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宜城一中 枣阳一中 曾都一中
2025—2026 学年上学期期中考试
襄阳六中 南漳一中 老河口一中
高一数学试题
时间：120分钟 主命题学校：枣阳一中
分值：150分 命题老师：耿纯勇 唐伟 欧秋月
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准
考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
一、单选题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡指定位置上.
1. 已知集合P= { x∈Z −10”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤−3或a≥5 B．−3≤a≤5 C．a<−3或a>5 D．−3b>0，m>0，则 >
a+m a
B．函数f(x)的定义域为[ 1，5 ]，则函数f(2x+1)的定义域为[ 0，3 ]
C．“(x−2)(x−3)≤0成立”是“ x−2 + x−3 =1成立”的充要条件
D．设a，b∈R，若1≤a−b≤2且2≤a+b≤4，则5≤4a−2b≤10
x−1，x≤2
11. 已知函数g(x)= ，且g(a)=g(b)=g(c)(a2
A．g(x)的值域为[ 0，+∞ ) B．不等式g(x)≥1的解集为(−∞，0 ]∪[ 2，3 ]
C．a+b=2 D．a+b+c∈
5，7)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
{ }
12. 已知集合 B= x∣mx2 +4x+1=0，x∈R 的所有子集只有两个，则实数 m 的值为
__________.
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学科网（北京）股份有限公司13. 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3．则ab的取值范围为________________.
b
14. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数 f (x)=ax2 + （其中a>0，b>0）的图
x
b
象恰如其形，因而得名三叉戟函数．已知三叉戟函数 f (x)=ax2 + 的图象经过点(−1,0)，
x
1
且满足 f (1)=2．若∀x∈(0,+∞)，都有 f (x)+ f −2m≥0恒成立，则实数m的取值范围
x
为_______________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程
写在答题卡指定位置。
15. （13分）
1
已知函数 f (x)= 2x+3+ 的定义域为 A ， g(x)=x2 −2x+2 的值域为 B ．集合
3−x
C ={x|2a−1CD)的周长为20，其中 AB=x ，现将ABC 沿 AC 向ADC 折叠至
AB′C的位置，折过去后AB′交DC于点P．
（1）设DP=m，求m关于x的函数m= f (x)的解析式及其定义域；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求ADP面积的最大值及相应x的值．
18. （17分）
x+b 1
已知函数 f (x)= 是定义在[−1,1 ]上的奇函数，且 f (1)= ．
ax2 +1 2
（1）求a，b的值；
（2）用定义法证明函数 f (x)在[−1,1 ]上的单调性，并求出值域；
5
（3）设g(x)=kx−k2 + ，若∀x ∈[−1,1 ]，∀x ∈[ 0,1 ]，都有 f (x )≤g(x )恒成立，求实
1 2 1 2
2
数k的取值范围．
19. （17分）
俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合
I 上的函数 f (x)，以及函数g(x)=kx+b(k,b∈R)，切比雪夫将函数 y= f (x)−g(x),x∈I 的
最大值称为 f (x),g(x)的“偏差”．
（1）函数 f (x)=x2，x∈[ 0,1 ] ,g(x)=−x−2，求 f (x),g(x)的“偏差”；
1
（2）函数 f (x)= +1，x∈[ 1,2 ]，g(x)=kx+1(k >0)，若 f (x)，g(x)的“偏差”为 2，求
x
k的值；
（3）函数 f (x)=x2 −x，x∈[ 0,3 ]，g(x)=2x+b，当 f (x),g(x)的“偏差”取最小值时，
求b的值，并求出“偏差”的最小值．
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高一数学答案
一、单选题：
1.C 2. B 3. D 4.C
5.A 6. C 7. A 8. B
二、多选题：
9. CD 10. ACD 11. BCD
三、填空题：
12. 0或4 13. 9,+∞) 14. m≤2.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答过程
写在答题卡指定位置.
15.（13分）
1 2x+3≥0,
（1）由 f (x)= 2x+3+ 得
3−x 3−x>0,
3
解得− ≤x<3．--------------------------------------------------------------------------------------------------2分
2
g(x)=x2 −2x+2=(x−1)2 +1≥1，
3
所以A=x − ≤x<3，B= { y y≥1 } ． --------------------------------------------------------------------- 4分
2
3
B= { y y<1 } ，所以A∩( B)=x − ≤x<1---------------------------------------------------------6分
R R 2
(2)因为C∩B=∅所以
若C =∅，有 2a−1≥a+2得a≥3---------------------------------------------------------------------------8分
2a−1x+ −1能成立.-------------------------------------------------------------------------12分
x
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所以m>x+ −1的最小值
x
2 2
由基本不等式得x+ −1≥2 x⋅ −1=2 2−1，
x x
当且仅当x= 2∈[ 1,2 ]时，等号成立，
所以实数m的取值范围为m>2 2−1----------------------------------------------------------------------15分
17.（15分）
【详解】（1）因为矩形ABCD(AB>CD)的周长为20，AB=x，则AD=10−x，
又AB> AD，即x>10−x，又x<10，∴50， x2 +1 x2 +1 >0，
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
所以 f (x )− f (x )<0⇒ f (x )< f (x )．
1 2 1 2
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 f (x)在[−1,1 ]上单调递增．-------------------------------------------------------------------------8分
1 1
所以 f(x)的最小值为 f (−1)=− ，最大值为 f (1)= ，
2 2
1 1
所以函数 f (x)在[−1,1 ]上的值域为 − , ．------------------------------------------------------------10分
2 2
1
（3）由（2）可得， f(x) = ，
max
2
所以要使得对任意的x ∈[−1,1 ]，对任意的x ∈[ 0,1 ]， f (x )≤g(x )成立，
1 2 1 2
1
只需要对任意的x ∈[ 0,1 ]，g(x )≥ f(x) = 即可，------------------------------------------------12分
2 2 max
2
5 1
所以问题可转化为：当0≤x≤1时，g(x)=kx−k2 + ≥ 恒成立．
2 2
①若k >0，则g(x)在[ 0,1 ]上为增函数，
5 1
由g(x) =g(0)=−k2 + ≥ ⇒− 2 ≤k ≤ 2 ，
min 2 2
又因为k >0，所以00，∴t= −kx是单调减函数，∴t∈
−2k,1−k
x 2
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由题意，y= t ，t∈ 2 −2k,1−k ，且y max =2.-----------------------------------------------------------6分
1 1
当 −2k ≤ 1−k ，即0 1−k ，即k > 时， −2k =2， −2k =2或 −2k =−2，
2 2 2 2 2
5 3
解得k = 或k =− （舍）--------------------------------------------------------------------------------------9分
4 4
5
所以k = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------10分
4
2
3 9
（3）y= f (x)−g(x) = x2 −x−(2x+b) = x2 −3x−b = x− − −b,x∈[ 0,3 ]，
2 4
2
因为x∈[ 0,3 ]，所以 x− 3
− 9 −b∈
− 9 −b,−b
，
2 4 4
3 2 9 9
由y= x−
− −b ，则y
max
=maxb,b+ ，---------------------------------------------------13分
2 4 4
9 9 2 9
令 b ≥ b+ ，即b2 ≥ b+
，解得b≤− ，
4 4 8
9
−b,b≤−
9 8
y =maxb,b+ = -------------------------------------------------------------------15分
max 4 b+ 9 ,b>− 9
4 8
9 9
故当且仅当b=− 时，有(y ) = .
8 max min 8
9 9
故当b的值为− 时，函数 f (x)与g(x)的“偏差”取最小值 .------------------------------------17分
8 8
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