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湖南师大附中2024－2025学年度高一第二学期期中考试数学参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C C A B D A ABD ACD AC
1.D 【解析】由题意，(1－i)(4＋3i)＝7－i，在复平面内所对应的点为(7，
－1)，位于第四象限．故选D.
2．B 【解析】因为a＝(1，2)，b＝(λ，－1)，c＝(μ，－1)，所以a＋c＝(1
＋μ，1)，
因为(a＋c)∥b，所以－(1＋μ)＝λ，所以λ＋μ＝－1.故选B.
3．C 【解析】对于选项A，a∥α，b∥α，直线a，b可能平行，异面或相
交，故A错误；对于选项B，a∥b，a∥α，直线b可能平行于平面α或在平面α
内，故B错误；对于选项C，根据面面平行的性质定理可得a∥b，故C正确；对
于选项D，a∥β，b∥β，aα，bα，直线a，b如果不相交，α，β可能相交，故
D错误．故选C.
4．C 【解析】由正弦定理＝，得sin B＝sin A＝×＝，∵a0，且a，b不共线，
则
解得x>－3且x≠，所以“a，b的夹角为锐角”是“x>－3”的充分不必要
条件，故B选项错误；
对于C选项，若2OA＋OB＋3OC＝0，S ，S 分别表示△AOC，△ABC
△AOC △ABC
的面积，
如图：设OA′＝2OA，OC′＝3OC，由2OA＋OB＋3OC＝0，得OA′＋OB＋
OC′＝0，
取A′B的中点D，连接OD，则有OA′＋OB＝2OD，
所以2OD＋OC′＝0，即|OC′|＝2|OD|，则点O为△BA′C′的重心．
设△AOC，△AOB，△BOC的面积分别为x，y，z，
则△A′OC′，△A′OB，△BOC′的面积分别为6x，2y，3z，由重心的性质可知
6x＝2y＝3z，所以则S ∶S ＝x∶(x＋y＋z)＝1∶6，故C选项正确；
△AOC △ABC
对于D选项，在△ABC中，向量AB与AC满足·BC＝0，且·＝，
如图，作∠BAC的平分线AE与BC相交于点E，
因为为AB的单位方向向量，为AC的单位方向向量，所以＋＝λAE(λ>0)，所
以·BC＝λAE·BC＝0(λ>0)，
所以AE⊥BC.即AE⊥BC，所以△ABC为等腰三角形，
又因为·＝＝cos B＝，且B∈(0，π)，所以B＝，
即△ABC为等边三角形，故D选项正确．故选ACD.
11．AC 【解析】如图所示：因为SO的侧面积为3π， 即πrl＝3π，
则rl＝3，对于A，当3r＝l时，则l＝3，r＝1，所以弧AA′的长为2πr＝2π，
侧面展开图的圆心角∠ASA′＝，故A′C2＝A′S2＋SC2－2A′S·SC·cos∠A′SC
＝32＋12－2×3×1×cos＝13，
即A′C＝，故A正确；
对于B，当r＝时，l＝2，在△ABS中，AS2＋BS2－AB2＝22＋22－32<0，则
∠ASB为钝角，
过顶点S和两母线的截面三角形的面积为S＝l2·sin α，
当α＝时，过顶点和两母线的截面三角形取最大面积 S＝l2·sin α＝×22×sin
＝2，故B错误；
对于C，当l＝3时，则r＝1，圆锥SO的外接球的球心一定在SO上，
设圆锥SO的外接球半径为R，则R2＝(SO－R)2＋r2，又SO＝＝＝2，
所以R2＝(2－R)2＋1，解得R＝，
所以圆锥SO的外接球表面积为4πR2＝4π×＝，故C正确；
对于D，若点D∈面SAB，则C，O，B，D共面，
由CO面MCN知BD∥CO，此时点D在线段AS的延长线上，不合要求；若点D面SAB，则由对称性，点D关于平面SAB的对称点E也满足BE∥
平面MCN，
即有平面 BDE∥平面 MCN，设 DE 的中点为 F，则 C，O，B，F 共面
SAB，
由CO面MCN，BF面BDE知BF∥CO(面面平行性质)．类似前一种情况，
知F在△SAB外，与F为DE的中点矛盾，(F是圆锥水平截面圆上两点D，E连线
的中点，在圆内，且F在轴截面SAB上，在△SAB内，矛盾)，故D不正确，故
选AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．6 【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了45°方向的线段，且长度
是原高的一半，
A′B′＝1，所以原高为AB＝2，
画出原图形如图所示，过点 D作DE⊥BC于E，且横向长度不变，梯形
ABCD是直角梯形，则S ＝＝6.
四边形ABCD
13．36π 【解析】由题，最大的球形零件是正方体的内切球，则内切球半
径为3，故球的体积V＝πR3＝36π.
14．4 【解析】在AB延长线上取点N，使AN＝9，取AD的中点M，
又因为AO＝xAB＋yAD，所以AO＝xAN＋2yAM，
由2x＋6y＝3，可得x＋2y＝1，所以直线MN过圆心O，
在Rt△MAN中，AN＝9，AM＝3，所以cos ∠MAN＝，
在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝36＋36
－2×6×6×＝48，所以BD＝4.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤．)
15．【解析】(1)圆台型花盆的上底半径r＝10 cm，下底半径r＝5 cm，母线
1 2
长l＝13 cm，
则高h＝＝＝12 cm，2分
体积V＝h(r＋rr＋r)＝×12×(100＋50＋25)＝700 π(cm3)，5分
1 2
所以这个圆台形花盆的体积为700π cm3.6分(2)由(1)知，圆台型花盆的侧面积 S＝π(r ＋r)l＝π(10＋5)×13＝
1 2
195π≈195×3.14＝612.3(cm2)＝0.06123(m2)，10分
则0.06123×10×10000＝6123(元)，12分
所以给1万个同款花盆全部涂上油漆预计花费6123元.13分
16．【解析】(1)acos C＋asin C＝b＋2c，
由正弦定理得：sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋2sin C，2分
∴sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋2sin C，即sin Asin C＝cos Asin C＋2sin
C，
因为sin C≠0，所以sin A－cos A＝2，4分
所以sin＝1，5分
因为A∈(0，π)，所以A－＝，故A＝π.7分
(2)由S ＋S ＝S 得，(b＋c)＝bc，
△ABD △ACD △ABC
即bc＝b＋c＝6，9分
由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－bc＝36－6＝30.
解得a＝，11分
由正弦定理，＝＝＝2R＝2，13分
所以sin B·sin C＝＝＝.15分
17．【解析】(1)如图，延长AB和DC，设它们的交点为F，连接PF，则直
线PF即为所求l. 2分
证明：因为AD∥BC且AD＝2BC，所以C为DF的中点，4分
又点E为棱PD的中点，所以CE∥PF，5分
又CE平面ACE，PF平面ACE，所以PF∥平面ACE，6分
即l∥平面ACE.7分
(2)设N为AD的中点，取PC的中点Q，连接EQ，BQ，EN，BN，
因为E为PD的中点，Q为PC的中点，所以EQ∥CD.
又因为BN∥CD，所以EQ∥BN，
故B，N，E，Q共面，故四边形BNEQ为所求截面.9分
因为PA＝PB＝PC＝AD＝10，CD＝12，
所以EQ＝CD＝6，EN＝PA＝5，BN＝CD＝12，11分
在△PBC中，因为PB＝PC＝10，BC＝AD＝5，故cos∠PCB＝＝，
故BQ＝＝，14分
所以截面周长为6＋5＋12＋＝23＋.15分
18．【解析】(1)由＝2×，得ω＝2，1分
则f(x)＝sin(2x＋φ)－1，
则g(x)＝sin－1－1＝sin－2为偶函数，所以＋φ＝＋kπ， k∈Z，
又0<φ<π，所以φ＝，故f(x)＝sin－1.3分(2)因为x∈，所以2x＋∈，sin∈[0，1]，4分
故－1≤f(x)≤0，－2≤f(x)－1≤－1，
而[f(x)]2－(2＋m)f(x)＋2＋m≤0恒成立，即[f(x)]2－2f(x)＋2≤[f(x)－1]m，
整理可得m≤＋f(x)－1，6分
令t＝f(x)－1，t∈[－2，－1]，
设n(t)＝＋t，t∈[－2，－1]，
设t，t∈[－2，－1]且t1，则n(t )－n(t )<0，所以n(t )0，取x－x 接近n，需要n>2n，矛盾；
1 2
若m<0，取x－x 接近m，需要m<2m，矛盾；
1 2
所以m0与m<0至少有一项不可能成立.2分
∴m，n中有±∞，此时如有n>0且为实数或m<0且为实数，类似之前讨论知
不可能．
∴检验知开区间(m，＋∞)(m≥0)；(－∞，n)(n≤0)；(－∞，＋∞)这三类均满
足题意．
所以符合条件的三个开区间有(－∞，－1)，(1，＋∞)，(－∞，＋∞)．(答案
不唯一)4分
(2)若f(x)＝ax2＋bx＋1是[m，n]关联的，则对x－x∈[m，n]，
1 2
f(x)－f(x)＝(x－x)(ax ＋ax＋b)∈[m，n]，
1 2 1 2 1 2
若a≠0，当x－x≠0，x－x∈[m，n]时，
1 2 1 2
x＋x 可取任意实数，即有ax＋ax＋b可取任意实数，
1 2 1 2
即f(x)－f(x)＝(x－x)(ax ＋ax＋b)可取任意实数，矛盾．
1 2 1 2 1 2
∴a＝0，f(x)－f(x)＝b(x－x).6分
1 2 1 2
此时若|b|>1，则x －x∈[m，n]时，b(x －x)最大值与最小值的差为|b|(n－
1 2 1 2
m)>n－m，
与b(x－x)∈[m，n]矛盾；8分
1 2
∴|b|≤1，此时取[m，n]为[－1，1]，易验 x －x∈[－1，1]时，b(x －
1 2 1
x)∈[－1，1]满足题意．
2
综上，所求f(x)＝bx＋1，其中|b|≤1.10分(3)一方面，若f(x)是[1，2]关联的，
则对x－x∈[1，2]，1≤f(x)－f(x)≤2，
1 2 1 2
则f(x＋1)－f(x)≥1，f(x＋2)－f(x＋1)≥1，
故f(x＋2)－f(x)≥2，并且f(x＋2)－f(x)≤2，
结合取等条件有f(x＋1)＝f(x)＋1.13分
即有y∈Z，f(x－y)＝f(x)－y.
此时对 x －x∈(2，2025]，设 x －y－x ＝x，其中 x∈[1，2]，y∈N，
1 2 1 2
y∈[1，2023]；
则f(x)－f(x)＝f(x－y)＋y－f(x)；
1 2 1 2
x－y－x∈(1，2]f(x －y)－f(x)∈[1，2]f(x )－f(x)∈[1，2025]，
1 2 1 2 1 2
对x－x∈[1，2]同样有f(x)－f(x)∈[1，2025]，
1 2 1 2
即f(x)是[1，2025]关联的；15分
另一方面，若f(x)是[1，2025]关联的，
类似之前过程，f(x＋2025)＝f(x)＋[f(x＋1)－f(x)]＋[f(x＋2)－f(x＋1)]＋…＋
[f(x＋2025)－f(x＋2024)]≥f(x)＋2025；且f(x＋2025)≤f(x)＋2025；
结合取等条件有f(x＋1)＝f(x)＋1；即有y∈Z，f(x－y)＝f(x)－y.
所以对于x－x∈[1，2]，f(x＋2023)－f(x)≤2025，即f(x)－f(x)≤2；
1 2 1 2 1 2
且显然有f(x)－f(x)≥1，即f(x)是[1，2]关联的．
1 2
综上，原命题证毕.17分
