2024年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷-解析版_初中近3年全区全科一模真题_2024年广州初三一模各区全科真题卷（70份）_数学2024年广州中考一模

2024 年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．） 1．（3分）如图，几何体由5个相同的小正方体搭成．它的主视图是( ) A． B． C． D． 2．（3分）下列计算结果正确的是 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 1 ( ) A． ( a 3 ) 3 = a 6 B． a 6  a 3 = a 2 C． ( a b 4 ) 2 = a b 3 D． ( b + 2 a ) ( 2 a − b ) = 4 a 2 − b 2 3．（3 分）如图，直线m//n，  A B C 是直角三角形，B=90，点C在直线n上．若  1 = 5 0  ，则2的 度数是( ) A． 6 0  B． 5 0  C． 4 5  D． 4 0  4．（3分）如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片 中出现2张正面朝上的概率是( ) 2 1 1 A．1 B． C． D． 3 3 95．（3分）不等式组 2 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  3 x x + − 2 1  2 0 的解集在数轴上表示正确的是( ) A． B． C． D． 6．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示． 成绩 / 米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 人数 2 3 5 4 1 这些运动员成绩的众数和中位数分别为( ) A．1.65，1.60 B．1.65，1.70 C．1.70，1.65 D．1.65，1.65 k 7．（3分）如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y= (k 0)的图象交于点A(1,2)，B(−2,−1)．则关于x x 的不等式 a x + b  k x 的解集是 ( ) A． x  − 2 或 0  x  1 B． x  − 1 或 0  x  2 C． − 2  x  0 或 x  1 D．−1x0或x2 8．（3 分）某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是 ( ) A． x 6 0 + 0 5 0 = 4 5 x 0 B． x 6 0 − 0 5 0 = 4 5 x 0 C． 6 0 x 0 = x 4 5 + 0 5 0 D． 6 0 x 0 = x 4 5 − 0 5 0 9．（3分）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，B=58，  A C D = 4 0  ．若 O的半径为5，则 D C 的长为( ) 13 10 1 A．  B．  C． D．  3 9 210．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 3 E ， F 分别在边 D C ， B C 上，且 B F = C E ， A E 平分  C A D ， 连接 D F ，分别交 A E ， A C 于点G ， M ， P 是线段 A G 上的一个动点，过点 P 作 P N ⊥ A C ，垂足为 N ， 连接 P M ，有下列四个结论：① A E 垂直平分 D M ；② P M + P N 的最小值为 3 2 ；③ C F 2 = G E  A E ；④ S  A D M = 6 2 ．其中正确的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（3分）从党的二十大报告中了解到，我国互联网上网人数达1030000000．将1030000000用科学记数 法表示为 ． 12．（3分）因式分解： x 2 y − 9 y = ． 13．（3分）关于 x 的方程x2 −mx+4=0有两个相等实根，则 m = ． 14．（3分）如图，测量河宽 A B （假设河的两岸平行），在 C 点测得ACB=30， D 点测得ADB=60， 又 C D = 6 0 m ，则河宽AB为 m （结果保留根号）． 15．（3 分）如图，在矩形 A B C D 中，点 P 在 B C 边上，连接PA，将PA绕点 P 顺时针旋转 9 0  得到PA， 连接CA，若AD=9，AB=5，CA=2 2，则BP= ．16．（3分）如图， 4 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  A B C 为等边三角形，点 D 为  A B C 外的一点，  A D C = 6 0  ， A D = 8 ， B D = 4 7 ，则  B C D 的面积为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） x−2y=1 17．（4分）解方程组： ． 3x+2y=3 18．（4分）如图，点E， C 在线段BF上， B E = F C ，A=D，  A C B =  D E F ．求证：  A B C   D F E ． 19．（6分）先化简，再求值： (1 − x 1 + 2 )  x x 2 + − 1 2 ，其中 x = s in 3 0  ． 20．（6分）某水产经销商以每千克 30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的 日销售量 y （千克）与销售价格 x （元 / 千克） ( 3 0 x  4 8 ) 存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格x（元 / 千克） 35 45 日销售量 y （千克） 250 150 （1）试求出 y 关于 x 的函数表达式． （2）如果不考虑其他因素，该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润是2000元时，请求出销售价格． 21．（8分）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生 答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级： A （优秀）， B （良好）， C （一般）， D （不合格），并根据结 果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取 人，条形统计图中的 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 5 m = ； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求 C 等所在扇形圆心角的度数； （3）学校要从答题成绩为 A 等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安 全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 22．（10分）如图，已知四边形ABCD是矩形．延长 B A 至 E 使 A E = A D ．连接CE 分别交 B D ， A D 于点 G ， F ，且CE⊥DB． （1）过点C作CM ⊥EC，交 A B 的延长线于点 M ．求证：四边形 D B M C 是平行四边形； （2）连结 A G ，求证：EG−DG= 2AG． 23．（10分）如图，已知 A ( 0 , 4 ) ， B ( − 3 , 0 ) ，C(2,0)． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出点B关于直线 A C 的对称点 D ；（要求：不写作法，保留作图痕迹） k （2）若反比例函数y= 的图象过点 x D ，求此反比例函数的解析式； （3）在（2）的条件下， E 是第一象限内的反比例函数图象上一动点，当  A C E 的面积取最小值时，求点 E的坐标．24．（12分）抛物线 6 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 y = a x 2 + b x + 4 与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ，点 B ( 3 , 0 ) ， 对称轴为直线 x = 1 ，对称轴与 x 轴交于点 D ． （1）求该抛物线的解析式； （2）作直线 B C ，点 P 是抛物线上一动点，作直线 P C ，当  P C B =  A B C 时，求点 P 的坐标； （3）点 E 为线段OC上一动点，当点 E 坐标为何值时， D E + 3 5 C E 有最小值，并求出最小值． 25．（12分）如图，在RtABC中，  A B C = 9 0  ，点 P 是斜边 A C 上一个动点，以 B P 为直径作 O ，交BC 于点 D ，与 A C 的另一个交点为E，连接 D E ， B E ． （1）当 D P = E P 时，求证： A B = A P ； （2）当AB=3，BC=4时， ①是否存在点 P ，使得  B D E 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理 由； ②连接 D P ，点 H 在 D P 的延长线上，若点 O 关于 D E 的对称点 Q 恰好落在  C P H 内，求 C P 的取值范围．2024 年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．） 1．（3分）如图，几何体由5个相同的小正方体搭成．它的主视图是( ) A． B． C． D． 【答案】 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 7 A 【考点】简单组合体的三视图 【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形． 故选： A ． 2．（3分）下列计算结果正确的是 ( ) A． ( a 3 ) 3 = a 6 B． a 6  a 3 = a 2 C． ( a b 4 ) 2 = a b 3 D． ( b + 2 a ) ( 2 a − b ) = 4 a 2 − b 2 【答案】 D 【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；平方差公式 【解答】解： A 、(a3)3 =a9，故此选项不符合题意； B、a6 a3 =a3，故此选项不符合题意； C、(ab4)2 =a2b8，故此选项不符合题意； D、(b+2a)(2a−b)=(2a+b)(2a−b)=4a2−b2，故此选项符合题意； 故选：D．3．（3 分）如图，直线 8 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 m / / n ，  A B C 是直角三角形，  B = 9 0  ，点 C 在直线 n 上．若  1 = 5 0  ，则  2 的 度数是 ( ) A． 6 0  B． 5 0  C．45 D． 4 0  【答案】D 【考点】平行线的性质 【解答】解：延长AB交直线 n 于点 D ， m / / n ，  1 = 5 0  ，   1 =  B D C = 5 0  ， ABC=90，   C B D = 9 0  ，   2 = 9 0  −  B D C = 9 0  − 5 0  = 4 0  ， 故选： D ． 4．（3分）如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片 中出现2张正面朝上的概率是 ( )A．1 B． 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 9 2 3 1 C． D． 3 1 9 【答案】 B 【考点】列表法与树状图法 【解答】解： 任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡 片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，  P = 2 3 ， 故选：B． 3x−1 2 5．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( x+20 ) A． B． C． D． 【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集 【解答】解：解不等式 3 x − 1 2 ，得： x 1 ， 解不等式 x + 2  0 ，得： x  − 2 ， 则不等式组的解集为−2x 1， 故选： A ． 6．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示． 成绩 / 米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 人数 2 3 5 4 1 这些运动员成绩的众数和中位数分别为( ) A．1.65，1.60 B．1.65，1.70 C．1.70，1.65 D．1.65，1.65 【答案】 D 【考点】中位数；众数 【解答】解：从频数分布表中可以看出，跳远成绩为1.65的人数最多，所以这组数据的众数为1.65； 根据中位数的概念，可知这组数据一共15个数据，第8个数据为1.65，所以这组数据的中位数为1.65．故选： 10 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 D ． 7．（3分）如图，一次函数 y = a x + b 与反比例函数 y = k x ( k  0 ) 的图象交于点 A (1 , 2 ) ， B ( − 2 , − 1 ) ．则关于x k 的不等式ax+b 的解集是( ) x A． x  − 2 或 0  x  1 B． x  − 1 或 0  x  2 C． − 2  x  0 或 x  1 D． − 1  x  0 或 x  2 【答案】 C 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解答】解：由题意， 点 A (1 , 2 ) ，B(−2,1)， 不等式 a x + b  k x 的解集是一次函数 y = a x + b 的图象在反比例函数 y = k x 图象上方的部分对应的自变量 的取值范围． 结合图象， − 2  x  0 或 x  1 ． 故选： C ． 8．（3 分）某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产 x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是 ( ) 600 450 600 450 600 450 600 450 A． = B． = C． = D． = x+50 x x−50 x x x+50 x x−50 【答案】 A 【考点】由实际问题抽象出分式方程 【解答】解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产 ( x + 5 0 ) 台． 依题意得： x 6 0 + 0 5 0 = 4 5 x 0 ． 故选：A． 9．（3分）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，B=58，ACD=40．若 O的半径为5，则DC的长为 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 11 ( ) A． 1 3 3  B． 1 0 9  C． D． 1 2  【答案】 C 【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算 【解答】解：连接OA、 O D 、 O C ，  B = 5 8  ，  A C D = 4 0  ．   A O C = 2  B = 1 1 6  ，  A O D = 2  A C D = 8 0  ，   D O C = 3 6  ，  D C 3 6 1 8 0 5   =  = ． 故选： C ． 10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点 E ，F 分别在边 D C ， B C 上，且 B F = C E ，AE平分  C A D ， 连接DF，分别交AE， A C 于点G ， M ， P 是线段 A G 上的一个动点，过点 P 作 P N ⊥ A C ，垂足为 N ， 连接PM ，有下列四个结论：①AE垂直平分 D M ；② P M + P N 的最小值为 3 2 ；③CF2 =GEAE；④ S =6 2．其中正确的个数是 ADM ( )A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 12 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 B 【考点】正方形的性质；轴对称 − 最短路线问题；线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；相似三角形 的判定与性质 【解答】解： ABCD为正方形， BC=CD= AD，ADE=DCF =90， BF =CE， DE=FC，   A D E   D C F ( S A S ) ． DAE=FDC，  A D E = 9 0  ，   A D G +  F D C = 9 0  ，   A D G +  D A E = 9 0  ， AGD=AGM =90． A E 平分  C A D ，   D A G =  M A G ． AG= AG， ADGAMG(ASA)．  D G = G M ， AGD=AGM =90， AE垂直平分DM ， 故①正确． 由①可知，ADE=DGE=90，DAE=GDE，   A D E ∽  D G E ， DE AE  = ， GE DE DE2 =GEAE，由①可知 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 13 D E = C F ， CF2 =GEAE． 故③正确． A B C D 为正方形，且边长为4， AB=BC= AD=4， 在RtABC中，AC= 2AB=4 2． 由①可知，  A D G   A M G ( A S A ) ，  A M = A D = 4 ， CM = AC?AM =4 2?4． 由图可知，  D M C 和  A D M 等高，设高为 h ， S =S ?S ， ADM ADC DMC 4h 44 (4 2?4)h  = ? ， 2 2 2 h=2 2 ，  S  A D M = 1 2  A M  h = 1 2  4  2 2 = 4 2 ． 故④错误． 由①可知，  A D G   A M G ( A S A ) ，  D G = G M ， M 关于线段 A G 的对称点为 D ，过点 D 作 D N  ⊥ A C ，交 A C 于 N  ，交 A E 于 P  ， PM +PN最小即为 D N  ，如图所示， 由④可知  A D M 的高h=2 2即为图中的DN， DN=2 2． 故②不正确． 综上所述，正确的是①③共两个． 故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（3分）从党的二十大报告中了解到，我国互联网上网人数达1030000000．将1030000000用科学记数 法表示为 14 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 1 .0 3  1 0 9 ． 【答案】 1 .0 3  1 0 9 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解答】解：用科学记数法表示： 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 = 1 .0 3  1 0 9 ． 故答案为： 1 .0 3  1 0 9 ． 12．（3分）因式分解： x 2 y − 9 y = y ( x + 3 ) ( x − 3 ) ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【解答】解： x 2 y − 9 y ， =y(x2 −9)， = y(x+3)(x−3)． 13．（3分）关于x的方程 x 2 − m x + 4 = 0 有两个相等实根，则m=  4 ． 【考点】根的判别式 【解答】解： 关于x的方程 x 2 − m x + 4 = 0 有两个相等实根， △=(−m)2 −44=0，解得m=4． 故答案为：  4 ． 14．（3分）如图，测量河宽 A B （假设河的两岸平行），在C点测得  A C B = 3 0  ， D 点测得  A D B = 6 0  ， 又CD=60m，则河宽 A B 为 30 3 m（结果保留根号）．【考点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用 【解答】解： 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 15  A C B = 3 0  ，  A D B = 6 0  ， CAD=30， AD=CD=60m， 在RtABD中， A B = A D  s in  A D B = 6 0  2 3 = 3 0 3(m)． 故答案为：30 3 ． 15．（3 分）如图，在矩形 A B C D 中，点 P 在 B C 边上，连接 P A ，将PA绕点 P 顺时针旋转 9 0  得到 P A  ， 连接 C A  ，若 A D = 9 ， A B = 5 ， C A  = 2 2 ，则 B P = 2 ． 【答案】2． 【考点】矩形的性质；旋转的性质 【解答】解：过A点作AH ⊥BC于H点，如图， 四边形ABCD为矩形，  B C = A D = 9 ，B=90， 将 P A 绕点P顺时针旋转 9 0  得到 P A  ，  P A = P A  ， PAB+APB=90，  A P B +  A P H = 9 0  ， PAB=APH， 在ABP和PHA中，16 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季    P B P A = A = B  A P = P H  A A  P H ，   A B P   P H A ( A A S ) ，  P B = A H ， P H = A B = 5 ， 设 P B = x ，则 A H = x ，CH =9−x−5=4−x， 在 R t △ A C H 中， x 2 + ( 4 − x ) 2 = ( 2 2 ) 2 ， 解得 x 1 = x 2 = 2 ， 即 B P 的长为2． 故答案为：2． 16．（3分）如图，ABC为等边三角形，点 D 为ABC 外的一点，  A D C = 6 0  ， A D = 8 ，BD=4 7 ，则 BCD的面积为 4 3 ． 【答案】 4 3 ． 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【解答】解：如图，以 C D 为边作等边三角形 C D H ，连接 A H ，过点 H 作 H N ⊥ 直线AD于 N ， CD=DH =CH ，CDH =DCH =DHC=60，初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 17  A B C 为等边三角形，  A B = A C = B C ，  B A C =  A C B = 6 0  =  D C H ，   B C D =  A C H ，   B D C   A H C ( S A S ) ， BD= AH =4 7 ， S  B C D = S  A C H ，  H D N = 1 8 0  −  C D H −  A D C = 6 0  ， NHD=30， 1 DN = DH ，HN = 3DN， 2 N H 2 + A N 2 = A H 2 ， 3DN2 +(8+DN)2 =56，  D N = 2 （负值舍去）， DH =4=CH ， N H = 2 3 ， DCH =CDA=60， AD//CH，  S  A C H = S  A H D = 1 2  C H  N H = 4 3 ，  S  B C D = S  A C H = 4 3 ， 故答案为：4 3． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（4分）解方程组：  x 3 − x + 2 y 2 = y 1 = 3 ． x=1 【答案】 ． y=0 【考点】解二元一次方程组 【解答】解：  x 3 − x + 2 y 2 = y 1 = 3 ① ② ①+②得：4x=4， 解得：x=1，把 18 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 x = 1 代入①得：1−2y=1， 解得： y = 0 ， 原方程组的解为：  x y = = 1 0 ． 18．（4分）如图，点 E ，C在线段BF上，BE=FC ，  A =  D ，ACB=DEF ．求证：ABCDFE． 【答案】见解答． 【考点】全等三角形的判定 【解答】证明： B E = F C ，  B E + E C = E C + C F ， 即 B C = E F ， 在ABC和  D F E 中，    B A A C = C = B  E D = F  D F E ，   A B C   D F E ( A A S ) ． 19．（6分）先化简，再求值： (1 − x 1 + 2 )  x x 2 + − 1 2 ，其中 x = s in 3 0  ． 【答案】 x 1 − 1 ， − 2 ． 【考点】特殊角的三角函数值；分式的化简求值 x+2 1 x+2 【解答】解：原式=( − ) x+2 x+2 (x+1)(x−1) = x x + + 1 2  ( x + x 1 + ) ( 2 x − 1 ) = x 1 − 1 ， 1 1 当x=sin30= 时，原式= =−2． 2 1 −1 220．（6分）某水产经销商以每千克 30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的 日销售量 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 19 y （千克）与销售价格 x （元 / 千克） ( 3 0 x  4 8 ) 存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格 x （元 / 35 45 千克） 日销售量 y 250 150 （千克） （1）试求出 y 关于 x 的函数表达式． （2）如果不考虑其他因素，该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润是2000元时，请求出销售价格． 【考点】一次函数的应用；一元二次方程的应用 【解答】解：（1）设 y 关于 x 的函数表达式为 y = k x + b ( k  0 ) ． 将 x = 3 5 ，y=250和 x = 4 5 ， y = 1 5 （0分）别代入，得：  3 4 5 5 k k + + b b = = 2 1 5 5 0 0 ， 解得：  k b = = ? 6 1 0 0 0 ，  y 关于 x 的函数表达式是：y=−10x+600(30 x48)． （2）由题意得： ( x − 3 0 ) ( − 1 0 x + 6 0 0 ) = 2 0 0 0 ． 解得 x = 4 0 或50（舍去）． 答：销售价格为每千克40元． 21．（8分）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生 答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级： A （优秀）， B （良好）， C （一般）， D （不合格），并根据结 果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取 50 人，条形统计图中的m= ；（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求 20 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 C 等所在扇形圆心角的度数； （3）学校要从答题成绩为 A 等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安 全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】（1）50，7； （2）见解析，108； （3） 1 6 ． 【考点】条形统计图；列表法与树状图法；扇形统计图 【解答】解：（1）由统计图可得，这次抽样调查共抽取：1632%=50（人 ) ，m=5014%=7， 故答案为：50，7． （2）由（1）知，m=7，等级为 A 的有： 5 0 − 1 6 − 1 5 − 7 = 1 2 （人 ) ， 补充完整的条形统计图如图所示， C 等所在扇形圆心角的度数为： 3 6 0   1 5 5 0 = 1 0 8  ． （3）树状图如下所示： 由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种， 抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为 1 2 2 = 1 6 ． 22．（10分）如图，已知四边形ABCD是矩形．延长BA至E使AE=AD．连接CE 分别交BD，AD于点 G ，F ，且CE⊥DB．（1）过点 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 21 C 作 C M ⊥ E C ，交 A B 的延长线于点 M ．求证：四边形 D B M C 是平行四边形； （2）连结 A G ，求证：EG−DG= 2AG． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质 【解答】证明：（1）如图， 四边形 A B C D 是矩形，  A B / / C D ，即 C D / / B M ， C E ⊥ D B ， C M ⊥ E C ， BD//CM ， 四边形 D B M C 是平行四边形； （2）过点 A 作AN ⊥ AG交EC于点N， 四边形 A B C D 是矩形， EAD=90=NAG， EAN =DAG， B D ⊥ C E ，   D G F = 9 0  ， FDG+DFG=90， DCF+DFG=90，22 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季   D C F =  F D G =  A E N ， AE=AD，   A E N   A D G ( A S A ) ， EN =DG， A N = A G ， NG= 2AG，  E G − D G = E G − E N = N G = 2 A G ． 23．（10分）如图，已知 A ( 0 , 4 ) ， B ( − 3 , 0 ) ，C(2,0)． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出点B关于直线 A C 的对称点 D ；（要求：不写作法，保留作图痕迹） k （2）若反比例函数y= 的图象过点D，求此反比例函数的解析式； x （3）在（2）的条件下， E 是第一象限内的反比例函数图象上一动点，当  A C E 的面积取最小值时，求点 E的坐标． 20 【答案】（1）见解析；（2）反比例函数解析式为：y= ．（3）E( 10，2 10)． x 【考点】反比例函数综合题 【解答】解：（1）分别以点 A 、 C 为圆心以 A B 长为半径在线段 A B 左右画弧，两弧相交于点 D ，则点 D 即为所求．（2） 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 23 A ( 0 , 4 ) ，B(−3,0)， C ( 2 , 0 ) ， AB=BC=5， B D 与 A C 互相平分， 四边形 A B C D 是菱形， F (1 , 2 ) ， −3+x 根据中点坐标公式得：1= D ， 2 x D = 5 ； 2 = 0 + 2 y D ， y D = 4 ，  D ( 5 , 4 ) ， 点D在反比例函数图象上，  k = 2 0 ， 反比例函数解析式为： y = 2 0 x ． （3）如图，作 E P ⊥ x 轴，交 A C 延长线于点 P ，设 E ( m , 2 m 0 ) ，则 x P = x E = m ， 由 A 、 C 两点坐标可得直线 A C 解析式为： y = − 2 x + 4 ， P(m,−2m+4)，  E P = 2 m 0 − ( − 2 m + 4 ) = 2 m 0 + 2 m − 4 ，  S  A C E = 1 2  2  ( 2 m 0 + 2 m − 4 ) = 2 m 0 + 2 m − 4 ， 2 m 0 + 2 m 2 2 m 0  2 m ，即 2 m 0 + 2 m  4 1 0 ，  S  A C E 4 1 0 − 4 ， 当 2 m 0 = 2 m 时， S  A C E 取最小值， m= 10或− 10（舍去）， E( 10 ， 2 1 0 ) ． 24．（12分）抛物线y=ax2 +bx+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点 B ( 3 , 0 ) ， 对称轴为直线 x = 1 ，对称轴与 x 轴交于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）作直线BC，点P是抛物线上一动点，作直线PC，当PCB=ABC 时，求点P的坐标；（3）点 24 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 E 为线段 O C 上一动点，当点 E 坐标为何值时， D E + 3 5 C E 有最小值，并求出最小值． 4 8 【答案】（1）y=− x2 + x+4； 3 3 （2）点 P 的坐标为： ( − 4 7 ， 1 0 4 0 9 ) 或 ( 2 , 4 ) ； （3） 1 6 5 ． 【考点】二次函数综合题 【解答】解：（1）由题意得：  x 9 = a 1 + = 3 b − + b 2 a4 = 0 ， 解得：  a b = = − 8 3 4 3 ， 4 8 则抛物线的表达式为：y=− x2 + x+4； 3 3 （2）当点P在 B C 下方时， 设 C P 交 x 轴于点 H ，  P C B =  A B C ， 则 C H = B H ，即(3−x)2 =x2 +16， 7 解得：x=− ， 6 7 则点H(− ，0)， 6 24 由点C、H的坐标得，直线CH 的表达式为：y= x+4， 7 24 4 8 联立上式和抛物线的表达式得： x+4=− x2 + x+4， 7 3 3解得： 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 25 x = 0 （舍去）或 − 4 7 ， 则点 P 4 100 的坐标为：(− ， )； 7 49 当点P(P)在 B C 上方时， PCB=ABC， 则 C P  / / x 轴， 则点 C 、 P  关于抛物线的对称轴对称， 则点P(2,4)； 综上，点 P 的坐标为： ( − 4 7 ， 1 0 4 0 9 ) 或 ( 2 , 4 ) ； （3）过点C作直线 C T 使 ta n  C T D = 4 3 ， C T 交 x 轴于点 T ， 3 则tanTCO= ， 4 则 s in  T C O = 3 5 ， 过点E作 F H ⊥ C T ， 3 则EH =CEsinTCO= CE， 5 故 D E + 3 5 C E = D E + E H ， 则当点D、E、H共线时， D E + 3 5 C E = D H 最小， 4 OC 4 4 tanCTD= = = ，则sinCTD= ， 3 OT 3 5 则OT =3， 则TD=3+1=4，则 26 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 H D = T D  s in  C T D = 4  4 5 = 1 6 5 ， 3 16 即DE+ CE的最小值为： ． 5 5 25．（12分）如图，在RtABC中，  A B C = 9 0  ，点P是斜边 A C 上一个动点，以BP为直径作 O ，交BC 于点D，与 A C 的另一个交点为E，连接DE，BE． （1）当DP=EP时，求证：AB= AP； （2）当AB=3，BC=4时， ①是否存在点P，使得BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理 由； ②连接DP，点H在DP的延长线上，若点 O 关于DE的对称点Q恰好落在  C P H 内，求 C P 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）①2或1.4或2.5，②1.4CP2.5． 【考点】圆的综合题 【解答】（1）证明：连接BE，如图， B P 为直径， BEP=90， BPE+PBE=90， DP=EP， DBP=EBP， ABC=90，初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 27  9 0  −  D B P = 9 0  −  E B P ，   A B P =  A P B ，  A B = A P ； （2）解：①存在点P，使得  B D E 是等腰三角形，符合条件的 C P 的长为2或1.4或2.5．理由： AB=3，BC=4，ABC =90， AC=5， B P 为直径， BDP=BEP=90， BE⊥ AC ，  1 2 A C  B C = 1 2 A B  B E ，  B E = 2 .4 ， Ⅰ．当 B E = B D 时，连接 P D ，如图， BE=BD=2.4， CD=BC−BD=1.6， BDP=CBA=90， AB//DP， CDP∽CBA， CD CP  = ， BC AC  C P = 2 ； Ⅱ．当BE=ED时， BE=ED=2.4， CE= BC2 −BE2 =3.2．C =C， 28 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  C B P =  C E D ，   C B P ∽  C E D ， CB BP  = ， CE DE BP=3，  PE= BP2−BE2 =1.8．  C P = C E − P E = 1 .4 ； Ⅲ．当 D E = B D 时，   D E B =  D B E ， DBE+C=90，  D E B +  D E C = 9 0  ，   C =  D E C ，  D C = D E ，  C D = D E = B D ．  C D = B D = 1 2 B C = 2 ， 由Ⅱ知：  C D P ∽  C B A ， CD CB  = ， CP CA  C 2 P = 4 5  C P = 2 .5 ． 综上，当  C B D 为等腰三角形时， C P 的长为：2或1.4或2.5． ②解： C P 的取值范围为： 1 .4  C P  2 .5 ．理由如下： Ⅰ．点 O 的对称点在直线 D H 上时，设点 O 的对称点为Q，连接OD，OE， O Q ，QE，如图，点 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 29 O 与点 Q 关于 D E 对称，  D E 垂直平分 O Q ，  D Q = D O ， E Q = E O ． OD=OE，  O D = D Q = Q E = O E ， 四边形 O D Q E 为菱形， OE//DH ， A P 为直径，   B D H = 9 0  ，  D H ⊥ B D ，  O E ⊥ B D ， OE垂直平分 B D ， DE=BE， 即与①中Ⅱ的情况相同，  C P = 1 .4 ． Ⅱ．点 O 的对称点在直线 C P 上时，设点 O 的对称点为 Q ，连接 O D ， O E ， O Q ， Q D ，如图， 点 O 与点Q关于 D E 对称，  D E 垂直平分 O Q ， DQ=DO，EQ=EO． O D = O E ， OD=DQ=QE=OE， 四边形ODQE为菱形，OD//AC， 30 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 A P 为直径，   B E P = 9 0  ， PE⊥BE， OD⊥BE， OD垂直平分 B E ， DE=DB， 即与①中Ⅲ的情况相同， CP=2.5． 点 P 关于 D E 的对称点在  C P H 内时， C P 的取值范围为1.4CP2.5．