文档内容
专题 02 图形的初步（2）
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）角的相关概念
（1）角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。角也可以看做由一条射线绕着它的端
点旋转而形成的图。
（2）角的分类：
∠ɑ 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠ɑ＜90° ∠ɑ=90° 90°＜∠ɑ＜180° ∠ɑ=180° ∠ɑ=360°
（3）角的表示法（四种）：
①角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间，如∠ABC（B为顶点）
②用一个字母表示角, 必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个，如∠A
③用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字，如∠1
④用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母，如∠ɑ
（二）角平分线及其性质
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
如图：AC是∠BCD的角平分线，则
∵AC平分∠BCD1
∴∠ACD=∠ACB= ∠ACD
2
（三）角度制
（1）时针和分针所成的角度：钟表一周为360°，每一个大格为30°，每一个小格为6°.（每小时，
时针转过30°，即一个大格，分针转过360°，即一周；每分钟，分针转过6°即一个小格）
（2）角的度量：1°=60′；1′=60″；
1直角=90°；1平角=180 °；1周角=360°
（四）相交线所形成的角
两条直线相交所成的四个角中：
（1）相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延
长线，性质是邻补角互补；
①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系
的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。
（2）相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。
②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长
线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。对顶角相等。
（五）垂线及其性质
（1）垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；交点叫垂足；垂直是特殊的相
交。
（2）垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外
一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短 。
（六）三线八角
（1）同位角： 形如“ F ”型 ； 在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角
叫同位角。如：∠1和∠5。
（2）内错角： 形如“ Z ”型； 在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫
内错角。如：∠3和∠5。
（3）同旁内角： 形如“ U ”型； 在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角
叫同旁内角。如：∠3和∠6。
（七）平行公理及其推论
（1）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
b a c a
几何描述 ：∵ ∥ ， ∥b c
∴ ∥
（八）平行线的判定与性质
（1）平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：内错角相等，两直线平行
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
（2）平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。几何符号语言：
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
模块三 考点一遍过
考点1：角的概念
典例1：下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图，下列表示角的方法，错误的是（ ）A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠AOC也可用∠O来表示
C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC
D．∠β表示的是∠BOC
【变式2】（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ；
（2）以A为顶点的角有 ；
（3）图中一共 个角（不包括平角）．
【变式3】如图，在从同一点出发的七条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF、OG组成的图
形中，共有 个锐角．
考点2：钟面角
典例2：钟表4时30分时，时针与分针所成的角的度数为（ ）
A．45° B．30° C．60° D．75°
【变式1】如图，时针与分针的所成的角是（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
【变式2】北京时间2022年11月29日23时15分，神舟十五号载人飞船成功发射，标志着空间站验证和建造阶段规划的十二次发射任务全部圆满完成．当时钟显示时间为23:15时，此时时针与分
针的夹角的度数是 ．
【变式3】如图，钟表上显示8时30分，此时分针与时针所成夹角的度数为 ．
考点3：方向角
典例3：如图，OA是表示北偏东x∘的一条射线，OB是表示北偏西(90−y)°的一条射线，若
∠AOC=∠AOB，则OC表示的方向是（ ）
A．北偏东(90−3x)° B．北偏东(90+x−y)°
C．北偏东(90−x−y)° D．北偏东(90+2x−y)°
【变式1】如图，下面说法中，不正确的是（ ）
A．射线OA表示北偏东30° B．射线OB表示西北方向
C．射线OC表示西偏南80° D．射线OD表示南偏东70°
【变式2】如图，甲从O处出发沿北偏东15°10'方向走到A处，乙从O处出发沿南偏西54°40'方向
走到B处，则∠BOA是 度．【变式3】（如图）描述正确的是（ ）．
A．少年宫在晶晶家西偏南30°方向，400米处；
B．少年宫在晶晶家北偏西30°方向，400米处；
C．学校在晶晶家北偏东45°方向，600米处；
D．学校在晶晶家西偏南45°方向，600米处；
考点4：角的单位与角度制
典例4：用度、分、秒表示91.34°为（）
A．91°20′24′′ B．91°34′ C．91°20′4′′ D．91°3′4′′
【变式1】若∠α=5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）
A．5°12′ B．5°7′12″ C．5°7′2″ D．5°10′2″
【变式2】45°18′化成用度表示的角为 ．
【变式3】计算：27°36′= °．
考点5：角的大小比较
典例5：已知∠1=38°36′，∠2=38.36°，∠3=38.6°下列说法正确的是（ ）
A．∠1=∠2<∠3 B．∠1=∠3>∠2
C．∠2=∠3>∠1 D．∠1<∠2<∠3
【变式1】若∠A=25°18′,∠B=25°19′1″,∠C=25.31°，则（ ）
A．∠B>∠C>∠A B．∠C>∠B>∠A
C．∠A>∠B>∠C D．∠B>∠A>∠C
【变式2】比较大小：74.45° 74°45′（填>、<或=）
比较大小：32.15° 2×16°6′．（填>、<或=）【变式3】∠α=15°12'，∠β=15.12°．
（1）∠α ∠β(请用>，<，=填空)
（2）∠α+∠β= °．
考点6：角度制运算
典例6：下列运算正确的是（ ）
A．34.5°=34°30′ B．98°45′+2°35′=100°80′
C．108°18′−52°28′=55°80′ D．24°24′=24.04°
【变式1】下列式子中错误的是（ ）
A．38.78°=38°46′48″ B．50°42′=50.7°
C．98°45′+2°35′=101°20′ D．108°18′−57°23′=51°55′
【变式2】计算：
（1）48°39′+67°41′= ；
（2）90°−78°19′40″= ；
（3）21°17′×5= ；
（4）176°52′÷3= ．
【变式3】（1）32°19′+16°53′16″= ；
（2）180°−126°43′12″= ；
（3）53°25′28″×5= ；
（4）41°36′÷3= ．
考点7：角平分线计算
典例7：（1）理解计算：如图①，∠AOB=90°，∠AOC为∠AOB外的一个角，且
∠AOC=30°，射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．求∠MON的度数；
（2）拓展探究：如图②，∠AOB=α，∠AOC=β．（α，β为锐角），射线OM平分∠BOC，
ON平分∠AOC．求∠MON的度数；
（3）迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，如图③线段AB=m，延长线段AB
到C，使得BC=n，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．
【变式1】如图所示，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．
(1)猜想∠AON与∠AOC是否互补，并说明理由；
(2)求∠MON的度数；
(3)如果只改变∠AOC和∠BOD的度数，其他条件不变，则∠AOM+∠BON与∠AOC+∠BOD
有什么样的数量关系？请直接写出结论．
【变式2】如图，已知∠AOB内部有三条射线，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．
(1)若∠AOB=90°，∠AOC=40°，求∠EOF的度数；
(2)若∠AOB=α，求∠EOF的度数；
1 2
(3)若将题中“平分”的条件改为“∠EOB= ∠COB，∠COF= ∠AOC”，且∠AOB=α，
3 3
直接写出∠EOF的度数．
【变式3】如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB=∠AOC，
射线OD是OB的反向延长线．
(1)射线OC的方向是；
(2)求∠COD的度数；(3)若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
考点8：余角和补角
典例8：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD
___________∠B．（填“>”“=”或“<”）
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，且∠ADE=∠B，
△ADE的形状是___________．
（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，AB⊥BD，点C、B、E在
同一直线上，∠A与∠D的关系是___________．
【变式1】已知α=76°, β=51°31′，求：
(1)∠β的余角；
1
(2)∠α的2倍与∠β的 的差．
2
【变式2】如图（甲），∠AOC和∠DOB都是直角．
(1)如果∠DOC=23°，那么∠AOB的度数是多少?
(2)找出图（甲）中相等的角．如果∠DOC=m°(0°10°为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯Cobb角(∠O)的
检测示意图，DA⊥OC于点A，CB⊥OD于点B，已知Cobb角为37°，则∠AEC的大小是
．【变式3】当光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多．某一时刻太阳光的照射角度如
图所示，要使此时接收的太阳光能最多，那么太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为 ．
考点11：垂线段最短
典例11：如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足为点
B，PA⊥PC，则下列正确的语句是（ ）
A．线段PC的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离D．线段AC的长是点C到直线PA的距离
【变式1】如图，点P是直线l外的一点，点A,B,C在直线l上，且PB⊥l，垂足是点B,PA⊥PC，
则下列判断不正确的是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线l的距离 B．PA，PB，PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=5,BC=12,AB=13，P为直线AB上一动点，
连接PC，则线段PC的最小值是 ．【变式3】如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N分别为BD、
BC上的动点，若BC=10，△ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为 ．
考点12：点到直线的距离
典例12：如图在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，则下列说法中，错误的是（ ）
A．点B到AC的距离是线段BC的长 B．线段CD是AB边上的高
C．线段AC是BC边上的高 D．点C到AB的距离是线段AC的长
【变式1】如图AC⊥BC，CD⊥AB，则点B到AC的距离为（ ）
A．线段BD的长度 B．线段AC的长度 C．线段CD的长度D．线段BC
的长度
【变式2】如图所示，AB⊥BC，BD⊥AC，垂足为点D，BC=6cm，AB=8cm，AC=10cm．
则点A到BC的距离是 ，点C到AB的距离是 ，点B到AC的距离是 ．【变式3】在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=9，AD平分∠BAC交BC于点D，且
BD:CD=5:4，则点D到线段AB的距离为 ．
考点13：对顶角与邻补角
典例13：如图，一束平行于主光轴（直线OF）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光
心O的光线相交于点P，F为焦点．若∠2=18°，则∠1+∠3−90°的度数为（ ）
A．118° B．108° C．98° D．88°
【变式1】如图，已知直线AB，CD被直线OP所截，AB∥CD，OE，OF分别平分
∠BOC，∠BOD，OP⊥AB，∠ABO=50°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠COE=60° B．OF⊥OE C．∠POF=∠BOE D．∠BOD=2∠POE
【变式2】如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOD=2∠AOC+30°，则直线AB与CD的夹角
∠BOD的度数为 ．【变式3】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD=110°，则∠BOE=
．
考点14：平行线的判定
典例14：如图，△ABD≌△CAE，A，D，E三点在一条直线上．
(1)求证：BD=CE+DE．
(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？请说明理由．
【变式1】如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠E.
(1)猜想AB与CE之间有怎样的位置关系，并说明理由；
(2)若CA平分∠BCE，∠B=50°，求∠A的度数.
【变式2】如图：∠BAC=∠CDB=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．
(1)求证：OB=OC；
(2)求证：AD∥BC．【变式3】如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，点F是AB边上一点，
且BF=CD．
(1)求证：△BFC≌△CDA；
(2)求证 ：DE∥CF．
考点15：平行线的性质
典例15：如图，已知直线l ∥l ，直线l 和直线l 、l 分别交于点C和点D，P为直线l 上一点，A、
1 2 3 1 2 3
B分别是直线l 、l 上的定点．设∠CAP=∠1，∠APB=∠2，∠DBP=∠3．
1 2
(1)若P点在线段CD（C、D两点除外）上）运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是什么？说明理
由．
(2)在l ∥l 的前提下，若P点在线段CD之外时，∠1、∠2、∠3之间的关系又怎样？
1 2
【变式1】已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、
NG．
(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．
(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30°，求
∠MGN+∠MPN的度数．(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分
∠CNG，2∠MEN+∠MGN=120°，求∠AME的度数.．
【变式2】探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E的位置探
究∠B、∠C和∠BEC的数量关系：
(1)当点E在如图①的位置时，写出∠B、∠C和∠BEC的数量关系，并说明理由．
(2)当点E分别在图②、图③所示的位置时，请分别写出图形中相应的∠B、∠C和∠BEC的数量关
系：（直接写出答案，不要求说明理由）
图②________________________________________________．
图③________________________________________________．
(3)运用上面结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，
∠BEC=100°，求∠BPC的度数．
【变式3】如图1，O为直线AB上一点，过点O在直线AB的上方作射线OC，使∠AOC=60°．将
一块直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中
∠MON=90°，∠OMN=30°,∠ONM=60°．
(1)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，
求∠CON的度数；
(2)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s
时，边MN恰好与射线OC平行；第______s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；
(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC
之间的数量关系，并说明理由．
