湖北鄂北六校2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题含答案_2025年11月高一试卷_251110河湖北鄂北六校2025-2026学年高一上学期11月期中联考（全）

宜城一中 枣阳一中 曾都一中
2025—2026 学年上学期期中考试
襄阳六中 南漳一中 老河口一中
高一数学试题
时间：120分钟 主命题学校：枣阳一中
分值：150分 命题老师：耿纯勇 唐伟 欧秋月
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准
考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
一、单选题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡指定位置上.
1. 已知集合P= { x∈Z −1<x<4 } ，Q= { x −2≤x<2 } ，则PQ=（ ）
A． { x −1<x<2 } B．{1,2} C．{0,1} D．{0,1,2}
2. 设x∈R，则“ x <2”是“x2 <1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 下列函数中在定义域内既是减函数，又是奇函数的是（ ）
1 1
A．y= B．y=−2x+3 C．y=x+ D．y=−x x
x x
4. 如果偶函数g(x)在[ 1，5 ]上是减函数且最小值是8，那么g(x)在[−5，−1 ]上是（ ）
A．减函数且最小值是-8 B．减函数且最大值是-8
C．增函数且最小值是8 D．增函数且最大值是8
5. 已知命题“∀x∈R，使x2 +(a−1)x+4>0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤−3或a≥5 B．−3≤a≤5 C．a<−3或a>5 D．−3<a<5
 (a−3)x+2a，x<1
6. 已知函数 f (x)= 在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）.
 x2 +2ax+1，x≥1
A．(3,+∞) B．(3,5) C．(3,5 ] D．[ 5,+∞)
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7. 已知函数g(x)= −x，则函数g(x)的图象关 ． 于 ． 原 ． 点 ．O对 ． 称 ． 的图象大致是（ ）
x
A． B． C． D．
8. 关于x的一元二次不等式mx2 −2x+1<0的解集为(a，b)，则4a+b的最小值是（ ）
9 3
A．9 B． C． D．3
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要
求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A． f (x)=x0与g(x)=1 B． f (x)=
x2 −x
与g(x)=x
x−1
C． f (x)= x2 与g(x)= x D． f (x)=x2 −2x−1与g(t)=t2 −2t−1
10. 下列结论中正确的是（ ）
b+m b
A．若a>b>0，m>0，则 >
a+m a
B．函数f(x)的定义域为[ 1，5 ]，则函数f(2x+1)的定义域为[ 0，3 ]
C．“(x−2)(x−3)≤0成立”是“ x−2 + x−3 =1成立”的充要条件
D．设a，b∈R，若1≤a−b≤2且2≤a+b≤4，则5≤4a−2b≤10
x−1，x≤2
11. 已知函数g(x)= ，且g(a)=g(b)=g(c)(a<b<c)，则（ ）
4−x，x>2
A．g(x)的值域为[ 0，+∞ ) B．不等式g(x)≥1的解集为(−∞，0 ]∪[ 2，3 ]
C．a+b=2 D．a+b+c∈

5，7)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
{ }
12. 已知集合 B= x∣mx2 +4x+1=0，x∈R 的所有子集只有两个，则实数 m 的值为
__________.
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学科网（北京）股份有限公司13. 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3．则ab的取值范围为________________.
b
14. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数 f (x)=ax2 + （其中a>0，b>0）的图
x
b
象恰如其形，因而得名三叉戟函数．已知三叉戟函数 f (x)=ax2 + 的图象经过点(−1,0)，
x
1
且满足 f (1)=2．若∀x∈(0,+∞)，都有 f (x)+ f   −2m≥0恒成立，则实数m的取值范围
x
为_______________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程
写在答题卡指定位置。
15. （13分）
1
已知函数 f (x)= 2x+3+ 的定义域为 A ， g(x)=x2 −2x+2 的值域为 B ．集合
3−x
C ={x|2a−1<x<a+2}．
( )
（1）求A  B ．
R
（2）若CB=∅，求实数a的取值范围．
16. （15分）
设函数 f (x)=x2 −mx+m.
（1）当m=2时，求不等式 f (x)<x的解集；
（2）若∃x∈[ 1,2 ]，使不等式 f (x)<x+m−2成立，求实数m的取值范围.
17. （15分）
设矩形 ABCD(AB>CD)的周长为20，其中 AB=x ，现将ABC 沿 AC 向ADC 折叠至
AB′C的位置，折过去后AB′交DC于点P．
（1）设DP=m，求m关于x的函数m= f (x)的解析式及其定义域；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求ADP面积的最大值及相应x的值．
18. （17分）
x+b 1
已知函数 f (x)= 是定义在[−1,1 ]上的奇函数，且 f (1)= ．
ax2 +1 2
（1）求a，b的值；
（2）用定义法证明函数 f (x)在[−1,1 ]上的单调性，并求出值域；
5
（3）设g(x)=kx−k2 + ，若∀x ∈[−1,1 ]，∀x ∈[ 0,1 ]，都有 f (x )≤g(x )恒成立，求实
1 2 1 2
2
数k的取值范围．
19. （17分）
俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合
I 上的函数 f (x)，以及函数g(x)=kx+b(k,b∈R)，切比雪夫将函数 y= f (x)−g(x),x∈I 的
最大值称为 f (x),g(x)的“偏差”．
（1）函数 f (x)=x2，x∈[ 0,1 ] ,g(x)=−x−2，求 f (x),g(x)的“偏差”；
1
（2）函数 f (x)= +1，x∈[ 1,2 ]，g(x)=kx+1(k >0)，若 f (x)，g(x)的“偏差”为 2，求
x
k的值；
（3）函数 f (x)=x2 −x，x∈[ 0,3 ]，g(x)=2x+b，当 f (x),g(x)的“偏差”取最小值时，
求b的值，并求出“偏差”的最小值．
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高一数学答案
一、单选题：
1.C 2. B 3. D 4.C
5.A 6. C 7. A 8. B
二、多选题：
9. CD 10. ACD 11. BCD
三、填空题：
12. 0或4 13.   9,+∞) 14. m≤2.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答过程
写在答题卡指定位置.
15.（13分）
1 2x+3≥0,
（1）由 f (x)= 2x+3+ 得
3−x 3−x>0,
3
解得− ≤x<3．--------------------------------------------------------------------------------------------------2分
2
g(x)=x2 −2x+2=(x−1)2 +1≥1，
 3 
所以A=x − ≤x<3，B= { y y≥1 } ． --------------------------------------------------------------------- 4分
 2 
 3 
 B= { y y<1 } ，所以A∩(  B)=x − ≤x<1---------------------------------------------------------6分
R R  2 
(2)因为C∩B=∅所以
若C =∅，有 2a−1≥a+2得a≥3---------------------------------------------------------------------------8分
2a−1<a+2
若C ≠∅，有 ，得a≤−1，------------------------------------------------------------------11分
 a+2≤1
综上，
a≤−1或a≥3
，-----------------------------------------------------------------------------------------13分
16.(15分)
（1） f (x)<x，∴x2 −(m+1)x+m<0，∴(x−m)(x−1)<0.---------------------------------------4分
m=2，∴(x−2)(x−1)<0.
不等式 f (x)<0的解集为(1,2)；------------------------------------------------------------------------------7分
（2）由题意，∃x∈[ 1,2 ]，使不等式 f (x)<x+m−2成立
2
即x∈[ 1,2 ]时，m>x+ −1能成立.-------------------------------------------------------------------------12分
x
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学科网（北京）股份有限公司2
所以m>x+ −1的最小值
x
2 2
由基本不等式得x+ −1≥2 x⋅ −1=2 2−1，
x x
当且仅当x= 2∈[ 1,2 ]时，等号成立，
所以实数m的取值范围为m>2 2−1----------------------------------------------------------------------15分
17.（15分）
【详解】（1）因为矩形ABCD(AB>CD)的周长为20，AB=x，则AD=10−x，
又AB> AD，即x>10−x，又x<10，∴5<x<10，----------------------------------------------------2分
易知ADP≌CB′P，所以AP=CP=x−m，
在RtADP中，根据勾股定理得 AP2 = AD2 +DP2，即(x−m)2 =(10−x)2 +m2，
50
整理得m=10− ,(5<x<10)，------------------------------------------------------------------------------6分
x
50
故 f (x)=10− ，定义域为(5,10) .--------------------------------------------------------------------------7分
x
1 1  50
（2）由题意，S = AD×DP= (10−x) 10− 
ADP
2 2  x 
1  500
= 150− 10x+  ---------------------------------------------------------------------------------------10分
2  x 
1 500
≤ 150−2 10x⋅ ----------------------------------------------------------------------------------------13分
 
2 x 
=75−50 2 ，当且仅当 x=5 2∈(5，10) 时，等号成立.-------------------------------------------------14分
所以，当x=5 2时，ADP的面积有最大值
75−50 2
．--------------------------------------------15分
x
18．（1）因为 f(x)是定义在[−1,1 ]的奇函数，所以 f (0)=0，即 f(0)=b=0， 所以 f (x)= ，
ax2 +1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2分
1 1 1
又 f (1)= ，所以 f (1)= = ，解得a=1.所以a=1,b=0.----------------------------------------4分
2 a+1 2
x
（2）由（1）可知 f (x)= ，设−1≤x <x ≤1，
x2 +1 1 2
( ) ( )
则 f (x )− f (x )= x 1 − x 2 = x 1 x 2 2 +1 −x 2 x 1 2 +1 = (x 1 x 2 −1)(x 2 −x 1 ) ，--------------------7分
1 2 x2 +1 x2 +1 ( x2 +1 )( x2 +1 ) ( x2 +1 )( x2 +1 )
1 2 1 2 1 2
( )( )
因为−1≤x <x ≤1，所以x x <1⇒x x −1<0，x −x >0， x2 +1 x2 +1 >0，
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
所以 f (x )− f (x )<0⇒ f (x )< f (x )．
1 2 1 2
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 f (x)在[−1,1 ]上单调递增．-------------------------------------------------------------------------8分
1 1
所以 f(x)的最小值为 f (−1)=− ，最大值为 f (1)= ，
2 2
 1 1
所以函数 f (x)在[−1,1 ]上的值域为  − ,  ．------------------------------------------------------------10分
 2 2
1
（3）由（2）可得， f(x) = ，
max
2
所以要使得对任意的x ∈[−1,1 ]，对任意的x ∈[ 0,1 ]， f (x )≤g(x )成立，
1 2 1 2
1
只需要对任意的x ∈[ 0,1 ]，g(x )≥ f(x) = 即可，------------------------------------------------12分
2 2 max
2
5 1
所以问题可转化为：当0≤x≤1时，g(x)=kx−k2 + ≥ 恒成立．
2 2
①若k >0，则g(x)在[ 0,1 ]上为增函数，
5 1
由g(x) =g(0)=−k2 + ≥ ⇒− 2 ≤k ≤ 2 ，
min 2 2
又因为k >0，所以0<k ≤ 2 -------------------------------------------------------------------------------13分
5 1
②若k =0，则g(x)= ，此时g(x)≥ 在[ 0,1 ]上恒成立；-----------------------------------------14分
2 2
③若k <0，则g(x)在[ 0,1 ]上为减函数，
5 1
由g(x) =g(1)=k−k2 + ≥ ⇒−1≤k ≤2.
min 2 2
又因为 k <0，所以−1≤k <0--------------------------------------------------------------------------------15分
综上可知：−1≤k ≤ 2 ．即实数k的取值范围是  −1，2  ---------------------------------------------17分
19．(17分)
2
 1 7
【详解】（1）（1）y= f (x)−g(x) = x2 +x+2 = x+  + ,x∈[ 0,1 ] ----2分
 2 4
2
因为x∈[ 0,1 ]，所以  x+ 1  + 7 ∈[ 1,4 ]，
 2 4
2
 1 7
则y= x+  + ∈[ 1,4 ]，y =4.
max
 2 4
所以函数 f (x)与g(x)的“偏差”为4.----------------------------------------------------------------------4分
1 1
（2）令t = f (x)−g(x)= +1−(kx+1)= −kx,x∈[ 1,2 ]，
x x
1 1 
∵k >0，∴t= −kx是单调减函数，∴t∈

−2k,1−k

x 2 
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学科网（北京）股份有限公司1 
由题意，y= t ，t∈  2 −2k,1−k   ，且y max =2.-----------------------------------------------------------6分
1 1
当 −2k ≤ 1−k ，即0<k ≤ 时，1−k =2，解得k =3或k =−1，均不符合；
2 2
1 1 1 1 1
当 −2k > 1−k ，即k > 时， −2k =2， −2k =2或 −2k =−2，
2 2 2 2 2
5 3
解得k = 或k =− （舍）--------------------------------------------------------------------------------------9分
4 4
5
所以k = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------10分
4
2
 3 9
（3）y= f (x)−g(x) = x2 −x−(2x+b) = x2 −3x−b = x−  − −b,x∈[ 0,3 ]，
 2 4
2
因为x∈[ 0,3 ]，所以  x− 3

− 9 −b∈

 − 9 −b,−b 

，
 2 4  4 
 3 2 9  9 
由y= x−

− −b ，则y
max
=maxb,b+ ，---------------------------------------------------13分
 2 4  4 
9  9 2 9
令 b ≥ b+ ，即b2 ≥ b+

，解得b≤− ，
4  4 8
 9
−b,b≤−
 9    8
y =maxb,b+ = -------------------------------------------------------------------15分
max  4   b+ 9 ,b>− 9
 4 8
9 9
故当且仅当b=− 时，有(y ) = .
8 max min 8
9 9
故当b的值为− 时，函数 f (x)与g(x)的“偏差”取最小值 .------------------------------------17分
8 8
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