文档内容
专题 02 旋转与中心对称
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）旋转的定义
（1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫
做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示， 是 绕定点 逆时针旋转 得到的，其中点 与点 叫作对应点，线
段 与线段 叫作对应线段， 与 叫作对应角，点 叫作旋转中心， （或
）的度数叫作旋转的角度。
（2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
A'
B'
A
45°
O
B
（3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
（二）旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等;
旋转的 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
性质 (3)旋转前、后的图形全等
(4)旋转过后，常用等腰三角形性质
(1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角
度;
重点 (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相
解读 等;
(3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位
置（三）旋转作图
旋转作图 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
的依据 (2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点
(1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心.
(2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连
线为一边作一个旋转角.
(3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到
作图步骤 旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关
键点的对应点.
(4)接:按原图形顺次连接所得到的各点.
注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立
完成后,再进行下一个点的旋转
（四）中心对称的相关概念
（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这
两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作
关于对称中心的对称点.
如图， 绕着点 旋转 后，与 完全重合，则称 和 关于点 对称，
点 是点 关于点 的对称点.
A
D
O
B C
（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形
重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
（五）中心对称的性质
（1）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形.
（2）找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
模块三 考点一遍过
考点1：旋转的三要素典例1：如图，在正三角形网格中，将△EFG绕某个点旋转，得到△E′F′G′，则下列四个点中能作
为旋转中心的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式1】如图所示，在△ABC中，∠BAC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到，点A，B的
对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角∠ACD的度数是
（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【变式2】如图，A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，C点的坐标为(5,3)，D点的坐标为
(3,−1)，线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另
一条线段．
（1）旋转中心是 ，
（2）旋转角为 °．
【变式3】学习了《旋转》后，在数学实践活动课上，小明在如图所示的平面直角坐标系中将
△ABC绕某个点顺时针旋转一定度数后得到△A′B′C′，A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′，则该
旋转中心的坐标是 ，旋转角度是 °.考点2：利用的旋转的性质求解
典例2：如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，
且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CAE=∠BED B．AB=BD
C．∠ACE=∠ADE D．△ACE是等边三角形
【变式1】如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为斜边AB上一点，将
△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，则下列说法正确的有（ ）
①∠EAC=∠B；②CB=ED；③BD2+AD2=2CD2；④∠AED=∠ACD．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】如图， 将△ABC绕点A 顺时针旋转42°得到△ADE， 点B 的对应点 D恰好落在边BC
上， 则∠ADE= ．【变式3】如图，点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上，且∠MAN=45°．把△ADN绕点
A顺时针旋转90°得到△ABE．若BM=3,DN=2，则MN的长度为 ．
考点3：坐标系中的旋转作图
典例3：如图，已知△OAB的顶点的坐标分别为A(−1,−1)，B(1,−3)，将△OAB绕坐标原点O逆
时针旋转90°得到△OA B ．
1 1
(1)请画出对应的△OA B ；
1 1
(2)在x轴上存在一点P，使得PA+PB 的值最小，请直接写出点P的坐标_____．
1
【变式1】正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给
的直角坐标系中解答下列问题：(1)作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB C ，再作出△AB C 关于原点O成中心对称的
1 1 1 1
△A B C ．
1 2 2
(2)点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 ．
1 2
(3)求△A B C 的面积．
1 2 2
【变式2】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，
以点O为原点建立平面直角坐标系．
(1)将△ABC沿y轴向下平移4个单位得到△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A B C ，画出△A B C ；
2 2 2 2 2 2
(3)△A B C 可由△A B C 绕着点P旋转得到，点P的坐标是______．
2 2 2 1 1 1
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点均在格点上．(1)画出△ABO关于原点O对称的图形△A B O
1 1
(2)画出△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的图形△A B O，写出点B的对应点B 的坐标．
2 2 2
(3)求出（2）中B点旋转到B 点所经过的路径长（结果保留根号和π）
2
考点4：旋转与尺规作图
典例4：如图，在△ABC中，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D与点B对应，点E与
点C对应），点D恰好落在BC上．
(1)用尺规作出△ADE（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若∠ABC=65°，∠ACB=20°，DE交AC于点F，求∠EFC的度数．
【变式1】如图，点O为等边三角形ABC的中心，△BCE是以BC为斜边的直角三角形，且BE=CE．
（1）用尺规在直线AB的左侧作△ABD，使△ABD≌△BCE，保留必要的作图痕迹，不写作法；
（2）△ABD能否由△BCE绕点O按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角α（
0<α<180°）的度数；若不能，请说明理由．
【变式2】如图，在△ABC中，∠C=90°,∠A=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转固定角度后得到
△A′B′C，使得点B′在AB上，A′B′与AC交于点F.
（1）在给出的图形上用尺规作出△A′B′C；（要求：尺规作图不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：A′B′//BC.
【变式3】如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，将线段AD绕点A顺时针旋转α°(0<α<90)
得到线段AE，点E关于直线BD的对称点是点F，射线BF交线段AD于点G，连接BE，GE．
(1)当α=60时，依据题意用尺规补全图形，保留作图痕迹．
(2)求∠BEG的大小．
考点5：旋转的应用——规律
典例5：将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，顶点
A的坐标为 ，将 绕原点逆时针旋转，每次旋转 ，则第2024次旋转结束时，点A对
(1,√3) △OBA 60°
应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
(1,√3) (−1,√3) (−2,0) (−1,−√3)
【变式1】如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D(1,0)绕点A(0,1)逆时针旋转
90°得点D ，再将D 绕点B逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕点C逆时针旋转90°得点D ，再将
1 1 2 2 3
D 绕点D逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕点A逆时针旋转90°得点D ⋯依此类推，则点D 的坐
3 4 4 5 6
标是（ ）A．(−9,6) B．(−7,6) C．(−7,8) D．(−9,8)
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，
AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第101次旋转结束时，点
A的坐标为 ．
【变式3】已知：如图，等边三角形△OAB的边长为2√3，边OA在x轴正半轴上，现将等边三角形
△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为
．
考点6：旋转的几何综合
典例6：如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角
形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10．(1)在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D 转到其内的点D 处，连结D D ，
1 2 1 2
如图2，此时∠AD C=135°，CD =60，求BD 的长．
2 2 2
【变式1】[问题情境]如图1，E为正方形ABCD内一点，AE=5，BE=12，∠AEB=90°，将
Rt△ABE绕点A按逆时针方向旋转a度（0≤a≤180°），点B，E的对应点分别为点B′，E′．
[问题解决]
(1)如图2，在旋转的过程中，当点B′落在AC上时，求此时CB′的长；
(2)若a=90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′于点F，试判断四边形
AEFE′的形状，并说明理由；
(3)在Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段CE′长度的最大值．
【变式2】如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，当点B在线段
AD上，点C在线段AE上时，我们很容易得到BD=CE，不需证明．
(1)如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连接BD和CE，此时BD=CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
(2)如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在BC的延长线上，连接CE．若
AB=AC=2√3，CD=√6，求线段DE的长；
(3)若P为DE中点，连接BP，AB=AC=2√2，AD=AE=4√2，当△ADE绕点A逆时针旋转时，
BP最大值为m，最小值为n，则mn的值为______．
【变式3】某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形ABCD和正方形CEFG按照图1方式摆放，
点B，C，E在同一条直线上，点G在CD上．
(1)操作与发现
如图2，将正方形CEFG绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)．
①当α=59°48′时，求∠BCG，∠DCE，∠BCE的度数；
②正方形CEFG旋转过程中，你发现∠BCG与∠DCE的有何数量关系？∠BCE与∠GCD的有何
数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明．
(2)类比探究
如图3，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转β(0°<β<270°)．上面②中你发现的结论是否仍然成立？
请说明理由．
考点7：中心对称图形的识别
典例7：下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中．（1）轴对称图形有 （填序号）；
（2）中心对称图形有 （填序号）；
（3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）；
（4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）．
【变式3】给出下列5种图形：①平行四边形②菱形③正五边形、④正六边形、⑤等腰梯形中，既是
轴对称又是中心对称的图形有 个．
考点8：利用中心对称性质求解
典例8：如图，△ABC和△≝¿关于点O成中心对称，点A、B、C的对应的分别是点D、E、F．
(1)在图中找出对称中心O（保留画图痕迹）；
(2)若AB=7，AC=5，BC=6，求△≝¿周长．
【变式1】如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，若点E，F分别在GA、GC上，且AF=CE，
求证：BF=DE．
【变式2】如图，△ABC和△≝¿关于点O成中心对称．(1)找出它们的对称中心O；
(2)若AB=6，AC=5，BC=4，求△≝¿的周长；
(3)连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
【变式3】如图，△ABC与△≝¿关于点O成中心对称．
(1)画出对称中心O；（保留作图痕迹）
(2)若 BC=3，AC=4，AB=5，则△≝¿的面积= ．
考点9：坐标系中的中心对称
典例9：在平面直角坐标系中，已知点A(2a,a−b+2)，B(b,a+2)关于原点对称，则a，b的值是
（ ）
A．a=−1,b=2 B．a=1,b=2
C．a=−1,b=−2 D．a=1,b=−2
【变式1】点A(m−1,−2)与点B(3,n+1)关于原点对称，则m+n=（ ）
A．1 B．-1 C．-5 D．5
【变式2】在平面直角坐标系中，点A(m+4,−1)与点B(1,n−3)关于原点对称，则m+n的值为
．
【变式3】若点 与点 关于原点中心对称，则 ．
M(a−1,−4) N(−3,1−b) (a＋b) 2023=
