³0，曲线C 的参数方程化为í (t为参数）， 1 ïî y =sin2t 两式相加得曲线C 方程为 x + y =1， 1 得 y =1- x ，平方得 y = x-2 x +1,0£ x £1,0£ y £1， 曲线C 的极坐标方程为4rcosq-16rsinq+3=0， 2 曲线C 直角坐标方程为4x-16y+3=0， 2 ìïy = x-2 x +1 联立C ,C 方程í ， 1 2 ïî4x-16y+3=0 1 13 整理得12x-32 x +13=0，解得 x = 或 x = （舍去）， 2 6 1 1 1 1 \x = ,y = ，\C ,C 公共点的直角坐标为( , ). 4 4 1 2 4 4 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是 解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题. [选修4—5：不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|3x+1|-2|x-1|． （1）画出y = f(x)的图像； （2）求不等式 f(x)> f(x+1)的解集． 第22页 | 共24页æ 7ö 【答案】（1）详解解析；（2）ç -¥,- ÷. è 6ø 【解析】 【分析】 （1）根据分段讨论法，即可写出函数 f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数 f x+1 的图象，根据图象即可解出． ì ï x+3, x³1 ï ï 1 【详解】（1）因为 f x=í5x-1, - < x<1，作出图象，如图所示： 3 ï ï 1 -x-3, x£- ï î 3 （2）将函数 f x 的图象向左平移1个单位，可得函数 f x+1 的图象，如图所示： 7 由-x-3=5x+1-1，解得x=- ． 6 æ 7ö 所以不等式的解集为ç -¥,- ÷． è 6ø 第23页 | 共24页【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结 合能力，属于基础题． 第24页 | 共24页