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湖南师大附中2024—2025学年度高一第二学期期中考试
数 学
时量：120分钟 满分：150分
得分：______________
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．)
1．在复平面内，(1－i)(4＋3i)对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，－1)，c＝(μ，－1)，若(a＋c)∥b，则λ＋μ＝
A．－2 B．－1 C．0 D．1
3．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列结论中正确的是
A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥b，a∥α，则b∥α
C．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b D．若a∥β，b∥β，aα，bα，则α∥β
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，A＝45°，则B＝
A．60° B. 120° C. 60°或120° D. 45°或135°
5．在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝60°，DM＝3MC，则AM·BM＝
A．3 B．2 C. D．1
6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(4－x)＝2，若函数g(x)＝与f(x)的图象的交点为(x ，y)，
1 1
(x，y)，…，(x ，y )，则y＋y＋…＋y ＝
2 2 m m 1 2 m
A. B．m C．2m D．4m
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，b＝3，若△ABC为锐角三角形，
则c的取值范围为
A．(0，3) B．(0，3] C．(0，6) D．(3，6)
8．已知正方体 ABCDA B C D 的棱长为 2，E，F 分别是棱 BC，CC 的中点，动点 P 在正方形
1 1 1 1 1
BCC B (包括边界)内运动，若PA ∥平面AEF，则线段PA 的长度的最小值是
1 1 1 1
A. B．2
C. D．3
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．)
9．已知i为虚数单位，下列说法正确的有
A．i＋i2＋i3＋i4＝0
B．复数z＝的共轭复数z＝－2＋i
C．复数z＝3－i的模为10
D．已知复数z满足|z－1|＝|z＋1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．下列说法正确的是A．已知向量a＝(1，1)，b＝(x，2)，且a⊥b，则x＝－2
B．向量a＝(2，3)，b＝(x，2)，则“a，b的夹角为锐角”是“x>－3”的充要条件
C．若2OA＋OB＋3OC＝0，S ，S 分别表示S ，S 的面积，则S ∶S ＝1∶6
△AOC △ABC △AOC △ABC △AOC △ABC
D．在△ABC中，向量AB与AC满足(＋)·BC＝0，且·＝，则△ABC为等边三角形
11．圆锥SO的底面半径为r，母线长为l，侧面积为3π， 点C是母线SA上靠近点S的三等分点，
M，N是底面圆周上两点，MA＝NA且∠MAN＝，则
A．当3r＝l时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为
B．当r＝时，过顶点S和两母线的截面三角形的面积最大值为
C．当l＝3时，圆锥SO的外接球表面积为
D．存在点D在圆锥SO上，使得直线BD∥平面MCN
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．)
12．已知水平放置的四边形ABCD按斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′如图所示，其中
A′D′∥B′C′，A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，则四边形ABCD的面积为__________．
13．若将一个棱长为6的正方体铁块磨制成一个球形零件，则制作的球形零件的最大体积是______．
14．如图所示，四边形ABCD内接于圆O，AB∥CD，AB＝AD＝6，设AO＝xAB＋yAD，且2x＋6y
＝3，则四边形ABCD的对角线BD的长为____________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15．(13分)如图，一个圆台型花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为10 cm，盆壁长(指圆台的母线长)13
cm.
(1)求这个圆台形花盆的体积；
(2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费 10元，给这批1
万个同款花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？(第(2)问中π取3.14)16．(15分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－2c＝0.
(1)求A；
(2)若A的角平分线AD长为1，且b＋c＝6，求sin Bsin C的值．17．(15分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，其中AD∥BC，且AD＝2BC，点E为棱
PD的中点．
(1)在图中作出面PAB和面PCD的交线l，并证明：l∥平面ACE；
(2)若PA＝PB＝PC＝AD＝10，CD＝12，在四棱锥PABCD中，求过点B，E及棱AD的中点的截面周
长．18.(17分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－1(ω>0，0<φ<π)的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f(x)的
图象上每个点先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数g(x)为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对任意x∈，[f(x)]2－(2＋m)f(x)＋2＋m≤0恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数h(x)＝2f(x)＋1在区间[a，b](a，b∈R且a
