文档内容
专题 10 圆的基本性质（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD=128°，∠E=40°，则∠BDC的
度数是（ ）
A．16° B．20° C．24° D．35°
2．阅读材料：一般地，当α、β为任意角时，sin(α+β)与sin(α−β)的值可以用下面的公式求得：
sin(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ：sin(α−β)=sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβ根据以上材料，解
决下列问题：如图，在⊙O中，AB是直径，AB=√6+√2，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点
1
处，AD是半圆弧的 ，则CD的长为（ ）
3
√6+√2
A． B．√6−√2 C．2+√3 D．1
4
3．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝140°，求∠A．”小明的解答为：画△ABC
以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝140°，得∠A＝70°．而小刚说：“小明
考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．小刚说的不对，∠A就得70°B．小刚说的对，且∠A的另一个值是110°
C．小明求的结果不对，∠A应得40°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
4．如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( )
A．158° B．58° C．64° D．116°
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x−2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半
径为1的⊙O上两动点，且CD=√2，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积
的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
6．如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC=35°时，∠A的度数是（ ）．
A．65° B．60° C．55° D．50°
7．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，I为△ABC的内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD于I，
连接BD，则AB与BD的关系是（ ）A．AB=2BD B．AB=√2BD C．AB=√5BD D．AB=√3BD
8．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
9．如图，在⊙O中半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC=18°，则∠BAC=（
）
A．24° B．25° C．26° D．27°
10．如图，四边形ABCD内接于圆O，且AB、BC都是圆的内接正五边形ABCEF的边，则∠D的
度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．72°
11．如图，在扇形OAB中，点C为弧AB的中点，延长AC交OB的延长线于点D，连接BC，若
， ，则S 的值为（ ）
BD=4 CD=6 △DCB
S
△DAO2 2 10 7
A． B． C． D．
3 7 7 9
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD=70°，则∠AOC
的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
13．如图，正方形ABCD的边长为8，⊙O经过A，B两点，且与边DC相切于点M，若点M为DC
的中点，则⊙O的半径长为（ ）
17
A． B．3√3 C．3√2 D．5
2
14．如图，AB是半圆O的直径，点C、E是半圆上的动点（不与点A、B重合），且A´C=B´E，射
线AE，BC交于点F，M为AF中点，G为CM上一点，作∠GON=B´C，交BC于点N，则点C在
从点A往点B运动的过程中，四边形CGON的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．保持不变 D．一直减小15．PM，PN是⊙O的切线，B，C是切点，A，D是⊙O上的点，若∠P=44°，∠MBA=30°，
则∠D的度数为（ ）
A．98° B．96° C．82° D．78°
二、填空题
16．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，C为弧AB的中点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线
25 3
于点F，连接AC，若AC//DF，⊙O的半径为 ，BE= AE，则CE= ．
6 5
17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=121°，则∠BOD的度数为 ．
4
18．如图，已知直线y= x+4分别交x轴、y轴于点A，B，P是以C(2,0)为圆心，2为半径的圆上
3
一动点．求△PAB面积的最小值 ．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，直径AB=6，∠ADC=140°，则劣弧
BD的长为 ．
20．如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于点E，点F为⊙O上一点，点D关于CF的对称点G
恰好在直径AB上，连接CG，DG，AF，DB．
（1）若∠F=70°，AB=4，则A´D的长为 (结果保留π)．
（2）若DB=√6，AE：BE=5：1，则¿= ．
21．如图，在△ABC中，∠ABC=24°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，
若点E在BD的垂直平分线上，则∠C的度数为 ．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC到E且∠DCE=66°，则∠A的度数是 ．
23．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的
中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB=4m，CD=6m，则⊙O的半径长为 m．24．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝72°，则∠DCE＝ °．
25．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为A´N上一
点，且A´C=A´M，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①∠MAN=90°；②
1
A´M=B´M；③∠ACM+∠ANM=∠MOB；④AE= MF．其中正确结论的序号是 ．
2
三、解答题
26．如图，AB是⊙O的直径，半径为2，⊙O交BC于点D，且D是BC的中点，DE⊥AC于点
E，连接AD．(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)若∠C=30°，求BC的长．
27．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°.
（Ⅰ）如图①，若D为A´B的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP//AC，求∠OCD的大小.
28．如图， 已知四边形ABCD内接于⊙O， 对角线AC，BD交于点 E， AC=BD，AC⊥BD
．
(1)猜想∠ACB的度数， 并说明理由．
(2)若⊙O的半径为10，∠BCD=60°，求四边形ABCD的面积．
(3)若过圆心O作 OF⊥BC于点F，求证： AD=2OF．
29．在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙O与AB相交点D、E是BC的中点．
(1)判断ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为3，∠DEC=∠A，求D´C的长．
30．如图1，已知AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，D是弧BC上的动点（不含点B，C），连
接AC，作BE⊥射线CD于点E．(1)猜想∠BDE的度数，并说明理由
(2)连接OD，若OD∥AC，求证：CD=√2DE．
(3)如图2，作正方形OBFC，连接OE，EF，OE交BD于点G．若OG=√2GE，EF=√2，求BE
的长．
31．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
(1)求证：DE是⊙O的切线：
(2)若∠C=30°，CD=2√3，求阴影部分的面积．
32．如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥OC．
(1)求证：∠ACB+∠BOC＝90°；
(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长度．
8 17
33．如图1，在⊙O中，AB为直径，点C在圆上，tan∠A= ，AB= ，D是AB上一动点（与
15 2
点A、B不重合），DE平分∠CDB交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．(1)当点D与圆心O重合时，如图2所示，则DE= ；
(2)若CD2=CE⋅CB，试探究△BDE与△≝¿有何面积关系，并证明；
(3)当△CEF与△ABC相似时，求cos∠BDE的值．
34．如图，在 ▱ABCD中，连接AC，作△ABC的外接圆⊙O，AD是⊙O的切线，连接AO交
BC于点F，延长AO、DC交于点E．
(1)求证：AC=DC；
(2)若AD=8,AB=5，求AE的长．
35．已知⊙O的直径是4，弦BD=2√3，点F是弦BD上一动点，过点F作BD的垂线，交优弧BD
于点A、交劣弧BD于点E，连接AD，过点B作BG⊥AD分别交AF于点G、交AD于点H、交
⊙O于点C．
(1)当点F在弦BD的中点处时，在图1补全图，∠DAF=__________°，AG=__________；
(2)如图2，当点F在弦BD上运动时，线段AG的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，
求出AG的长度并说明理由．
(3)如图3，若BD的中点为点P，求线段PG长度的最小值．
【能力提升】
36．已知CD为⊙O的直径，A、B为⊙O上两点，点C为劣弧AB中点，连接DA、BA、AC，且
∠B=30°．(1)求证：∠D=30°；
(2)F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DF=AG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH，
请猜测AF与CH之间的数量关系，并证明．
37．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为E´B的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的
延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE=3，DE=1，DC=2，求⊙O的半径长．
38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O交AB于点F，
连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE，CE=BC．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若CD=2，BC=4，求AF的长．
39．如图，已知线段AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，AB⊥CD于点E，AE=7BE=7．
延长CD至点F，使EF=CE，连结AC，AF．G为线段DF上一点，分别延长CB，AG交于点H，
连结FH．(1)求证：△ACF是直角三角形．
FG
(2)当线段FH与△AEC的一边平行时，求 的值．
CG
(3)记AH与⊙O交于点P，当P为A´B的中点时，求AH的长．
40．已知：点C为⊙O的直径AB上一动点，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D和点E，连接AD、
BD，∠DBA的角平分线交⊙O于点F．
(1)若DF=BD，求证：GD=GB；
(2)若AB=2cm，在（1）的条件下，求DG的值；
AD+BD
(3)若∠ADB的角平分线DM交⊙O于点M，交AB于点N．当点C与点O重合时， =
DM
AD+BD
___________；据此猜想，当点C在AB（不含端点）运动过程中， 的值是否发生改变？若
DM
不变，请求其值；若改变，请说明理由．
