文档内容
咸阳市实验中学 2025—2026 学年度第一学期第二次质量检测
高一数学
注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效．
4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效．
5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 函数 （ ，且 ）的图象恒过定点，该定点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数过定点的性质即可得到答案.
【详解】当 时， ，
故 的图象恒过定点 .
故选：C.
2. 已知幂函数 是奇函数，则 的值是（ ）
A. 3 B. C. 3或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数为幂函数求参数值，结合其奇偶性确定最终参数值.
【详解】由函数为幂函数，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 或 ，又 为奇函数，
当 ，则 为偶函数，不满足，
当 ，则 为奇函数，满足，
综上， .
故选：A
3. 已知命题 ，命题 ，则（ ）
A. 和 都 是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
【答案】C
【解析】
【分析】首先通过取特值判断命题 与命题 的真假，进而判断选项的正误即可.
【详解】对于命题 ：当 时， ，因此命题 为真命题，从而 为假命题；
对于命题 ：当 ， 时， ， ，可得： ，
故命题 为假命题，从而 为真命题；
综上可得：命题 与命题 均为真命题.
故选：C
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】对于A选项，当 时，即可判断；对于B选项，通过不等式的性质判断即可；
对于C选项，通过特殊值法判断即可；对于D选项，通过作差法判断即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A选项，当 时， ，故A错误；
对于B选项，因为 ，所以 ，故B错误；
对于C选项，当 ， 时， ，故C错误；
对于D选项， ，因为 ，所以
，所以 ，故D正确.
故选：D.
5. 甲、乙两人解关于 的不等式 ，甲写错了常数 ，得到的解集为 ；乙写错
了常数 ，得到的解集为 ．若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出常数 和 ，再解一元二次不等式即可.
【详解】由题意知，甲的常数 正确，由韦达定理可得 ，
乙的常数 正确，由韦达定理可得 ，
所以原不等式为 ，解得 ，
所以解集为 ，故A正确.
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司6. 某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目 、径赛项目 、其他健身项目 ．该
班有25名同学选择球类项目 ，20名同学选择径赛项目 ，18名同学选择其他健身项目 ；其中有6名
同学同时选择 和 ，4名同学同时选择 和 ，3名同学同时选择 和 ．若全班同学每人至少选择一
类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ）
A. 52 B. 51 C. 50 D. 49
【答案】A
【解析】
【分析】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案.
【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择 和 两个项目的同学有4人，
只选择 和 两个项目的同学有2人，只选择 和 两个项目的同学有1人，
只选择 一个项目的同学有17人，只选择 一个项目的同学有13人，只选择 一个项目的同学有13人，
如图，
所以班级人数为： .
故选：A
7. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】化简两个不等式，根据不等关系得出答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ，
当 ， ，上式成立，此时 ；
当 ， ，由 可得 ，即 ；
当 ， ，此时不满足 ；
当 ， ，由 可得 ，即 ；
综上可得，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D
8. 设函数 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造新函数 ，判断函数 奇的偶性及其单调性，利用函数的单调性求解不
等式即可.
【详解】已知函数 ，令 ，
又 ，可得： 为定义在 上的奇函数.
当 时， ，由于二次函数开口向上，且对称轴为 ，
可得：函数 在 上单调递增；
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学科网（北京）股份有限公司又 为奇函数且 ，可得：函数 在 上单调递增.
又 ，得： ，
即 ，移项得： ，
由 为奇函数，得： ，
由 在 上单调递增，得： ，解得： .
综上可得：实数 的取值范围为 .
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设全集 ，集合 ，则集合 可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据集合运算先求出 ,再确定 ,根据交集的定义即可确定 所含元素与不含的元素.
【详解】 ，
，
集合必须有3，6两个元素，不能有0，4这两个元素，可知选项ACD符合；
故选：ACD
10. 函数 的图象可能是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】讨论 ，当 时由反比例函数找到可能图像；当 时， 时由基本不等式得到
函数存在最值找到可能图象；当 时，由函数在 上的单调性找到函数图像.
【详解】当 时， ，B可能；
当 时， ，函数 中 ， ，
则 ，当且仅当 时取等号，D可能；
当 时， ，函数 在 上单调递减， 在 上单调递减，
因此函数 在 上单调递减，C可能，
无论 取何值，选项A都不可能.
故选：BCD.
11. 若实数 满足 ，则 的大小关系可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过化简可得 ， ， ，利用数形结合思想，将题意转化为函数 ，
， 的图象与直线 的交点纵坐标，由图象即可得结果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设 ，所以 ， ，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数 ， ， 的图象，
方程的根分别是函数 ， ， 的图象与直线 的交点纵坐标，
如图所示：
易知，随着 的变化可能出现： ， ， ，
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ___________．
【答案】0
【解析】
【分析】利用对数及分数指数幂的运算性质即可得解.
【详解】
故答案为：0
13. 若 ，且 ，则 的最小值是___________．
【答案】3.
【解析】
【分析】利用代换1法，结合基本不等式来求最小值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，且 ，
所以
，
当且仅当 时取等号，
故答案为：3.
14. 已知定义在 上的函数 同时满足下列条件：
①函数 的图象关于原点对称；
② ；
③当 时，不等式 恒成立．
则函数 的一个解析式可以为 ___________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】首先分析条件中的函数性质，再写出一个满足条件的.
【详解】由①可知函数 是定义在 上的奇函数，由②可知，当 时，函数 的图象是上凹
的，由③可知，当 时， ，当 时， ， 是函数 的零点，
所以当 时，满足条件的函数 ，
由奇函数的性质可知， ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ， ， ，
，
所以满足条件的一个解析式为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先解一元二次不等式得出集合 ，再根据 ，得出集合 ，计算 即可得出答
案；
（2）根据 ，所以 ，讨论 和 两种情况，解不等式即可得出答案.
【小问1详解】
当 时， ，
所以当 时， .
【小问2详解】
因为 ，所以 ；
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学科网（北京）股份有限公司集合 ， ；
当 时，有 ，解得 ，符合题意；
当 时，结合 可知 ，解得 ；
综上所述，实数 的取值范围为 ．
16. 已知函数 （ ，且 ）．
（1）求证： ；
（2）设 ，若函数 在区间 上的最大值比最小值大 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）分别将等式左右两边表示出来，化简即可证明；
（2）先求出 的解析式，然后根据底数的范围，分类讨论即可得出答案.
【小问1详解】
因为 ，
故 ．
【小问2详解】
依题意 ，
当 时， 在区间 上单调递减，所以
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学科网（北京）股份有限公司，
因此 ，解得 或 （舍去）；
当 时， 在区间 上单调递增，所以 ，
因此 ，解得 或 （舍去）．
故 或 ．
17. 当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.某动
力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前
年，设备维护成本共 万元.每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机
器人后，前x年的总盈利额为y万元.
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种.
方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理?并
说明理由.
【答案】（1） ；
（2）方案二更合理，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据销售总收入和成本，列出函数关系式即可；
（2）利用二次函数的性质求出方案一的总盈利，结合基本不等式求出方案二的总盈利，然后比较，即可
得到结果.
【小问1详解】
由题意， .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司方案一：总盈利额 ，
当 时， ，
若此时处理掉智能机器人，总盈利为 万元；
方案二：年平均盈利额 （万元），
当且仅当 时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人，
为
总盈利 万元.
两方案总利润都是13200万元，但方案二用时更短，则方案二更合理.
.
18 已知函数 （ ，且 ）．
（1）证明：函数 是偶函数；
（2）设 ，集合 ，
（i）当 时，求函数 的值域；
（ii）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用定义域对称性，结合证明 ，即可判断偶函数；
（2）（i）先求出二次函数的值域，再求对数函数值域即可；
（ii）根据题意转化为等式左右两边值域有交集，可先求没有交集的参数范围，再求出有交集时的参数范
围，它们之间是补集关系.
【小问1详解】
证明：依题意有 ,解得 ，
所以函数 的定义域为 ，关于原点对称，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
故函数 是偶函数．
【小问2详解】
（i）由 及（1）得 ，且 ，
当 ，即 时， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故当 时，函数 的值域为 ．
（ii）由（i）可知 ，所以 ，
存在实数 ，使得 ，
等价于 ，
而若 ，
则 或 ，即 或 ，
故当 时，则 ，
故实数 的取值范围为 ．
19. 已知函数 ．
（1）判断函数 在区间 上的单调性，并用单调性定义证明；
（2）求不等式 的解集；
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学科网（北京）股份有限公司（3）设 ，若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）单调递增，证明见解析；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据单调性的定义，应用作差法判断证明函数的区间单调性；
（2）讨论函数的单调区间，应用单调性解不等式求解集；
（3）令 ，问题化为 在区间 上恒成立，应用分类讨论及二次函数的性质求最值，
即可得参数范围.
【小问1详解】
函数 在区间 上单调递增，证明如下：
任取 ，且 ，
则
，而 ，
所以 ，即 ，
故函数 在区间 上单调递增；
【小问2详解】
由解析式知，函数 的定义域为 ，
当 时，同（1）证明，知函数 在区间 上单调递增，
又 ，所以 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即不等式 的解集为 ．
当 时， ，所以 ，即 ，
而函数 在 上单调递增，所以 ，即不等式 的解集为
综上，不等式 的解集为 ；
【
小问3详解】
，
令 ，由 及（2）知 ，
设 的图象是开口向上，对称轴为 的抛物线．
原问题转化为 在区间 上恒成立．
由 时，有 ，或 ，
当 时，函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ；
当 时，函数 在 上单调递减，
所以 ，即 ；
当 时， ，函数 ，符合题意；
综上，实数 的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司第17页/共17页
学科网（北京）股份有限公司
