2024年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷-解析版_初中近3年全区全科一模真题_2024年广州初三一模各区全科真题卷（70份）_数学2024年广州中考一模

2024 年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．） 1．（3分） 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 1 − 2 的相反数是 ( ) A．2 B． − 2 C． 1 2 D． − 1 2 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． 3．（3分）如图，将  A B C 沿 B A 方向平移到△ABC，若AB=4， A B  = 1 ，则平移距离为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 4．（3分）石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米 (1 纳米 = 0 .0 0 0 0 0 0 0 0 1 米）．与此同时，石墨烯 比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料。0.3纳米用科学记数法可以表示为( ) 米． A． 3  1 0 − 8 B．0.310−9 C．310−9 D．310−10 5．（3分）下列运算正确的是 ( ) A． a + b = a + b B．−a+b=−(a+b) C． ( a 2 ) 3 = a 5 D． ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 6．（3分）关于函数y=−2x+1，下列结论成立的是( ) A．函数图象经过点(1,1) B．y随x的增大而增大 C．当x0时，y0 D．函数图象不经过第一象限7．（3 分）如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均 为6，则 2 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 2 x − y + z 的值为 ( ) A．0 B．2 C．−12 D．20 8．（3分）某班35位同学课外阅读物的数量统计如表所示，其中有两个数据被遮盖，下列关于课外阅读物 的统计量中，与被遮盖的数据无关的是( ) 课外阅读物的数量 2 3 4 5 6 7 8 人数 ■ ■ 9 7 9 3 2 A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．平均数，众数 D．中位数，众数 9．（3分）如图，点 E 为矩形 A B C D 边CD的中点，点 F 为边BC上一点，且  F A E =  E A D ，若 B F = 8 ， FC=2，则AF 的长为 ( ) A．10 B． 4 5 C．12 D． 2 4 1 10．（3分）已知二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x  − 1 0 1 2 3  y  1 m n 1 P  若mp0，则下列结论：①a0；②若方程ax2 +bx+c=0的两个实数根为x ，x ，则x +x =1；③ 1 2 1 2 9 a+3b−c0；④np的最大值为 ．其中正确的结论是( ) 8 A．①② B．②③ C．③④ D．②④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11．（3分）使代数式 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 3 x − 3 有意义的 x 的取值范围是 ． 12．（3分）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共 40 个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出 一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.4，则布袋中红球的个数大约 是 ． 13．（3分）分式方程 1 x = x 2 − 1 的解是 ． 14．（3分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰ABC ，其中AB= AC，ABC =27，BC=40cm，则 高 A D 为 cm． （参考数据： s in 2 7   0 .4 5 ，cos270.89， ta n 2 7   0 .5 1 ) 15．（3分）如图，点 E 为菱形 A B C D 的边AD上一点，且AE =3， D E = 2 ，点 F 为对角线 A C 上一动点， 若  D E F 的周长最小值为6，则 s in  B C D = ． 16．（3 分）如图，在  A B C 中，AC=2，BC=1，  A C B = 9 0  ，点D为边 A B 上一动点（点D与点A， B不重合），过点D作DE⊥ AC，连接 C D ． （1）CDE外接圆的直径的最小值是 ； （2）CDE内切圆的半径的最大值是 ．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（4分）解方程： 4 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 3 x 2 − 1 − 1 = x ． 18．（4分）如图，线段AC与BD相交于点O，AB//CD，CD= AB，求证：OC=OA． 19．（6分）已知： A = a 2 a − 2 − 2 a 1 + 1  ( a + 1 ) − 1 a ． （1）化简 A ； （2）若关于x的一元二次方程x2 +2ax+a+2=0有两个相等的实数根，求 A 的值． 20．（6 分）如图，在平面直角坐标系 x O y 中，点 A 在 x 轴上，四边形 O A B C 是平行四边形，反比例函数 m y= (x0)过点 x C (1 , 3 ) ，且与边 A B 交于点 D ． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 D 为边AB的中点，求直线CD的解析式．21．（8分）“英雄花开英雄城”2024广州传承弘扬红色文化系列活动正如火如荼地开展．某社区组织了形式 多样的学雷锋志愿服务活动，活动现场设置义诊、科普宣传、普法宣传、消防宣传、交通宣传等多个便民 服务摊位，吸引了众多市民前来参与活动．其中，前来参与义诊活动的100位市民的年龄整理可得如下的 频数分布表： 年龄分组 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 5 / 岁 频数 0 x20 15 2 0 x  4 0 25 4 0 x  6 0 40 60 x80 20 （1）参与义诊活动的市民平均年龄为 岁； （2）某医院安排了4名医生前来为市民提供义诊，现要从这4名医生（其中3名女医生，1名男医生）中 随机抽调2人到附近养老院为老人义诊，用树状图或列表的方法求抽取的两名医生恰好都是女医生的概率． 22．（10 分）人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们生活品质．某科创公司计划投入一笔 资金购进 A ， B 两种型号的芯片．已知购进2片 A 型芯片和1片 B 型芯片共需900元，购进1片 A 型芯片 和3片 B 型芯片共需950元． （1）求购进1片 A 型芯片和1片 B 型芯片各需多少元？ （2）若该科创公司计划购进 A ， B 两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进A型芯片的数量不 低于 B 型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？ 23．（10分）如图， A B C D 为 O 内接四边形， A C 为 O 的直径，AB=BD，点E为AD上一点，且 E A = E C ． （1）求作点 E ，连接 E D ，延长 E D ， B C 交于点 F （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接 C E ． ①求证：  C E F 为等腰三角形； ②若 F C = 5 ，BC=15，求弦DE的长．24．（12分）已知抛物线y=−x2+2mx+n经过点(2,2m−3)． （1）用含 6 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 m 的式子表示 n ； （2）当 m  0 时，设该抛物线与 x 轴交于点 A ， B （点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ，  A B C 的外接 圆与 y 轴交于另一点 D （点 D 与点C不重合），求点 D 的坐标； （3）若点 E ( − 3 , y 1 ) ， F ( t , y 2 ) ， G ( m − 1 , y 3 ) 在该抛物线上，且当 3  t 4 时，总有 y 1  y 2  y 3 ，求 y 3 的取值 范围． 25．（12分）如图，矩形 A B C D 中，AB=4， B C = 4 3 ，点 E ， F 分别为边 A B ， B C 上的点，将线段 E F 绕点 F 顺时针旋转 6 0  ，得到线段 F G ．射线 F G 与对角线 A C 交于点 M ，连接EM ， E G ． （1）求FGE的度数； （2）若FC =2BF，求 A M + M E − E B 的值； （3）连接CG， D G ，若BF = 3AE，设CDG和  E F G 的面积分别为S ， 1 S 2 ，当点E在边 A B 上运动时， S 求 1 的最大值． S 22024 年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．） 1．（3分） 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 7 − 2 的相反数是 ( ) A．2 B． − 2 C． 1 2 D． − 1 2 【答案】A 【考点】相反数 【解答】解： − 2 的相反数是2， 故选： A ． 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【考点】轴对称图形；中心对称图形 【解答】解：对于A选项，既是轴对称图形又是中心对称图形， 故A选项符合题意； 对于B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形， 故B选项不符合题意； 对于C选项，不是轴对称图形，是中心对称图形， 故C选项不符合题意；对于 8 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 D 选项，是轴对称图形，不是中心对称图形， 故 D 选项不符合题意． 故选： A ． 3．（3分）如图，将  A B C 沿 B A 方向平移到△ A B C  ，若AB=4， A B  = 1 ，则平移距离为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 B 【考点】平移的性质 【解答】解： 将ABC沿 B A 方向平移到△ A B C  ， A B = 4 ， A B  = 1 ，  A B = A B  = 4 ，  A A  = A B  − A B  = 4 − 1 = 3 ， 平移距离为3． 故选： B ． 4．（3分）石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米 (1 纳米 = 0 .0 0 0 0 0 0 0 0 1 米）．与此同时，石墨烯 比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料 .0 .3 纳米用科学记数法可以表示为( )米． A．310−8 B．0.310−9 C．310−9 D．310−10 【答案】 D 【考点】科学记数法—表示较小的数 【解答】解：0.3纳米=0.30.000000001米=310−10米． 故选： D ． 5．（3分）下列运算正确的是( ) A． a + b = a + b B．−a+b=−(a+b) C．(a2)3 =a5 D．(a−b)2 =a2 −2ab+b2 【答案】D 【考点】完全平方公式；二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方【解答】解： 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 9 A ． a + b 无法变形，故此选项不合题意； B． − a + b = − ( a − b ) ，故此选项不合题意； C ． ( a 2 ) 3 = a 6 ，故此选项不合题意； D ． ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 ，故此选项符合题意． 故选： D ． 6．（3分）关于函数 y = − 2 x + 1 ，下列结论成立的是 ( ) A．函数图象经过点(1,1) B．y随x的增大而增大 C．当 x  0 时， y  0 D．函数图象不经过第一象限 【答案】 C 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质 【解答】解： A 、点(1,1)不在函数 y = − 2 x + 1 上，故原说法错误，不符合题意； B、函数 y = − 2 x + 1 ， k = − 2  0 ， y 随 x 的增大而减小，故原说法错误，不符合题意； C 、函数 y = − 2 x + 1 ，过 ( 1 2 ， 0 ) ，当 x  1 2 ， y  0 ，故原说法正确，符合题意； D 、函数 y = − 2 x + 1 过第一二四象限，原说法错误，不符合题意． 故选： C ． 7．（3 分）如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均 为6，则 2 x − y + z 的值为 ( ) A．0 B．2 C．−12 D．20 【答案】 A 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字；有理数的乘方 【解答】解：“y”所在面与“3”所在面相对，“z”所在面与“−1”所在面相对，“x”所在面与“8”所在面相对， 则y+3=6，z+(−1)=6，x+8=6，解得： 10 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 y = 3 ， z = 7 ， x = − 2 ． 故 2 x − y + z = 2  ( − 2 ) − 3 + 7 = 0 ． 故选： A ． 8．（3分）某班35位同学课外阅读物的数量统计如表所示，其中有两个数据被遮盖，下列关于课外阅读物 的统计量中，与被遮盖的数据无关的是 ( ) 课外阅读物的数量 2 3 4 5 6 7 8 人数 ■ ■ 9 7 9 3 2 A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．平均数，众数 D．中位数，众数 【答案】 D 【考点】加权平均数；方差；统计量的选择；中位数；众数 【解答】解：由表格数据可知，课外阅读物的数量2、3分的人数之和为35−(9+7+9+3+2)=5（人)， 课外阅读物的数量为4和6出现次数最多，因此课外阅读物的数量的众数是4和6， 成绩从小到大排列后处在第15位数都是5，因此中位数是5， 因此中位数和众数与被遮盖的数据无关， 故选： D ． 9．（3分）如图，点 E 为矩形 A B C D 边 C D 的中点，点 F 为边 B C 上一点，且  F A E =  E A D ，若 B F = 8 ， FC=2，则AF 的长为 ( ) A．10 B．4 5 C．12 D． 2 4 1 【答案】 C 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质 【解答】解：延长AE、BC交于G ， 四边形ABCD是矩形，初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 11  A D / / B C ， B C = A D ，   D A E =  G ， E 是 C D 的中点，  D E = C E ， AED=CEG， 在  A D E 和GCE中， DAE=G  AED=CEG，  DE=CE   A D E   G C E ( A A S ) ，  C G = A D ， B F = 8 ， F C = 2 ，  B C = 8 + 2 = 1 0 ， CG= AD=10，  F G = C G + F C = 1 0 + 2 = 1 2 ， FAE=EAD，   F A E =  G ，  A F = F G = 1 2 ． 故选：C． 10．（3分）已知二次函数y=ax2 +bx+c(a0)的函数值 y 和自变量 x 的部分对应取值如表所示： x  −1 0 1 2 3  y  1 m n 1 P  若mp0，则下列结论：①a0；②若方程ax2 +bx+c=0的两个实数根为x ，x ，则x +x =1；③ 1 2 1 212 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 a + 3 b − c  0 ；④np的最大值为 9 8 ．其中正确的结论是 ( ) A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】 B 【考点】根与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的 关系 【解答】解： 二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 过点 ( − 1 ,1 ) ， ( 2 ,1 ) ， −1+2 1 对称轴为直线x= = ， 2 2 mp0， 当 m  1 ，P0时， a  0 ， 当 m  0 ， P  1 时， a  0 ，故①错误； b 1 − = ， 2a 2 b=−a， b − =1， a 若方程 a x 2 + b x + c = 0 的两个实数根为 x 1 ， x 2 ，则 x 1 + x 2 = − b a = 1 ，故②正确； a − b + c = 1 ， b = − a ，  c = 1 − 2 a ，  a + 3 b − c = a − 3 a − 1 + 2 a = − 1  0 ，故③正确； 对称轴为直线 = 1 2 ， 点 ( 0 , m ) 与点 (1 , n ) 1 关于直线x= 对称， 2 m=n， mp0， np0，故④错误． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）使代数式 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 13 x − 3 有意义的 x 的取值范围是 x 3 ． 【考点】二次根式有意义的条件 【解答】解：根据题意，得 x − 3 0 ， 解得，x 3； 故答案为：x 3． 12．（3分）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共 40 个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出 一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是 16个 ． 【答案】16个． 【考点】利用频率估计概率 【解答】解： 一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，其中摸到红球的频率稳定在0.4， 布袋中红球的个数大约是 4 0  0 .4 = 1 6 （个 ) ； 故答案为：16个． 13．（3分）分式方程 1 x = x 2 − 1 的解是 x = − 1 ． 【考点】 B 3 ：解分式方程 【解答】解：去分母得：x−1=2x， 解得：x=−1， 经检验x=−1是分式方程的解， 故答案为：x=−1． 14．（3分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰ABC ，其中 A B = A C ，ABC =27， B C = 4 0 c m ，则 高 A D 为 10.2 c m ． （参考数据：sin270.45， c o s 2 7   0 .8 9 ， ta n 2 7   0 .5 1 )【答案】10.2． 【考点】等腰三角形的性质；解直角三角形的应用 【解答】解： 14 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 A B = A C ，AD⊥BC，  B D = 1 2 B C = 2 0 ( c m ) ， 在 R t A B D 中，  A B C = 2 7  ，  A D = B D  ta n 2 7   2 0  0 .5 1  1 0 .2 ( c m ) ， 高 A D 约为10.2cm， 故答案为：10.2． 15．（3分）如图，点 E 为菱形 A B C D 的边AD上一点，且AE =3， D E = 2 ，点 F 为对角线 A C 上一动点， 若DEF 的周长最小值为6，则 s in  B C D = 4 ． 5 【答案】 4 5 ． 【考点】解直角三角形；轴对称 − 最短路线问题；菱形的性质 【解答】解：连接BE，BF， 四边形ABCD是菱形，AE =3，DE=2， AB= AD= AE+DE=5，点B，点D关于直线AC对称，BCD=BAD，初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 15  F B = F D ，  E F + F D = E F + F B B E ， DEF的周长 = E F + F D + D E B E + 2 ， DEF的周长最小值为6，  B E = 4 ， 在  A B E 中， AE2 +BE2 =32 +42 =25，AB2 =52 =25，  A E 2 + B E 2 = A B 2 ，   A B E 是直角三角形，AEB=90，  s in  B C D = s in  B A D = B A E B = 4 5 ， 4 故答案为： ． 5 16．（3 分）如图，在  A B C 中， A C = 2 ， B C = 1 ，  A C B = 9 0  ，点 D 为边 A B 上一动点（点 D 与点 A ， B不重合），过点 D 作DE⊥ AC，连接 C D ． （1）  C D E 2 5 外接圆的直径的最小值是 ； 5 （2）  C D E 内切圆的半径的最大值是 ． 2 5 1 【答案】 ， ． 5 5 【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心 【解答】解：（1） DE⊥CE ， CD就是CDE外接圆的直径， D 在 A B 上， 当CD⊥ AB时，CD最小， 在RtABC中，AB= AC2 +BC2 = 5，16 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  C D = A C A  B B C = 2 5 5 ； （2）取  C D E 的内心 O ，过 O 作 O F ⊥ C D 于 G ， O M ⊥ D E 于 M ， O N ⊥ C E 于N，如图： 设 O M = O N = O F = r ， D E = x ， 根据内心的性质可知，DF =DM，CF =CN ，EM =EN， DEC=90， 四边形ENOM 为正方形，  C D = D E + C E − 2 r ， D E / / B C ，  D B E C = A A E C ，  A E = 2 x ，  C E = 2 − 2 x ， 在 R t C D E 中， C D 2 = D E 2 + C E 2 = x 2 + 4 (1 − x ) 2 = 5 x 2 − 8 x + 4 ，  5 x 2 − 8 x + 4 = ( D E + C E − 2 r ) 2 = ( x + 2 − 2 x − 2 r ) 2 ， 整理得： x 2 − ( r + 1 ) x + 2 r − r 2 = 0 x 存在， △ = ( r + 1 ) 2 − 4 ( 2 r − r 2 ) = 5 r 2 − 6 r + 1 0 ，  r 1 或 r 1 5 ， rx 1， 1 r ， 5 1 即CDE内切圆的半径的最大值是 ． 5 2 5 1 故答案为： ， ． 5 5三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（4分）解方程： 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 17 3 x 2 − 1 − 1 = x ． 【答案】 x = 3 ． 【考点】解一元一次方程 【解答】解： 3 x 2 − 1 − 1 = x ， 去分母，得 3 x − 1 − 2 = 2 x ， 移项，得 3 x − 2 x = 1 + 2 ， 合并同类项，得 x = 3 ． 18．（4分）如图，线段 A C 与BD相交于点 O ， A B / / C D ， C D = A B ，求证： O C = O A ． 【答案】证明过程见解答． 【考点】全等三角形的判定与性质 【解答】证明： A B / / C D ， A=C ，  B =  D ， 在  A O B 与COD中，   A  A B B = = =  C  C D D ， AOBCOD(ASA)，  O A = O C ． a2 −1 1 19．（6分）已知：A= (a+1)− ． a2 −2a+1 a （1）化简A； （2）若关于x的一元二次方程x2 +2ax+a+2=0有两个相等的实数根，求A的值． 1 【答案】（1） ； a(a−1)（2）当a=2时， 18 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 A = 1 2 ． 【考点】根的判别式；分式的混合运算 a2 −1 1 【解答】解：（1）A= (a+1)− a2 −2a+1 a = ( a + ( a 1 ) − ( a 1 ) − 2 1 )  a 1 + 1 − 1 a 1 1 = − a−1 a a−(a−1) = a(a−1) 1 = ； a(a−1) （2） 关于 x 的一元二次方程 x 2 + 2 a x + a + 2 = 0 有两个相等的实数根， △ = 0 ，即△ = ( 2 a ) 2 − 4 ( a + 2 ) = 0 ， 解得 a = 2 或 − 1 ， a + 1  0 ，  a  − 1 ， 当 a = 2 时， A = 2  ( 1 2 − 1 ) = 1 2 ． 20．（6 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在 x 轴上，四边形 O A B C 是平行四边形，反比例函数 m y= (x0)过点C(1,3)，且与边AB交于点D． x （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 D 为边 A B 的中点，求直线 C D 的解析式． 3 3 9 【答案】（1）反比例函数解析式为：y= ；（2）直线CD的解析式为：y=− x+ ． x 2 2【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 m 【解答】解：（1） 反比例函数y= (x0)过点 x 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 19 C (1 , 3 ) ，  m = 3 ， 反比例函数解析式为： y = 3 x ； （2） 点D为边AB的中点， 点 D 的纵坐标为 3 2 ， 当 y = 3 2 3 时，x= =2， 3 2 3 D(2, )， 2 设直线 C D 的解析式为y=kx+b，  2 k k + + b b = = 3 3 2 ，解得  k b = = − 9 2 3 2 ， 直线CD的解析式为： y = − 3 2 x + 9 2 ． 21．（8分）“英雄花开英雄城”2024广州传承弘扬红色文化系列活动正如火如荼地开展．某社区组织了形式 多样的学雷锋志愿服务活动，活动现场设置义诊、科普宣传、普法宣传、消防宣传、交通宣传等多个便民 服务摊位，吸引了众多市民前来参与活动．其中，前来参与义诊活动的100位市民的年龄整理可得如下的 频数分布表： 年龄分组 / 岁 频数 0 x20 15 20 x40 25 40 x60 40 6 0 x  8 0 20 （1）参与义诊活动的市民平均年龄为 43 岁； （2）某医院安排了4名医生前来为市民提供义诊，现要从这4名医生（其中3名女医生，1名男医生）中 随机抽调2人到附近养老院为老人义诊，用树状图或列表的方法求抽取的两名医生恰好都是女医生的概率．1 【答案】（1）43；（2） ． 2 【考点】列表法与树状图法；加权平均数；频数（率 20 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 ) 分布表 1015+3025+5040+7020 【解答】解：（1）参与义诊活动的市民平均年龄为 =43（岁)， 100 故答案为：43； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其抽取的两名医生恰好都是女医生结果数为6， 所以抽取的两名医生恰好都是女医生的概率为 1 6 2 = 1 2 ． 22．（10 分）人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们生活品质．某科创公司计划投入一笔 资金购进 A ， B 两种型号的芯片．已知购进2片 A 型芯片和1片 B 型芯片共需900元，购进1片 A 型芯片 和3片 B 型芯片共需950元． （1）求购进1片 A 型芯片和1片 B 型芯片各需多少元？ （2）若该科创公司计划购进 A ， B 两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进A型芯片的数量不 低于 B 型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？ 【答案】（1）购进1片A型芯片和1片 B 型芯片分别需350元，200元； （2）该公司购买 A 型芯片8万片， B 型芯片2万片所需资金最少，最少资金是3200万元． 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用 【解答】解：（1）设购进1片 A 型芯片和1片 B 型芯片分别需 x 元，y元， 2x+ y=900 根据题意，得 ， x+3y=950 解得  x y = = 3 2 5 0 0 0 ， 答：购进1片A型芯片和1片B型芯片分别需350元，200元； （2）设购B种型号的芯片m万片，则购A种型号的芯片(10−m)万片，所需资金为w万元，则 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 21 w = 3 5 0  (1 0 − m ) + 2 0 0 m = − 1 5 0 m + 3 5 0 0 ， − 1 5 0  0 ， w随 m 的增大而减小， 购进 A 型芯片的数量不低于 B 型芯片数量的4倍， 10−m 4m， 解得 m 2 ， 当 m = 2 时， w 最小，最小值为： − 1 5 0  2 + 3 5 0 0 = 3 2 0 0 （万元）， 10−2=8万（片 ) ， 答：该公司购买 A 型芯片8万片， B 型芯片2万片所需资金最少，最少资金是3200万元． 23．（10分）如图， A B C D 为 O 内接四边形， A C 为 O 的直径， A B = B D ，点E为AD上一点，且 E A = E C ． （1）求作点 E ，连接 E D ，延长 E D ， B C 交于点 F （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接 C E ． ①求证：  C E F 为等腰三角形； ②若 F C = 5 ， B C = 1 5 ，求弦DE的长． 【答案】（1）作图见解答； （2）①证明见解答； 17 2 ② ． 2 【考点】等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；作图—复杂作图；解直角三角形 【解答】（1）解：作 A C 的垂直平分线交圆O于点 E ，点 E 即为所求作的点，（2）①证明：连接BD，AE，如图： 22 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 E A = E C ， A C 为直径，   A C E = 4 5  ，  A D C = 9  ，   A D E =  A C E = 4 5  ，   E D C =  A D E +  A D C = 1 3 5  ， EDC=F+DCF ，   F =  E D C −  D C F = 1 3 5  −  D C F ，  E C F = 1 8 0  −  A C E −  A C B = 1 3 5  −  A C B ，ACB=ADB， ECF =135−ADB， A B = B D ， BAD=ADB=ACB， 四边形ABCD为圆内接四边形， BAD+BCD=180， 又 BCD+DCF =180， BAD=DCF， F =ECF，初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 23  E C = E F ， CEF 为等腰三角形； ②解：由圆周角定理可知，  C B D =  C E D ，  F =  F ， ECF =BDF， BD=BF =BC+CF =20， BAD=BDA， AB=BD=20， AC为直径，   A B C = 9 0  ，  A C = A B 2 + B C 2 = 2 5 ， 25 2 AE=CE=EF = ， 2  F B D =  C E F ，  F =  F ， CEF∽DBF ，  B E D F = D C F F ，  D F = 4 2 ， 17 2 DE=EF−DF = ． 2 24．（12分）已知抛物线y=−x2+2mx+n经过点(2,2m−3)． （1）用含 m 的式子表示 n ； （2）当m0时，设该抛物线与x轴交于点 A ， B （点 A 在点 B 的左侧），与y轴交于点 C ，ABC 的外接 圆与y轴交于另一点 D （点 D 与点C不重合），求点 D 的坐标； （3）若点E(−3,y )，F(t,y )， 1 2 G ( m − 1 , y 3 ) 在该抛物线上，且当3t 4时，总有y  y  y ，求 1 2 3 y 3 的取值 范围． 【答案】（1）n=1−2m； （2）D(0,−1)；（3） 24 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 − 1 y 3 0 或 y 3  1 5 ． 【考点】二次函数综合题 【解答】解：（1）把点 ( 2 ，2吗 − 3 ) 代入抛物线y=−x2+2mx+n，得： −4+4m+n=2m−3， n=1−2m； （2） n=1−2m， y=−x2 +2mx+1−2m， 当y=0时， − x 2 + 2 m x + 1 − 2 m = 0 ， 解得： x = 1 或 x = 2 m − 1 ， m  0 ， A 在 B 的左侧，  A ( 2 m − 1 , 0 ) ， B (1 , 0 ) ， 令 x = 0 ，则 y = 1 − 2 m ， OA=OC=1−2m， AOC为等腰直角三角形， ACO=45， A， D ，B，C共圆， ABD=ACO=45， BOD也是等腰直角三角形，  O D = O B = 1 ， D(0,−1)； （3）抛物线的对称轴直线为： x = 2 m 2 = m ， m−1m， G在抛物线对称轴的左侧， t−3，y  y ， 2 1初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 25  E 一定也在抛物线对称轴的左侧， 取 G 和 E 关于抛物线对称轴的对称点 G  ， E  ，  G ( m + 1 , y 3 ) ，E(2m+3,y )， 1 当 F 在抛物线对称轴左侧时， m−14  ， 3 −3  m  5 ，  y 3 = − ( m − 1 ) 2 + 2 m ( m − 1 ) + 1 − 2 m = m 2 − 2 m = ( m − 1 ) 2 − 1 ，  y 3  1 5 ； 当 F 在抛物线对称轴右侧时， m+1 3  ， 2m+34  1 2  m 2 ， −1 y 0， 3 综上所述， − 1 y 3 0 或y 15． 3 25．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=4 3，点 E ， F 分别为边 A B ，BC上的点，将线段 E F 绕点 F 顺时针旋转 6 0  ，得到线段 F G ．射线 F G 与对角线 A C 交于点 M ，连接 E M ， E G ． （1）求FGE的度数； （2）若 F C = 2 B F ，求AM +ME−EB的值； （3）连接 C G ， D G ，若 B F = 3 A E ，设  C D G 和  E F G 的面积分别为S ，S ，当点 1 2 E 在边AB上运动时， S 求 1 的最大值． S 2 【答案】（1）FGE的度数为60； （2）AM +ME−EB的值为4；（3） 26 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 S S 1 2 的最大值为 4 3 ． 【考点】四边形综合题 【解答】解：（1） 线段 E F 绕点 F 顺时针旋转 6 0  ，得到线段 F G ，  E F = F G ，  E F G = 6 0  ，   E F G 是等边三角形， FGE=60， FGE的度数为60； （2）在AC上截取CY = AE，连接 A F ，FY ，连接 B D 交AC 于点 X ， F C = 2 B F ， 4 BF = 3， 3 C F = 8 3 3 ， 在 R t A B F 中， ta n  B A F = B A F B = 3 3 ， BAF =30， AFB=60， 在RtABC中， ta n  A C B = A B B C = 3 3 ， ACB=30， CAF =AFB−ACB=30， ACB=CAF ， AF =FC， AEF CYF(SAS)，初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 27   A F E =  Y F C ， E F = F Y ，  A F B = 6 0  ，  E F G = 6 0  ，   M F Y = 1 8 0  −  E F M − (  B F E +  Y F C ) = 6 0  ， 在  E M F 和  Y M F 中，  E  F F E M = F G = F Y = F M  M F Y ，   E M F   Y M F ( S A S ) ，  M E = M Y ， 四边形 A B C D 是矩形，  A X = B X = C X ，  B A X = 6 0  ， BAX 是等边三角形， AB= AX =BX =CX ，  B E = X Y ，  A M + M E − E B = A M + M Y − X Y = A X = A B = 4 ， AM +ME−EB的值为4； （3）如图， 取 E G 的中点 O ，连接 F O ， B O ，过点 O 作 O R ⊥ A E 于 R ，过点 G 作 P Q / / A D 分别交 A B 、 C D 于 P 、 Q ， 由（1）知：EFG是等边三角形， 点O为 E G 的中点， FO⊥EG， EOF =90，EFO=30， 28 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 F E O O = ta n 6 0  = 3 ， 又  E B F = 9 0  ， EOF+EBF =180， 四边形BEOF 是圆内接四边形， OEB+OFB=180，FBO=FEO=60，EBO=EFO=30， OEB+AEO=180， AEO=BFO， F E O O = ta n 6 0  = 3 ， B A F E = 3 ， FO BF  = ， EO AE   B F O ∽  A E O ，   F B O =  E A O ，   E A O = 6 0  ，  B A C = 6 0  ， 点 O 在 A C 上，   O A E +  E B O = 6 0  + 3 0  = 9 0  ， AOB=90， 1 AO= AB=2， 2 在RtAOR中， O R = O A  s in  O A R = 2 s in 6 0  = 3 ， O R ⊥ A B ， A D ⊥ A B ，  O R / / A D ， PQ//AD， OR//PQ，   E O R ∽  E G P ， OR EO 1  = = ， GP EG 2GP=2OR=2 3， 四边形 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 29 A D Q P 是矩形，  P Q = A D = B C = 4 3 ，  G Q = P Q − G P = 4 3 − 2 3 = 2 3 ， PQ⊥CD，  S 1 = S  C D G = 1 2 C D  G Q = 1 2  4  2 3 = 4 3 ， 设 A E = x ， B F = 3 A E ，  B F = 3 x ， B E = 4 − x ， EF2 =BE2 +BF2 =(4−x)2 +( 3x)2 =4x2 −8x+16，  E G 2 = E F 2 = 4 x 2 − 8 x + 1 6 ， 3 3 OF = EF = EG， 2 2 1 3 3 S =S = EGOF = EG2 = (4x2 −8x+16)= 3(x2 −2x+4)， 2 EFG 2 4 4  S S 1 2 = 3 ( x 4 2 − 3 2 x + 4 ) = ( x − 4 1 ) 2 + 3 ， 当 x = 1 时， ( x − 1 ) 2 + 3 取得最小值3， S 4  1 的最大值为 ． S 3 2