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专题 02 图形的初步（2）（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=45°，则∠2的度数为
（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
2．如图，直线l∥AB，D为直线l上一点，∠1=58°，CE为∠ACD的角平分线，交直线l于点
E，则∠ACE=（ ）
A．29° B．51° C．61° D．122°
3．如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥AO，若∠A=43°，则∠CDE的度数为（ ）
A．86° B．94° C．68° D．43°
4．一个角的补角比这个角的6倍还大5∘，则这个角的大小为（ ）
A．15∘ B．25∘ C．35∘ D．45∘
5．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOE=111°，则∠AOC的度数为
（ ）A．69° B．45° C．42° D．37°
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．若a2=b2，则a=b
C．同位角相等 D．若a<b，则ac<bc
7．一副三角尺按如图所示位置放置，OP为公共边，量角器中心与点O重合，OA为0°刻度线．如果
三角尺一边OB与90°刻度线重合，那么边OC与下列刻度线重合的是（ ）
A．15°刻度线 B．30°刻度线 C．45°刻度线 D．75°刻度线
8．若AB∥CD，一对同旁内角∠1:∠2=2:7，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．70° C．100° D．140°
9．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（
）A．114° B．142° C．147° D．156°
10．如图，∠AOB=70°，OD平分∠BOC且∠COD=18°，则∠AOC的度数为（ ）
A．24° B．34° C．44° D．52°
11．如图，直线a∥b被直线c所截，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
12．如图所示，a∥b，∠1=158°，∠2=42°，∠4=50°．那么∠3=（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
13．如图，已知直线a、b被直线c所截．若a∥b，∠1=120°，则∠2的度数为（ ）A．50° B．60° C．120° D．130°
14．如图，AB//CD，∠1=65°，∠2=35°，则∠B的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
15．如图，直线a，b被直线c所截，若∠1=∠2，∠3=50°，则∠4的度数为（ ）
A．50° B．110° C．120° D．130°
二、填空题
16．如图①，点P是直线m外一点．如图②，在直线m上取一点Q，作直线PQ．以点Q为圆心，以
任意长为半径画圆弧分别交PQ和直线m于点A、B．再以点P为圆心，以AQ长为半径画圆弧CD
交PQ于点D，以点D为圆心，以AB长为半径画圆弧交CD与点E，过点P、E作直线n，则m//n
的理论依据是 ．
17．如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，
使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若
AF是三角形ABC的角平分线，则∠BED的度数为 ．18．如图，直线l与直线a，b相交，且a∥b，∠1=70°，则∠2的度数是 度．
19．将一个装有水的圆柱体杯子斜放在水平桌面上，当倾斜角α=37°时，其主视图如图所示．若该
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水杯的杯口宽度BC=6cm，则水面宽度EF= cm.(参考数据：sin37°= ，cos37°= ，
5 5
3
tan37°= )
4
20．如图，AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°，则∠D= 度．
21．将一把直尺和一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的位置摆放．若∠CDE=40°，则
∠BAF的大小为 度．
22．若∠A=39°，则∠A的余角是 _____度．
23．将△ABC按如图所翻折，DE为折痕，若∠A+∠B=130°，则∠1+∠2= ．24．如图，已知菱形ABCD的面积等于24，BD=8，则
（1）AC= ；
（2）点E，F，G，H分别是此菱形ABCD的AB，BC，CD，AD边上的点，且
BE=BF=CG=AH，则EF+GH= ．
25．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE,DF的反向延长
线交于主光轴MN上一点P．∠ABE=145°，∠CDF=150°，则∠EPF的度数是 ．
三、解答题
26．如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB，AE=CF．若∠B=∠D，
求证：
(1)DF=BE；
(2)DF∥BE．
27．如图，在△ABC中，点D是边AB上一点．请利用尺规作图法在边AC上求作一点E，使得
DE∥BC．（保留作图痕迹，不写作法）28．如图，OB平分∠AOC,OD平分∠COE．
（1）若∠AOC=70∘，求∠BOC的度数；
（2）若∠AOC=x（度），∠COE= y（度），求∠BOD的度数．
29．追本溯源题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
(1)如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，
请判断△BDE的形状，并说明理由．
(2)如图②，在 ▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线
于点F，交BC于点G．
① 图②中一定是等腰三角形的有__________．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
② 已知AB=3,BC=5，求CF的长．
30．如图，在四边形ABCD中，直线EF分别与AD，BC交于点E，F，与AC交于点O，
AB∥CD，∠B=∠D，EM平分∠≝¿．(1)尺规作图：作∠BFE的角平分线FN交AB于点N；（只保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：EM∥FN．
证明：∵AB∥CD，
∴ ，
在△ABC和△CDA中，
¿，
∴△ABC≌△CDA(AAS)，
∴ ，
∴AD∥BC，
∴∠≝=∠BFE，
∵EM平分∠≝¿，FN平分∠BFE，
1 1
∴∠MEF= ∠≝¿，∠NFE= ∠BFE，
2 2
∴ ，
∴EM∥FN．
小西进一步研究发现，两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线均有此特征，
请依照题意完成下面命题：
两条平行线被第三条直线所截， ．
31．如图，点E在BC的延长线上，连接DE，作∠CED的角平分线分别交线段AD，DC于点F，
点G，已知AB∥CD，AD∥BC．
(1)试说明∠BED=2∠DFE；
(2)若∠B=105°，∠DFE=28°，求∠CDE的度数．
32．如图，AC⊥BD于点C，F是AB上一点，FD交AC于点E，∠B与∠D互余．(1)试说明：∠A=∠D；
(2)若AE=1,AC=CD=2.5，求BD的长．
33．如图，在菱形ABCD中，AB=10，BD为对角线，点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE
交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
(1)求证∠DBG=90°；
(2)若BD=12，DG=2≥¿．
①求菱形ABCD的面积；
②求tan∠BDE的值．
(3)若BE=AB，当∠DAB的大小发生变化时(0°<∠DAB<180°)，在AE上找一点T，使GT为定值，
说明理由并求出ET的值．
34．如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，D是BC上一点，DF∥AB交AC于点F，BD=DF=AF，
DE⊥AB于点E. △
求证：（1）AD平分∠BAC；
（2）CF=BE.
35．已知，MN∥PQ，点A、点B分别在线段MN、PQ上．(1)如图1，点C在直线MN、PQ之间，求证∠ACB=∠NAC+∠QBC．
(2)如图2，分别过点A和点C作直线AG,CH，使AG∥CH，以点B为顶点作直角∠DBI，并且
∠DBI的两边分别与直线CH、AG交于点F和点E，则∠CFB+∠AEB=____________．（直接
写出角度和）
(3)如图3，在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBQ和∠CAM，并且∠ACB=106°，
求∠CFB的度数．
【能力提升】
36．已知，AB//CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，求∠AED的度数；
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之
间满足怎样的关系，请说明理由；
（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI:∠BAI=1:2，
∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．
37．如图， ABC中，AD是高，BE平分∠ABC．
△
（1）若∠EBC＝32°，∠1∶∠2＝1∶2，EF∥AD，求∠FEC的度数．
（2）若∠2＝50°，点F为射线CB上的一个动点，当 EFC为钝角三角形时，直接写出∠FEC的取
值范围． △
38．如图，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．(1)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0<n<90，且点C恰好落在DG边上时，请直接写出
∠1= °，∠2= °（结果用含n的代数式表示）；
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(2)在（1）的条件下，若∠2恰好是∠1的 倍，求n的值．
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(3)如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时
射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线
BM、QN均停止转动，设旋转时间为t(s)．在旋转过程中，是否存在BM∥QN若存在，求出此时
t的值；若不存在，请说明理由．
39．已知点B，D分别在AK和CF上，且CF∥AK．
(1)如图1，若∠CDE=110°，∠DEB=120°，则∠ABE的度数为_____；
(2)如图2，DG平分∠FDE，GD延长线与∠ABE的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，
求∠DEB的度数．
(3)点E为平面内直线AK与CF中间一点，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作DP∥BM，在图
3中画出图形，则∠PDN与∠DEB之间的关系是否改变，若不变，请求值；若改变，请说明理由．
40．已知AB∥CD，∠AEC=30°，点P在直线AE上，E为CD上一点，F为AB上一点．
(1)如图1，当点P在线段AE上运动时，连接FP，求∠BFP+∠FPE的值；(2)如图2，当点P在AE的延长线上运动时，连接FP，求∠BFP−∠FPE的值；
(3)如图3，当点P在EA的延长线上运动时，连接FP，求∠BFP−∠FPE的值．
