文档内容
专题 02 图形的初步（2）
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）角的相关概念
（1）角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。角也可以看做由一条射线绕着它的端
点旋转而形成的图。
（2）角的分类：
∠ɑ 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠ɑ＜90° ∠ɑ=90° 90°＜∠ɑ＜180° ∠ɑ=180° ∠ɑ=360°
（3）角的表示法（四种）：
①角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间，如∠ABC（B为顶点）
②用一个字母表示角, 必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个，如∠A
③用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字，如∠1
④用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母，如∠ɑ
（二）角平分线及其性质
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
如图：AC是∠BCD的角平分线，则
∵AC平分∠BCD1
∴∠ACD=∠ACB= ∠ACD
2
（三）角度制
（1）时针和分针所成的角度：钟表一周为360°，每一个大格为30°，每一个小格为6°.（每小时，
时针转过30°，即一个大格，分针转过360°，即一周；每分钟，分针转过6°即一个小格）
（2）角的度量：1°=60′；1′=60″；
1直角=90°；1平角=180 °；1周角=360°
（四）相交线所形成的角
两条直线相交所成的四个角中：
（1）相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延
长线，性质是邻补角互补；
①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系
的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。
（2）相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。
②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长
线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。对顶角相等。
（五）垂线及其性质
（1）垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；交点叫垂足；垂直是特殊的相
交。
（2）垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外
一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短 。
（六）三线八角
（1）同位角： 形如“ F ”型 ； 在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角
叫同位角。如：∠1和∠5。
（2）内错角： 形如“ Z ”型； 在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫
内错角。如：∠3和∠5。
（3）同旁内角： 形如“ U ”型； 在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角
叫同旁内角。如：∠3和∠6。
（七）平行公理及其推论
（1）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
b a c a
几何描述 ：∵ ∥ ， ∥b c
∴ ∥
（八）平行线的判定与性质
（1）平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：内错角相等，两直线平行
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
（2）平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。几何符号语言：
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
模块三 考点一遍过
考点1：角的概念
典例1：下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是角的表示方法，熟练掌握角度的三种正确表示方法是解题的关键；
利用角度的三种表示方法，逐个进行分析即可．
【详解】解：A．∠1，∠AOB，∠O表示不是同一个角，不符合题意；B．可以表示为：∠1，∠AOB，∠O，符合题意；
C．可以表示为：∠1，∠AOB，不能表示为∠O，不符合题意；
D． ∠AOB，∠O表示的是同一个角，不能表示为∠1，不符合题意；
故选：B
【变式1】如图，下列表示角的方法，错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠AOC也可用∠O来表示
C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC
D．∠β表示的是∠BOC
【答案】B
【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键．
直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可；
【详解】∠1和∠AOB表示同一个角，正确，故A不符合题意；
∠AOC不可以用∠O表示，故B错误；
图是共有三个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC，正确，故A不符合题意；
∠β表示的是∠BOC，正确，故D不符合题意．
故选B．
【变式2】（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ；
（2）以A为顶点的角有 ；
（3）图中一共 个角（不包括平角）．
【答案】 ∠B，∠C ∠BAD，∠DAC，∠BAC 7
【分析】本题主要考查了角的表示方法，角的个数问题：
（1）顶点处只有一个角的可以用一个大写字母表示即可；
（2）以A为顶点的角有三个，逐一写出即可；
（3）把图中所有角（不包括平角）写出数一数即可．【详解】解：（1）图中可以用一个大写字母表示的角有∠B，∠C；
故答案为：∠B，∠C．
（2）以A为顶点的角有∠BAD，∠DAC，∠BAC；
故答案为：∠BAD，∠DAC，∠BAC．
（3）图中的角为：∠B，∠C，∠BAD，∠DAC，∠BAC，∠BDA，∠ADC共7个．
故答案为：7．
【变式3】如图，在从同一点出发的七条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF、OG组成的图
形中，共有 个锐角．
【答案】21
【分析】本题主要考查了角的规律探索．找出以OA为始边的角的个数，然后找出相邻的边为始边的
角的个数相加即可，按照七条射线角的个数的计算方法即可得到答案．
【详解】解：以OA为始边的角有6个，
以OB为始边的角有5个，
以OC为始边的角有4个，
以OD为始边的角有3个，
以OE为始边的角有2个，
以OF为始边的角有1个，
故共有锐角：6+5+4+3+2+1=21（个）．
故答案为：21．
考点2：钟面角
典例2：钟表4时30分时，时针与分针所成的角的度数为（ ）
A．45° B．30° C．60° D．75°
【答案】A
【分析】本题考查了钟面角的知识点．钟表上按小时算分12个格，每个格对应的是30°，分针走一
圈经过360°，钟表上共有60分钟，分针走5分钟经过1格，4点30分时针经过4.5格，分针经过6格，
此时时针与分针的夹角是45°．
【详解】解：∵4点30分时，时针指向4与5中间，分针指向6，
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
钟表上共有60分钟，分针走5分钟经过30°，30分钟共经过30÷5=6个30°，∴4点30分时分针与时针的夹角是6×30°−4.5×30°=180°−135°=45°．
故选：A．
【变式1】如图，时针与分针的所成的角是（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
【答案】B
【分析】本题考查钟表时针与分针的夹角．由于钟面被分成12大格，每格为30°，而8点30分时，
1
钟面上时针指向数字8与9的中间，分针指向数字6，则它们所夹的角为2×30°+ ×30°．
2
【详解】解：8点30分时，钟面上时针指向数字8与9的中间，分针指向数字6，
1
所以时针与分针所成的角等于2×30°+ ×30°=75°．
2
故选：B．
【变式2】北京时间2022年11月29日23时15分，神舟十五号载人飞船成功发射，标志着空间站
验证和建造阶段规划的十二次发射任务全部圆满完成．当时钟显示时间为23:15时，此时时针与分
针的夹角的度数是 ．
【答案】112.5°
【分析】本题考查了钟面角，利用钟表表盘的特征：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角
为30°．即可求解．
3
【详解】解：23点15分，时针和分针中间相差3 个大格．
4
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴23点15分分针与时针的夹角是3.75×30°=112.5°．
故答案为：112.5°．
【变式3】如图，钟表上显示8时30分，此时分针与时针所成夹角的度数为 ．【答案】75°/75度
【分析】本题考查了钟面角，根据时钟上一大格是30°，进行计算即可解答．
【详解】解：钟表上显示8时30分，此时分针与时针所成夹角的度数为2.5×30°=75°，
故答案为：75°．
考点3：方向角
典例3：如图，OA是表示北偏东x∘的一条射线，OB是表示北偏西(90−y)°的一条射线，若
∠AOC=∠AOB，则OC表示的方向是（ ）
A．北偏东(90−3x)° B．北偏东(90+x−y)°
C．北偏东(90−x−y)° D．北偏东(90+2x−y)°
【答案】D
【分析】本题考查了方向角，利用角的和差求得∠COD便即可得出结论．
【详解】解：如图，
由题意可知∠AOB=x°+(90−y)°=(90+x−y)°．
∵∠AOC=∠AOB=(90+x−y)°，
∴∠COD=x°+(90+x−y)°=(90+2x−y)°．
∴OC表示的方向是北偏东(90+2x−y)°．
故选：D．
【变式1】如图，下面说法中，不正确的是（ ）A．射线OA表示北偏东30° B．射线OB表示西北方向
C．射线OC表示西偏南80° D．射线OD表示南偏东70°
【答案】C
【分析】本题考查了方位角，根据图形逐项判断即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：A、射线OA表示北偏东30°，故此选项正确，不符合题意；
B、射线OB表示西北方向，故此选项正确，不符合题意；
C、射线OC表示南偏西80°，故此选项错误，符合题意；
D、射线OD表示南偏东70°，故此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【变式2】如图，甲从O处出发沿北偏东15°10'方向走到A处，乙从O处出发沿南偏西54°40'方向
走到B处，则∠BOA是 度．
【答案】140.5
【分析】本题考查了方位角的计算，理解图示中方位角的度数，掌握角的和差计算是解题的关键．
根据图示可得，∠AOC=15°10',∠COD=90°,∠BOE=54°40'，由此得到∠BOD=35°20'，
根据∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD，即可求解，识记1°=60'是计算角度和差的重点．
【详解】解：如图所示，由题意得∠AOC=15°10',∠COD=90°,∠BOE=54°40'，∴∠BOD=90°−∠BOE=90°−54°40'=35°20'，
∴∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD
=15°10'+90°+35°20'
=140°30'
=140°+30'÷60
=140.5°，
故答案为：140.5 ．
【变式3】（如图）描述正确的是（ ）．
A．少年宫在晶晶家西偏南30°方向，400米处；
B．少年宫在晶晶家北偏西30°方向，400米处；
C．学校在晶晶家北偏东45°方向，600米处；
D．学校在晶晶家西偏南45°方向，600米处；
【答案】D
【分析】本题考查了学生的方位感和对基本方向的辨别，在地图上按照“上北下南，左西右东”的
方向确定路线，注意起始点和目的地，起始点是观测点，据此解答．
【详解】解：由图可知，晶晶从家出发，向西偏南45°方向走600米到达学校．
故选：D．
考点4：角的单位与角度制
典例4：用度、分、秒表示91.34°为（）
A．91°20′24′′ B．91°34′ C．91°20′4′′ D．91°3′4′′【答案】A
【分析】本题考查了度分秒的换算，度化成分乘以60，分化成秒乘以60．根据度分秒的进率，可得
答案．
【详解】解：91.34°
=91°+0.34×60′
=91°20′+0.4×60″
=91°20′24″，
故选：A．
【变式1】若∠α=5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）
A．5°12′ B．5°7′12″ C．5°7′2″ D．5°10′2″
【答案】B
【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解．此题主要考查了度分秒的换算，解题的关
键是掌握1°=60′，1′=60″．
【详解】解：∠α=5.12° =5°+0.12×60'=5°+7.2'=5°+7'+0.2×60''= 5°7′12″．
故选：B．
【变式2】45°18′化成用度表示的角为 ．
【答案】45.3°
【分析】本题主要考查了角度的转化，熟练掌握角度间变换的进率是解题的关键．
根据1°=60′，即可进行解答．
【详解】解：45°18′=45°+
(18)
°=45.3°，
60
故答案为：45.3°．
【变式3】计算：27°36′= °．
【答案】27.6
【分析】本题考查角度制，根据度分秒之间的换算关系，进行计算即可．
【详解】解：36′=36÷60=0.6°，
∴27°36′=27.6°；
故答案为：27.6
考点5：角的大小比较
典例5：已知∠1=38°36′，∠2=38.36°，∠3=38.6°下列说法正确的是（ ）
A．∠1=∠2<∠3 B．∠1=∠3>∠2
C．∠2=∠3>∠1 D．∠1<∠2<∠3
【答案】B【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将∠1转化为度的形式
再与∠2，∠3比较，注意：1°=60′，1′=60″．
【详解】解：∠1=38°36′=38°+
(36) ′
=38.6°，
60
∵38°36'=38.6°>38.36°，
∴∠1=∠3>∠2，
只有选项B符合．
故选：B．
【变式1】若∠A=25°18′,∠B=25°19′1″,∠C=25.31°，则（ ）
A．∠B>∠C>∠A B．∠C>∠B>∠A
C．∠A>∠B>∠C D．∠B>∠A>∠C
【答案】A
【分析】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握1°=60′和1′=60″是解题关键．根据1°=60′和
1′=60″将∠C进行化简，再比较大小即可得．
【详解】解：∠C=25.31°
=25°+0.31°
=25°+0.31×60′
=25°+18.6′
=25°+18′+0.6′
=25°+18′+0.6×60″
=25°+18′+36″
=25°18′36″，
∵∠A=25°18′,∠B=25°19′1″，
∴∠B>∠C>∠A，
故选：A．
【变式2】比较大小：74.45° 74°45′（填>、<或=）
比较大小：32.15° 2×16°6′．（填>、<或=）
【答案】 < <
【分析】此题考查了度分秒之间的转换和比较度数大小，单位统一后进行比较即可得到答案．
【详解】解：74.45°=74°27′，
∵74°27′<74°45′，
∴74.45°<74°45′
故答案为：<32.15°=32°9′，2×16°6′=32°12′，
∴32.15°<2×16°6′，
故答案为：<
【变式3】∠α=15°12'，∠β=15.12°．
（1）∠α ∠β(请用>，<，=填空)
（2）∠α+∠β= °．
【答案】 > 30.32
【分析】题主要考查了角的大小比较，角的求和计算；
（1）根据角度的单位度、分、秒之间的关系为60进制，将角度的单位统一，再进行大小比价即可；
（2）根据角度的单位度、分、秒之间的关系为60进制，将角度的单位统一，再进行加法运算即可．
【详解】（1）解：∠α=15°12′=15.2°，∠β=15.12°，
故∠α>∠β．
故答案为：>；
（2）15°12′=15.2°，
所以∠α+∠β=15.2°+15.12°=30.32°．
故答案为：30.32．
考点6：角度制运算
典例6：下列运算正确的是（ ）
A．34.5°=34°30′ B．98°45′+2°35′=100°80′
C．108°18′−52°28′=55°80′ D．24°24′=24.04°
【答案】A
【分析】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键．利用度分秒之间的进
率逐个分析选项即可．
【详解】解：34.5°=34°30′，故A选项正确；
98°45′+2°35′=101°20′，故B选项错误；
108°18′−52°28′=55°50′，故C选项错误；
24°24′=24.4°，故D选项错误；
故选：A．
【变式1】下列式子中错误的是（ ）
A．38.78°=38°46′48″ B．50°42′=50.7°
C．98°45′+2°35′=101°20′ D．108°18′−57°23′=51°55′
【答案】D
【分析】本题考查了度分秒的换算，根据“1°=60′，1′=60″”进行度分秒的换算和度分秒间的加
减计算．【详解】解：A、38.78°=38°46′48″，计算正确，故不符合题意．
B、50°42′=50.7°，计算正确，故不符题意．
C、98°45'+2°35'=(98°+2°)+(45'+35')=100°+80'=101°20'，计算正确，故不符合题意．
D、108°18′−57°23′=(107°−57°)+(78′−23′)=50°55′，计算错误，故符合题意．
故选：D．
【变式2】计算：
（1）48°39′+67°41′= ；
（2）90°−78°19′40″= ；
（3）21°17′×5= ；
（4）176°52′÷3= ．
【答案】 116°20′/116度20分 11°40′20″/11度40分20秒 106°25′/106度25分
58°57′20″/58度57分20秒
【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键．
（1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度；
（2）首先将度转化为度分秒，然后计算减法即可；
（3）根据角度的乘法运算法则求解即可；
（4）首先将度转化为度分秒，然后计算除法即可．
【详解】解：（1）48°39′+67°41′
=115°80′
=116°20′，
故答案为：116°20′；
（2）90°−78°19′40″
=89°59′60″−78°19′40″
=11°40′20″，
故答案为：11°40′20″；
（3）21°17′×5
=105°85′
=106°25′，
故答案为：106°25′；
（4）176°52′÷3
=174°171′60″÷3
=58°57′20″，故答案为：58°57′20″．
【变式3】（1）32°19′+16°53′16″= ；
（2）180°−126°43′12″= ；
（3）53°25′28″×5= ；
（4）41°36′÷3= ．
【答案】 49°12′16″ 53°16′48″ 267°7′20″ 13°52′
【分析】本题考查角的加减乘除混合运算，熟记角的换算及角的加减乘除运算法则即可得到答案，
熟记角的加减乘除运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：（1）32°19′+16°53′16″=49°12′16″；
（2）180°−126°43′12″= 53°16′48″；
（3）53°25′28″×5= 267°7′20″；
（4）41°36′÷3= 13°52′；
故答案为：（1）49°12′16″；（2）53°16′48″；（3）267°7′20″；（4）13°52′．
考点7：角平分线计算
典例7：（1）理解计算：如图①，∠AOB=90°，∠AOC为∠AOB外的一个角，且
∠AOC=30°，射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．求∠MON的度数；
（2）拓展探究：如图②，∠AOB=α，∠AOC=β．（α，β为锐角），射线OM平分∠BOC，
ON平分∠AOC．求∠MON的度数；
（3）迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，如图③线段AB=m，延长线段AB
到C，使得BC=n，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．
1 1
【答案】（1）45°；（2） α；（3） m
2 2
【分析】（1）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间
的数量关系即可得出结论；
（2）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关
系即可得出结论；
（3）根据（2）的原理，可直接得出结论．【详解】（1）解：∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+30°=120°，
∵射线OM平分∠BOC，
1
∴∠COM= ∠BOC=60°，
2
∵ON平分∠AOC，
1
∴∠CON= ∠AOC=15°，
2
∴∠MON=∠COM−∠CON=60°−15°=45°．
（2）解：∵∠AOB=α，∠AOC=β，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=α+β，
∵射线OM平分∠BOC，
1 1 1
∴∠COM= ∠BOC= α+ β，
2 2 2
∵ON平分∠AOC，
1 1
∴∠CON= ∠AOC= β，
2 2
1 1 1 1
∴∠MON=∠COM−∠CON= α+ β− β= α．
2 2 2 2
（3）解：∵AB=m，BC=n，
∴AC=AB+BC=m+n，
∵点M，N分别为AC，BC的中点，
1 1 1 1 1
∴CM= AC= m+ n，CN= BC= n，
2 2 2 2 2
1 1 1 1
∴MN=CM−CN= m+ n− n= m．
2 2 2 2
【点睛】本题考查了角的平分线的定义，角的和差计算，线段的中点，相等的和差计算，类比思想，
熟练掌握角的平分线，线段的中点是解题的关键．
【变式1】如图所示，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是∠AOC、
∠BOD的平分线．
(1)猜想∠AON与∠AOC是否互补，并说明理由；(2)求∠MON的度数；
(3)如果只改变∠AOC和∠BOD的度数，其他条件不变，则∠AOM+∠BON与∠AOC+∠BOD
有什么样的数量关系？请直接写出结论．
【答案】(1)互补，见解析
(2)135度
1
(3)∠AOM+∠BON= (∠AOC+∠BOD)
2
【分析】本题主要考查角的运算，根据图形理清各个角之间的关系是解题的关键．
（1）先求出∠AON=150°，得∠AON+∠AOC=180°，故可得结论；
（2）先根据角平分线的意义求出∠COM和∠DON，再根据
∠MON=∠COM+∠DON+∠COD，即可求解；
（3）根据OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，再利用角的和可得结论．
【详解】（1）解：∠AON与∠AOC互补；理由如下：
因为∠AOC=30°，∠BOD=60°，ON是∠BOD的平分线，
所以∠BON=30°，
所以∠AON=150°，
所以∠AON+∠AOC=180°，
所以∠AON与∠AOC互补；
（2）解：因为OM，ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
1 1
所以∠MOC=∠AOM= ∠AOC= ×30° =15°，
2 2
1 1
∠DON=∠BON= ∠BOD= ×60°=30°，
2 2
所以∠MON=180°−30°−15°=135°；
1
（3）解：∠AOM+∠BON= (∠AOC+∠BOD)．
2
因为OM，ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
1 1
所以∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，
2 2
1
所以∠AOM+∠BON= (∠AOC+∠BOD)．
2
【变式2】如图，已知∠AOB内部有三条射线，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．(1)若∠AOB=90°，∠AOC=40°，求∠EOF的度数；
(2)若∠AOB=α，求∠EOF的度数；
1 2
(3)若将题中“平分”的条件改为“∠EOB= ∠COB，∠COF= ∠AOC”，且∠AOB=α，
3 3
直接写出∠EOF的度数．
【答案】(1)∠EOF=45°
1
(2)∠EOF= α
2
2
(3)∠EOF= α
3
【分析】本题主要考查的是角的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分关系是解题的
关键．
（1）先求得∠BOC的度数，然后，再依据角平分线的定义求得∠EOC、∠FOC的度数，最后，
再依据∠EOF=∠EOC+∠FOC求解即可；
（2）按照（1）的思路先求得∠BOC的度数，然后再求得∠EOC、∠FOC的度数，最后，再依据
∠EOF=∠EOC+∠FOC求解即可；
（3）先求得∠BOC的度数，然后，依据题意求得∠EOC、∠FOC的度数，最后，再依据
∠EOF=∠EOC+∠FOC求解即可．
【详解】（1）解： ∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，
∴∠COB=60°；
∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠FOC=15°，∠EOC=30°，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=45°；
（2）解：∵∠AOB=α，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
1 1 1
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC= (∠BOC+∠AOC)= ∠AOB= α；
2 2 2
1 2
（3）解：∵∠AOB=α，∠EOB= ∠COB，∠COF= ∠COA，
3 32 2 2
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC= (∠BOC+∠AOC)= ∠AOB= α．
3 3 3
【变式3】如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB=∠AOC，
射线OD是OB的反向延长线．
(1)射线OC的方向是；
(2)求∠COD的度数；
(3)若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
【答案】(1)北偏东70°
(2)70°
(3)∠AOE=90°
【分析】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方
向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多
少度．
（1）先求出∠AOB=55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向；
（2）根据∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB，得出∠BOC=110°，进而求出∠COD的度数；
（3）根据射线OE平分∠COD，即可求出∠COE=35°，再利用∠AOC=55°，求出答案即可．
【详解】（1）解：∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，
∴∠NOB=40°，∠NOA=15°，
∴∠AOB=∠NOB+∠NOA=55°，
∵∠AOB=∠AOC，
∴∠AOC=55°，
∴∠NOC=∠NOA+∠AOC=70°，
∴OC的方向是北偏东70°；
故答案为：北偏东70°；
（2）解：∵∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB，
∴∠BOC=110°．
又∵射线OD是OB的反向延长线，∴∠BOD=180°．
∴∠COD=180°−110°=70°；
（3）解：∵∠COD=70°，OE平分∠COD，
∴∠COE=35°．
∵∠AOC=55°．
∴∠AOE=90°．
考点8：余角和补角
典例8：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD
___________∠B．（填“>”“=”或“<”）
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，且∠ADE=∠B，
△ADE的形状是___________．
（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，AB⊥BD，点C、B、E在
同一直线上，∠A与∠D的关系是___________．
【答案】（1）=；（2）直角三角形；（2）∠A+∠D=90°
【分析】（1）利用余角性质即可求解；
（2）由直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°，即得∠A+∠ADE=90°，据此即可求解；
（3）利用余角性质可得∠A=∠DBE，再根据直角三角形两锐角互余即可求解；
本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°，
∴∠ACD=∠B，
故答案为：=；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ADE=∠B，
∴∠A+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，∴△ADE是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（3）在Rt△ABC和Rt△DBE中，∵∠C=90°，∠E=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，∠DBE+∠D=90°，
∵AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠A=∠DBE，
∴∠A+∠D=90°，
故答案为：∠A+∠D=90°．
【变式1】已知α=76°, β=51°31′，求：
(1)∠β的余角；
1
(2)∠α的2倍与∠β的 的差．
2
【答案】(1)38°29′
(2)126°14′30″
【分析】本题主要考查了与余角有关的计算，角的四则运算，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据余角的含义列式计算即可；
（2）根据题意列式运算角的四则运算法则求解即可．
【详解】（1）解：90°−51°31′=38°29′；
1
（2）解：76°×2− ×51°31′
2
=152°−25°45′30″
=126°14′30″．
【变式2】如图（甲），∠AOC和∠DOB都是直角．
(1)如果∠DOC=23°，那么∠AOB的度数是多少?
(2)找出图（甲）中相等的角．如果∠DOC=m°(0°10°为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯Cobb角(∠O)的
检测示意图，DA⊥OC于点A，CB⊥OD于点B，已知Cobb角为37°，则∠AEC的大小是
．
【答案】37°
【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂直的定义，对顶角相等，由DA⊥OC得∠DAO=90°，
则根据直角三角形的性质可求出∠ADO=53°，同理∠DEB=37°，最后由对顶角相等即可求解，
掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵DA⊥OC，
∴∠DAO=90°，
∴∠ADO=90°−∠DOA=90°−37°=53°，
∵CB⊥OD，
∴∠EBD=90°，
∴∠DEB=90°−∠ADO=90°−53°=37°，
∴∠AEC=∠DEB=37°，
故答案为：37°．
【变式3】当光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多．某一时刻太阳光的照射角度如
图所示，要使此时接收的太阳光能最多，那么太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为 ．
【答案】58°
【分析】本题主要考查了垂直的定义，余角的计算．根据太阳光板于太阳光垂直时，接收的太阳光
能最多，得出旋转的最小角度即可．
【详解】解：由题意，可知太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为90°−32°=58°，
故答案为：58°．考点11：垂线段最短
典例11：如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足为点
B，PA⊥PC，则下列正确的语句是（ ）
A．线段PC的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离D．线段AC的长是点C到直线PA的距离
【答案】B
【分析】此题主要考查了点到直线的距离及垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直
线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条直线
的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
【详解】A．线段PC的长是点C到PA的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；
B．PA、PB、PC三条线段中，依据垂线段最短可知PB最短，原说法正确，故此选项符合题意；
C．线段PA的长是点A到直线PC的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式1】如图，点P是直线l外的一点，点A,B,C在直线l上，且PB⊥l，垂足是点B,PA⊥PC，
则下列判断不正确的是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线l的距离 B．PA，PB，PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
【答案】C
【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，垂线段最短，点到一直线的垂线段的长度叫做点
到该直线的距离，据此可判断A、C、D，根据垂线段最短可判断B．
【详解】解：A、∵PB⊥l，
∴线段PB的长是点P到直线l的距离，原说法正确，不符合题意；
B、∵PB⊥l，
∴由垂线段最短可知，PA，PB，PC三条线段中，PB最短，原说法正确，不符合题意；C、∵PA⊥PC，
∴线段AP的长是点A到直线PC的距离，原说法错误，符合题意；
D、∵PA⊥PC，
∴线段PC的长是点C到直线PA的距离，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=5,BC=12,AB=13，P为直线AB上一动点，
连接PC，则线段PC的最小值是 ．
60 8
【答案】 /4
13 13
【分析】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直
线上各个点的连线中，垂线段最短．
根据垂线段最短，当PC⊥AB时，PC的值最小，然后利用面积法求高．
【详解】解；在△ABC中，∠ACB=90°,AC=5,BC=12，AB=13，
当PC⊥AB时，PC的值最小，
1 1
此时△ABC的面积= ⋅AB⋅PC= ⋅AC⋅BC，
2 2
∴ 13PC=5×12，
60
∴ PC= ．
13
60
故答案为： ．
13
【变式3】如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N分别为BD、
BC上的动点，若BC=10，△ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为 ．【答案】8
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等腰三角形的性质，理解“垂
线段最短”是解答此题的关键．
首先连接AM，过点A作AH⊥BC于点H，因为BD平分∠ABC，交AC于点D，，根据等腰三角
形的性质得BD是线段AC的垂直平分线，从而得CM=AM，则CM+MN=AM+MN，然后根据
“垂线段最短”得AM+MN≥AH，据此可得出当点M、N在线段AH上时，AM+MN为最小，最
小值为线段AH的长，最后根据三角形的面积求出AH即可．
【详解】解∶连接AM，过点A作AH⊥BC于点H，如图∶
∵ BA=BC BD ∠ABC
， 平分 ，
∴BD⊥AC且平分AC．
即BD是线段AC的垂直平分线，
∴CM=AM．
∴CM+MN=AM+MN
根据“垂线段最短”得∶AM+MN≥AH，
即当点M、N在线段AH上时，AM+MN为最小，最小值为线段AH的长，
∵△ABC的面积为40，BC=10，
1
∴S = BC⋅AH=40，
△ABC 2
1
∴ ×10×AH=40．
2
∴ AH=8．
∴CM+MN的最小值为8．
故答案为∶8．
考点12：点到直线的距离
典例12：如图在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，则下列说法中，错误的是（ ）A．点B到AC的距离是线段BC的长 B．线段CD是AB边上的高
C．线段AC是BC边上的高 D．点C到AB的距离是线段AC的长
【答案】D
【分析】本题考查的是点到直线的距离和三角形高的定义．根据定义判断即可．
【详解】解：A. 点B到AC的距离是线段BC的长，说法正确，不符合题意；
B. 线段CD是AB边上的高，说法正确，不符合题意；
C. 线段AC是BC边上的高，说法正确，不符合题意；
D. 点C到AB的距离是线段CD的长，原说法错误，符合题意．
故选：D．
【变式1】如图AC⊥BC，CD⊥AB，则点B到AC的距离为（ ）
A．线段BD的长度 B．线段AC的长度 C．线段CD的长度D．线段BC
的长度
【答案】D
【分析】本题考查了点到直线的距离“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距
离”，熟记定义是解题关键．根据点到直线的距离的定义求解即可得．
【详解】解：∵AC⊥BC，
∴点B到AC的距离为线段BC的长度，
故选：D．
【变式2】如图所示，AB⊥BC，BD⊥AC，垂足为点D，BC=6cm，AB=8cm，AC=10cm．
则点A到BC的距离是 ，点C到AB的距离是 ，点B到AC的距离是 ．
【答案】 8cm 6cm 4.8cm
【分析】本题考查了点到直线的距离，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键．根据点到直线距
离的定义即可得出结论．【详解】∵AB⊥BC，BD⊥AC，垂足为点D，BC=6cm，AB=8cm，AC=10cm，
∴点A到BC的距离是AB=8cm，
点C到AB的距离是BC=6cm，
1 1 1 1
∴ BC⋅AB= AC⋅BD，即 ×6×8= ×10BD，
2 2 2 2
∴BD=4.8cm，
点B到AC的距离是4.8cm，
故答案为：8cm，6cm，4.8cm．
【变式3】在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=9，AD平分∠BAC交BC于点D，且
BD:CD=5:4，则点D到线段AB的距离为 ．
【答案】4
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可以得到CD=DE，根据BD:CD=5:4，
BC=9，求出CD的长即可.
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD:CD=5:4，BC=9，
设BD=5x，则CD=4x，
∴5x+4x=9，
解得：x=1，
∴CD=4．
∵AD平分∠BAC交BC于点D，∠C=90°，
∴AC⊥CD，∴CD=DE=4．
点D到线段AB的距离为4.
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知
识进行求解．
考点13：对顶角与邻补角
典例13：如图，一束平行于主光轴（直线OF）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光
心O的光线相交于点P，F为焦点．若∠2=18°，则∠1+∠3−90°的度数为（ ）
A．118° B．108° C．98° D．88°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质及三角形外
角的性质即可得到∠3=∠PFO+∠2，由平行线的性质求出∠1+∠PFO=180°，即可解答．
【详解】解：如图，
∵∠POF=∠2=18°，∠3=∠PFO+∠POF，
∴∠3=∠PFO+∠2．
∵AB∥OF，
∴∠1+∠PFO=180°，
∴∠1+∠3−90°=∠1+∠PFO+∠2−90°=108°．
故选：B．
【变式1】如图，已知直线AB，CD被直线OP所截，AB∥CD，OE，OF分别平分
∠BOC，∠BOD，OP⊥AB，∠ABO=50°，则下列结论错误的是（ ）A．∠COE=60° B．OF⊥OE C．∠POF=∠BOE D．∠BOD=2∠POE
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，垂线的定义．利用数形结合的
思想是解题关键．根据平行线的性质得出∠DOB=∠ABO=50°，从而可求出
∠BOC=180°−∠DOB=130°．再根据角平分线的定义可求出
1 1
∠COE=∠BOE= ∠BOC=65°，∠BOF=∠DOF= ∠DOB=25°，即得出
2 2
∠EOF=∠BOE+∠BOF=90°．再结合垂线的定义可求出∠POE=25°=∠BOE，进而得出
∠POF=∠BOE，∠BOD=2∠POE，即可选择．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠DOB=∠ABO=50°，
∴∠BOC=180°−∠DOB=130°．
∵OE，OF分别平分∠BOC，∠BOD，
1 1
∴∠COE=∠BOE= ∠BOC=65°，∠BOF=∠DOF= ∠DOB=25°，
2 2
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=90°，即OF⊥OE．
∵OP⊥AB，
∴∠POE=90°−∠COE=25°=∠BOF，
∴∠POE+∠POB=∠BOF+∠POB，∠BOD=2∠POE，
∴∠POF=∠BOE．
综上可知A错误，符合题意；B，C，D正确，不符合题意．
故选A．
【变式2】如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOD=2∠AOC+30°，则直线AB与CD的夹角
∠BOD的度数为 ．
【答案】50°/50度
【分析】本题考查对顶角，平角的知识，解题的关键是根据题意，则∠AOC+∠AOD=180°，根
据∠AOD=2∠AOC+30°，求出∠AOC，再根据对顶角相等，即可．【详解】解：∵∠AOC+∠AOD=180°，∠AOD=2∠AOC+30°，
∴∠AOC+2∠AOC+30°=180°，
∴∠AOC=50°，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠BOD=50°．
故答案为：50°．
【变式3】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD=110°，则∠BOE=
．
【答案】35°/35度
【分析】本题考查了与补角有关的计算，角平分线的定义，根据题意先求得∠BOD=70°，进而根
据角平分线的定义，结合图形，即可求解．
【详解】解：∵∠AOD=110°，
∴∠BOD=180°−∠AOD=180°−110°=70°，
∵OE平分∠BOD，
1 1
∴∠BOE= ∠BOD= ×70°=35°，
2 2
故答案为：35°．
考点14：平行线的判定
典例14：如图，△ABD≌△CAE，A，D，E三点在一条直线上．
(1)求证：BD=CE+DE．
(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当∠ADB=90°时，BD∥CE，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的判定．（1）由△BAD≌△ACE得出BD=AE，AD=CE，再进行相应等量代换；
（2）当∠ADB=90°时，BD∥CE．由△ABD≌△CAE，得出∠ADB=∠CEA=90°，进而
∠BDE=∠CEA=90°，从而得证BD∥CE．
【详解】（1）证明：∵△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE；
（2）解：当∠ADB=90°时，BD∥CE．理由如下：
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∵∠ADB=∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠CEA=90°，
∴BD∥CE．
【变式1】如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠E.
(1)猜想AB与CE之间有怎样的位置关系，并说明理由；
(2)若CA平分∠BCE，∠B=50°，求∠A的度数.
【答案】(1)AB∥CE，理由见解析
(2)65°
【分析】（1）由同旁内角互补两直线平行可得DE∥BC，由两直线平行同位角相等可得
∠ADF=∠B，结合已知条件∠B=∠E可得∠ADF=∠E，然后根据内错角相等两直线平行即可
得出结论；
（2）由两直线平行同旁内角互补可得∠B+∠BCE=180°，由等式的性质1可得
1
∠BCE=180°−∠B=130°，由CA平分∠BCE可得∠ACE= ∠BCE=65°，然后由两直线平
2
行内错角相等即可得出答案．
【详解】（1）解：AB∥CE，理由如下：
∵∠1+∠2=180°，
∴DE∥BC，
∴∠ADF=∠B，∵∠B=∠E，
∴∠ADF=∠E，
∴AB∥CE；
（2）解：∵AB∥CE，
∴∠B+∠BCE=180°，
∵∠B=50°，
∴∠BCE=180°−∠B=130°，
∵CA平分∠BCE，
1
∴∠ACE= ∠BCE=65°，
2
∵AB∥CE，
∴∠A=∠ACE=65°．
【点睛】本题主要考查了内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，两直线平行同位角相
等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，等式的性质1，角平分线的有关计算等知识
点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【变式2】如图：∠BAC=∠CDB=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．
(1)求证：OB=OC；
(2)求证：AD∥BC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由∠BAC=∠CDB=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB(HL)，
根据全等三角形的性质得∠ACB=∠DBC，最后利用等角对等边即可求证；
（2）先通过线段和差得出OA=OD，则∠OAD=∠ODA，再根据三角形的外角性质可得
∠OBC=∠ODA，最后由平行线的判定即可求证；
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的判
定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠CDB=90°，
∴在Rt△BAC和Rt△CDB中，
¿，
∴Rt△BAC≌Rt△CDB(HL)，∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC；
（2）证明：∵AC=BD，OB=OC，
∴AC−OC=BD−OB，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠AOB=∠OBC+∠OCB=∠OAD+∠ODA，∠ACB=∠DBC，
∴2∠OBC=2∠ODA，
∴∠OBC=∠ODA，
∴AD∥BC．
【变式3】如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，点F是AB边上一点，
且BF=CD．
(1)求证：△BFC≌△CDA；
(2)求证 ：DE∥CF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握相关性
质与判定是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得AC=BC，∠ACB=∠B=60°，即可用SAS定理得出结论；
（2）由△BFC≌△CDA，得∠BCF=∠CAD，再由等边三角形的性质证明∠BDE=∠BCF，即
可由平行线的判定定理得出结论．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠B=60°，
在△CBF和△ACD中，
¿，
∴△BFC≌△CDA(SAS)，
（2）证明：∵△BFC≌△CDA∴∠BCF=∠CAD
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠ACB=60°，
∵∠ADE+∠BDE=∠ACB+∠CAD，
∴∠BDE=∠CAD，
∴∠BDE=∠BCF，
∴DE∥CF；
考点15：平行线的性质
典例15：如图，已知直线l ∥l ，直线l 和直线l 、l 分别交于点C和点D，P为直线l 上一点，A、
1 2 3 1 2 3
B分别是直线l 、l 上的定点．设∠CAP=∠1，∠APB=∠2，∠DBP=∠3．
1 2
(1)若P点在线段CD（C、D两点除外）上）运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是什么？说明理
由．
(2)在l ∥l 的前提下，若P点在线段CD之外时，∠1、∠2、∠3之间的关系又怎样？
1 2
【答案】(1)∠2=∠1+∠3，理由见解析
(2)∠2=∠3−∠1或∠2=∠1−∠3
【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
（1）过点P作PE∥l ，根据l ∥l 可知PE∥l ，故可得出∠1=∠APE，∠3=∠BPE，再由
1 1 2 2
∠2=∠APE+∠BPE即可得出结论；
（2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段DC的延长线上与点P在线段CD的延长线上两
种情况进行讨论．
【详解】（1）解：∠2=∠1+∠3．理由如下：
如图，过点P作PE∥l ，
1因为l ∥l ，
1 2
所以PE∥l ，
2
所以∠1=∠APE，∠3=∠BPE．
又因为∠APB=∠APE+∠BPE，
所以∠2=∠1+∠3；
（2）解：①当点P在线段DC的延长线上时，∠2=∠3−∠1．理由如下：
如图所示，当点P在线段DC的延长线上时，过点P作PF∥l ，
1
所以∠FPA=∠1．
因为l ∥l ，所以PF∥l ，
1 2 2
所以∠FPB=∠3，
所以∠2=∠FPB−∠FPA=∠3−∠1；
②当点P在线段CD的延长线上时，∠2=∠1−∠3．理由如下：
如图所示，当点P在线段CD的延长线上时，过点P作PE∥l ，
2
所以∠EPB=∠3．
因为l ∥l ，
1 2
所以PE∥l ，
1
所以∠EPA=∠1，
所以∠2=∠EPA−∠EPB=∠1−∠3．
【变式1】已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、
NG．(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．
(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30°，求
∠MGN+∠MPN的度数．
(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分
∠CNG，2∠MEN+∠MGN=120°，求∠AME的度数.．
【答案】(1)90°
(2)90°
(3)40°
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，
利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
（1）过点G作¿∥AB，根据平行线的性质得∠AMG+∠CNG=∠MGN，再由垂直的定义得答案；
（2）过G作¿∥AB，过P作PF∥AB，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差得
∠MGN+∠MPN=3∠BMG，便可求得结果；
（3）过E作ES∥AB，过G作GL∥AB，设∠AMF=x，∠DNG= y，通过平行线的性质，和角
y
平分的定义及角的和差，得出∠MEN=90°− −2x，∠MGN=x+ y，由
2
2∠MEN+∠MGN=120°，便可求得结果．
【详解】（1）解：如图1，过点G作¿∥AB，
∵AB∥CD
，
∴AB∥≥∥CD，
∴∠AMG=∠MGE，∠CNG=∠NGE，
∴∠AMG+∠CNG=∠MGE+∠NGE=∠MGN，
∵GM⊥GN，
∴∠AMG+∠CNG=∠MGN=90°；（2）解：如图2，过G作¿∥AB，过P作PF∥AB，
∵AB∥CD
，
∴AB∥EG∥CD∥FP，
∴∠BMG=∠MGE，∠DNG=∠NGE，∠BMP=∠FPM，∠FPN=∠DNP，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠PNG，
1
∴∠BMP=2∠BMG=2∠PMG，∠PND=∠DNG= ∠PNG，
2
∴∠MGN+∠MPN=∠MGE+∠NGE+∠FPM−∠FPN=∠BMG+∠PND+2∠BMG−∠P，ND=3∠BMG
∵∠BMG=30°，
∴∠MGN+∠MPN=90°；
（3）解：∠AME=40°．理由如下：
如图3，过E作ES∥AB，过G作GL∥AB，
设∠AMF=x，∠DNG= y，
∵MF平分∠AME，
∴∠AMF=∠EMF=x=∠BMG，
∴∠AME=2x，
∵GL∥AB，ES∥AB，
∴∠MGL=∠BMG=x，∠SME=∠AME=2x，
∵AB∥CD，ES∥AB，GL∥AB，
∴GL∥CD，ES∥CD，∠SME=∠AME=2x，
∴∠NGL=∠DNG= y，
则∠MGN=∠MGL+∠NGL=x+ y，
∵NE平分∠CNG，1 1 y
∴∠CNE= ∠CNG= (180°−y)=90°− ，
2 2 2
∵ES∥CD，
y
∴∠SEN=∠CNE=90°− ，
2
又∵∠SEM=2x，
y
则∠MEN=90°− −2x，
2
y
∵∠MEN=90°− −2x，∠MGN=x+ y，且2∠MEN+∠MGN=120°，
2
y
∴2(90°− −2x)+(x+ y)=120°，
2
180°−y−4x+x+ y=120°，
−3x=−60°，
x=20°，
∴∠AME=2x=40°．
【变式2】探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E的位置探
究∠B、∠C和∠BEC的数量关系：
(1)当点E在如图①的位置时，写出∠B、∠C和∠BEC的数量关系，并说明理由．
(2)当点E分别在图②、图③所示的位置时，请分别写出图形中相应的∠B、∠C和∠BEC的数量关
系：（直接写出答案，不要求说明理由）
图②________________________________________________．
图③________________________________________________．
(3)运用上面结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，
∠BEC=100°，求∠BPC的度数．
【答案】(1)∠B＋∠C=∠BEC
(2)∠B＋∠C+∠BEC=360°；∠C−∠B=∠BEC
(3)130°
【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线构造平行线是解题的关键．
（1）如图，过点E作EF∥AB，由平行线的性质得出∠C=∠CEF，∠B=∠BEF，可得∠B+∠C=∠BEC；
（2）图②中， 过点E作EF∥AB，由平行线的性质得出∠C+∠CEF=180°，
∠B+∠BEF=180°，可得∠B＋∠C+∠BEC=360°；图③中， 过点E作EF∥AB，由平行
线的性质得出∠C=∠CEF，∠B=∠BEF，可得∠C−∠B=∠BEC；
（3）由（2）中图②的结论可得，在图④中，∠ABE+∠DCE+∠BEC=360°，结合角平分线的
定义，四边形内角和为360度，即可求解．
【详解】（1）解：∠B+∠C=∠BEC，理由如下：
如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠C=∠CEF，
∵EF∥AB，
∴∠B=∠BEF，
∴∠B+∠C=∠CEF+∠BEF，即∠B+∠C=∠BEC．
（2）解：图②中， 过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠C+∠CEF=180°，
∵EF∥AB，
∴∠B+∠BEF=180°，
∴∠B+∠BEF+∠CEF+∠C=360°，即∠B+∠C+∠BEC=360°．
图③中， 过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠C=∠CEF，
∵EF∥AB，
∴∠B=∠BEF，
∴∠C−∠B=∠CEF−∠BEF=∠BEC，即∠C−∠B=∠BEC．
故答案为：∠B+∠C+∠BEC=360°；∠C−∠B=∠BEC．
（3）解：由（2）中图②的结论可得，在图④中，∠ABE+∠DCE+∠BEC=360°，
∴∠ABE+∠DCE=360°−∠BEC=360°−100°=260°，
又∵BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，
1
∴∠PBE+∠PCE= (∠ABE+∠DCE)=130°，
2
∴四边形PCEB中，∠BPC=360°−130°−100°=130°．
【变式3】如图1，O为直线AB上一点，过点O在直线AB的上方作射线OC，使∠AOC=60°．将
一块直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中
∠MON=90°，∠OMN=30°,∠ONM=60°．
(1)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
(2)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s
时，边MN恰好与射线OC平行；第______s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；
(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)150°；
(2)9或27，12或30；
(3)∠AOM−∠NOC=30°，见解析．
【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质，
（1）根据邻补角的定义求出∠BOC=120°，再根据角平分线的定义求出∠COM，然后根据
∠CON=∠COM+90°解答即可；
（2）分别分情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解；
（3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解；
读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
又∵OM平分∠BOC，
1
∴∠COM= ∠BOC=60°，
2
∴∠CON=∠COM+90∘=150°；
（2）解：∵∠OMN=30°，
∵∠AOC=60°，∠ONM=60°，
∴当ON在直线AB上时，MN∥OC，此时旋转角为90°或270°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为9s或27s，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，旋转角为90°+30°=120°或270°+30°=300°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为12s或30s，
故答案为：9或27；12或30；
（3）解：∠AOM−∠NOC=30°，理由如下：
∵∠MON=90°,∠AOC=60°,ON在∠AOC的内部，
∴∠AON=90°−∠AOM，∠AON=60°−∠NOC，
∴90°−∠AOM=60°−∠NOC，
∴∠AOM−∠NOC=30°．
