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专题 02 概率（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3的3个球，这些球除标号外其他都相同，甲、乙按先
后顺序从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球者胜出，则乙胜出的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 6 4 3
【答案】D
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与乙摸到1号球的结果数，
再根据概率公式计算可得．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中乙摸到1号球的有2种结果，
2 1
∴乙胜出的概率是 = ，
6 3
故选D．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用
到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．为了响应国家“双减”政策，某校在课后延时服务时段开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大
类兴趣课程．现学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，则恰好抽到
“器乐”和“戏曲”类的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 8 10 12
【答案】A
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】根据题意列出表格，一共得到12种等可能结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的2
种，再根据概率公式，即可求解．
【详解】解：设书画、器乐、戏曲、棋类四大类兴趣课程分别用A、B、C、D表示
根据题意列出表格，如下：A B C D
A BA CA DA
B AB CB DB
C AC BC DC
D AD BD CD
一共得到12种等可能结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的2种，
2 1
∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率是 = ．
12 6
故选：A
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解
题的关键．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．“顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件
B．“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是必然事件
C．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是不可能事件
D．可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生
【答案】A
【知识点】判断事件发生的可能性的大小、事件的分类、中点四边形、用数轴上的点表示有理数
【分析】本题考查了中点四边形，随机事件，平行四边形的判定，数轴，概率的意义，根据中点四
边形，随机事件，平行四边形的判定，数轴，概率的意义，逐一判断即可解答，熟练掌握这些数学
概念是解题的关键．
【详解】解：A、“顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件，故选项符
合题意；
B、“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件，故选项不符合题意；
C、“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是随机事件，故选项不符合题意；
D、可能性是50%的事件，是指这个事件发生的可能性是50%，故选项不符合题意；
故选：A．
4．不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球．从袋子中随机摸出2个球．下列事
件是必然事件的是（ ）
A．摸出的2个球中至少有1个红球 B．摸出的2个球都是白球
C．摸出的2个球中1个是红球，1个是白球 D．摸出的2个球都是红球
【答案】A【知识点】事件的分类
【解析】略
5．下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是6是必然事件 B．“射击
运动员射击一次，命中靶心”是随机事件
1
C．“明天降雨的概率为 ”，表示明天有半天都在降雨D．了解某型号电视机的使用寿命，适
2
合用全面调查的方式
【答案】B
【知识点】判断全面调查与抽样调查、事件的分类
【分析】本题考查了事件的分类，抽样调查的概念，掌握必然事件，随机事件，不可能事件的概念，
抽样调查的概念是解题的关键．
必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，
不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性
大小，抽样调查的概念判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是6是随机事件，原选
项错误，不符合题意；
B、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，正确，符合题意；
1
C、“明天降雨的概率为 ”，表示明天有50%的可能下雨，原选项错误，不符合题意；
2
D、了解某型号电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式，原选项错误，不符合题意；
故选：B ．
6．2024年4月11日，农历三月初三，在新郑市举办了一年一度的拜祖大典．海内外的炎黄子孙共
同拜祭始祖轩辕黄帝，祈祷中华民族繁荣富强．小明趁机制作了四张分别印有“繁”“荣”“富”
“强”字样，质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，打算用抽签的方式为国祈福．他从中随机抽取
一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“富”的概率为（ ）
2 1 1 1
A． B． C． D．
3 2 3 6
【答案】B
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“富”的情况有6种，
再由概率公式求解即可．
【详解】解：设“繁”“荣”“富”“强”分别为A、B、C、D，根据题意画图如下：共有12种等可能的情况数，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“富”的情况有6种，
6 1
则其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“富”的概率是 = ．
12 2
故选：B
7．如图，在4×4的正方形网格中，任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形
构成一个轴对称图形的概率是（ ）
3 5 4 6
A． B． C． D．
16 13 13 13
【答案】B
【知识点】根据概率公式计算概率、设计轴对称图案
【分析】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P(A)＝事件A可能出现的结果数与所有可
能出现的结果数的商是解答关键．
任选一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称
图形的有5个情况，利用概率公式求解．
【详解】解：根据题意得
因为根据轴对称图形的概念，轴对称血型两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，
而能构成一个轴对称图形的有5个情况，
5
所以使图中黑色部分的图形扔然构成一个轴对称图形的概率是 ．
13
故选：B．
8．学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高、跳远三个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 6 9 9
【答案】C
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查了列表法求概率，先列出表格得出所有可能出现的结果，进而得出符合条件
的结果，再根据概率公式计算即可．
【详解】列表如下：
小明 小
铅球 跳高 跳远
刚
铅球 铅球，铅球 跳高，铅球 跳远，铅球
跳高 铅球，跳高 跳高，跳高 跳远，跳高
跳远 铅球，跳远 跳高，跳远 跳远，跳远
一共有9种符合条件的结果，每种结果出现的可能性相同，符合条件的有1种，所以两人都选择铅
1
球项目的概率是 ．
9
故选：C．
9．下列说法正确的是（ ）
A．“两直线平行内错角相等”是假命题
B．函数y=2x经过第二象限是必然事件
C．调查某班同学的近视情况适合用普查
D．从全县3400学生中抽取150名调查了解寒假阅读情况，抽取的样本容量为3400
【答案】C
【知识点】事件的分类、判断全面调查与抽样调查、总体、个体、样本、样本容量、两直线平行内
错角相等
【分析】根据平行线的性质可判定A；根据函数y=2x经过第一、第三象限可判定B；根据数量较
少适且普查，可判定C；根据容量应为150可判定D．
【详解】解：A、两直线平行内错角相等是真命题，故此选项不符合题意；
B、函数y=2x经过第二象限是不可能事件，故此选项不符合题意；
C、调查某班同学的近视情况适合用普查，故此选项不符合题意；
D、从全县3400学生中抽取150名调查了解寒假阅读情况，抽取的样本容量为150，故此选项不符
合题意；
故选：C．【点睛】本题考查真假命题的判定，平行线的性质，必然事件、不可能事件的概念，正比例函数的
图象，调查方式的选择，样本的容量，熟练掌握相关概念与性质是解题的关键．
10．四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、矩形、菱形、正五边形，现从中随机抽取一张，
卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为（ ）
1 1 3
A． B． C． D．1
4 2 4
【答案】B
【知识点】中心对称图形的识别、根据概率公式计算概率
【分析】根据定义确定抽到的中心对称图形有矩形，菱形，利用概率公式计算解答．
【详解】解：∵等边三角形、矩形、菱形、正五边形中，是中心对称图形的有矩形，菱形，
2 1
∴现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为 = ，
4 2
故选：B．
【点睛】此题考查了概率的计算公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率=事件A可能出现的结果
数除以所有可能出现的结果数．
11．下列事件中，必然事件是（ ）
A．太阳从东方升起，西方落下 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．任意买一张电影票，座位号是单号 D．掷一次骰子，向上一面的点数是7
【答案】A
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了随机事件、必然事件和不可能事件，解题关键是需要正确理解必然事件、不可
能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条
件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事
件．据此逐项分析判断即可．
【详解】A. 太阳从东方升起，西方落下，是必然事件，符合题意；
B. 射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；
C. 任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，不符合题意；
D. 掷一次骰子，向上一面的点数是7，是随机事件，不符合题意．
故选：A．
12．将飞镖随意投掷在如图所示的靶子上，飞镖落在阴影部分的概率是（ ）5 3 1 1
A． B． C． D．
8 8 5 2
【答案】A
【知识点】几何概率、根据概率公式计算概率
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：圆形靶子被分成8个面积相等的区域，其中阴影部分区域为5个，
5
故飞镖落在阴影部分的概率是 ．
8
故选：A．
【点睛】本题考查几何概率的求法：一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积
在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
13．下列说法错误的是（ ）
A．必然事件的概率为1
B．数据1、2、2、3的平均数是2
C．数据5、2、﹣3、0的极差是8
D．如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖
【答案】D
【知识点】求一组数据的平均数、求极差、事件的分类、概率的意义理解
【详解】解：A．概率值反映了事件发生的机会的大小，必然事件是一定发生的事件，所以概率为
1，本项正确；
1+2+2+3
B．数据1、2、2、3的平均数是 =2，本项正确；
4
C．这些数据的极差为5﹣（﹣3）=8，故本项正确；
D．某种游戏活动的中奖率为40%，属于不确定事件，可能中奖，也可能不中奖，故本说法错误，
故选D．
14．在一个不透明口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4，充分摇匀后随机摸 出
一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为偶数的概率是（ ）
1 2 1 1
A． B． C． D．
3 3 4 5
【答案】A【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】根据题意先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中两次摸出的小球的标号的
和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为偶数的结果数为4，
4 1
所以两次摸出的小球的标号的和为偶数的概率为： = ．
12 3
故选：A．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，注意掌握利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
15．盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中随机抽出一
张后不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片都是奇数的概率为（ ）
1 2 1
A． B． C． D．0
3 3 2
【答案】A
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字全为奇数的有2种结果，
2 1
所以两次抽出的卡片上的数字全为奇数的概率为 = ，
6 3
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出
现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的
m
概率 ．
n
二、填空题16．从√2，0，−√3，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到的无理数的概率是 ．
3
【答案】
5
【知识点】简单的概率计算
【详解】分析：在5个数中找出无理数，再根据概率公式即可求出抽到无理数的概率.
详解：因为在√2，0，−√3，3.14，6这5个数中只有√2和−√3为有理数，
2
所以从√2，0，−√3，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是 .
5
2
故答案 .
5
点睛：本题主要考查有理数的基本概念和等可能性条件下的概率．此题考查了概率公式的应用.用到
的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
17．同时掷两枚质地均匀的骰子，则至少有一枚骰子的点数是6这个随机事件的概率为 ．
11
【答案】 ．
36
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出至少有一枚骰子的点数是6的结果数，然
后根据概率公式求解．
【详解】画树状图如图所示：
共有36种等可能的结果数，其中至少有一枚骰子的点数是6的结果数为11，
11
所以至少有一枚骰子的点数是6的概率= ．
36
11
故答案为 ．
36
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中
选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
18．小明要用如图的两个转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色），每个转盘均被等分成若
干个扇形，他同时转动两个转盘，停止时指针所指的颜色恰好配成紫色的概率为 ．1
【答案】
3
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】根据题意先列表，得出所有可能出现的情况数和配成紫色的情况数，再根据概率公式即可
得出答案．
【详解】根据题意列表如下：
白 蓝 红
红 （红，白） （红，蓝） （红，红）
蓝 （蓝，白） （蓝，蓝） （蓝，红）
上面等可能出现的6种结果中，有2种情况可能得到紫色，
2 1
故配成紫色的概率是 = ，
6 3
1
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出
所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意
概率=所求情况数与总情况数之比．
19．国学经典《声律启蒙》中有这样一段话：“斜对正，假对真，韩卢对苏雁，陆橘对庄椿 ”，现
有四张卡片依次写有“斜”、“正”、“假”、“真”，四个字（4张卡片除了书写汉字不同外其
他完全相同），现从四张卡片中随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率是 ．
1
【答案】
3
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上的汉字恰为相反意义的
结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】依据题意，画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的汉字恰为相反意义的有4种结果，
4 1 1
所以“抽到的汉字恰为相反意义”的概率为P= = ，故答案为： ．
12 3 3
【点睛】本题考查了利用概率公式计算事件A或事件B的概率．利用列表法或树状图法展示所有等
可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，是解题的关键．
20．如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB,AC,BC的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米
粒落在图中阴影部分的概率为
1
【答案】 /0.25
4
【知识点】几何概率、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查几何概率，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理，推出阴影三角形的
1
面积是△ABC面积的 ，即可得出结果．
4
【详解】解：∵点D，E，F分别为AB,AC,BC的中点，
1 1 1
∴DF= AC,DE= BC,EF= AB，
2 2 2
S
∴ 1 ，
△≝¿= S ¿
4 △ABC
S
∴ 1 ，
△≝¿:S = ¿
△ABC 4
S
∴米粒落在图中阴影部分的概率为 1 ；
△≝¿:S = ¿
△ABC 4
1
故答案为： ．
4
21．不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出 1
个球是白球的概率为 ．1
【答案】
3
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】
直接根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
2 1
随机从袋子中摸出1个球是白球的概率为 = ．
4+2 3
1
故答案为：
3
【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．
22．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 …
击中靶心次数(m) 8 17 45 92 182 453 …
m
击中靶心频率（
n 0.80 0.85 0.90 0.92 0.91 0.905 …
）
由此表估计这个射手射击1次，击中靶心的概率是 ．（保留一位小数）
【答案】0.9
【知识点】由频率估计概率
【分析】用频率估计概率即可．
【详解】解：从表中可以发现，随着射击次数的增加，击中靶心的频率越来越稳定．当射击次数为
500时，击中靶心的频率为0.905，于是可以估计这个射手射击1次，击中靶心的概率是0.9．
故答案为：0.9．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，解题关键是明确大量反复试验下频率稳定值即概率．
23．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果：
投篮的次数n 50 100 150 200 250 300 500
投中的次数m 28 60 78 104 123 152 251
投中的频率
m 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
n
这名球员投篮一次，投中的概率约是 （精确到0.1）．
【答案】0.5
【知识点】由频率估计概率【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.50附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.5．
故答案为：0.5．
24．小林掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有1、2、3、4、5、6，他把第一次
掷得的点数记为x，第二次掷得的点数记为y，则分别以这两次掷得的点数值为横、纵坐标的点
A(x,y)恰好在直线y=−2x+8上的概率是 ．
1
【答案】
12
【知识点】求一次函数自变量或函数值、列表法或树状图法求概率
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点B（x，y）恰好在直线
y=−2x+8上的情况，再利用概率公式求得答案．
【详解】解：列表如下：
第一次第二次 1 2 3 4 5 6
（1， （4，
1 （2，1） （3，1） （5，1） （6，1）
1） 1）
（1， （4，
2 （2，2） （3，2） （5，2） （6，2）
2） 2）
（1， （4，
3 （2，3） （3，3） （5，3） （6，3）
3） 3）
（1， （4，
4 （2，4） （3，4） （5，4） （6，4）
4） 4）
（1， （4，
5 （2，5） （3，5） （5，5） （6，5）
5） 5）
（1， （4，
6 （2，6） （3，6） （5，6） （6，6）
6） 6）
∵共有36种等可能的结果，点B（x，y）恰好在直线y=−2x+8上的有：（1，6），（2，4），
（3，2），
3 1
∴点B（x，y）恰好在直线y=−2x+8上的概率是： = ．
36 12
1
故答案为： ．
12
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注
意概率＝所求情况数与总情况数之比．25．有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正方形、圆，
将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 ．
4
【答案】
5
【知识点】中心对称图形的识别、根据概率公式计算概率
【分析】直接利用中心对称图形的性质结合概率求法直接得出答案．
【详解】∵等边三角形、平行四边形、矩形、正方形、圆中，平行四边形、矩形、正方形、圆都是
中心对称图形，
4
∴从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 ．
5
4
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查简单的概率计算，先判断哪些是中心对称图形再用概率公式计算时本题的解题思．
路
三、解答题
26．疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．甲、乙两位同学进校时
可以从学校大门A、B、C三个入口处中的任意一处测量体温．
(1)甲同学在A入口处测量体温的概率是 ；
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学从同一入口处测量体温进校的概率．
1
【答案】(1)
3
1
(2)
3
【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况数，然
后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：∵学校有A、B、C三个大门入口，
1
∴甲同学在A入口处测量体温的概率是 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）根据题意画出树状图：由图可知共有9种等可能情况，其中甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况有3种，
3 1
则P（甲、乙两位同学在同一入口处测量体温）= = ．
9 3
【点睛】此题考查的是列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到
的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
27．根据“五项管理”文件精神，成都某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学
生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以
上；B：60～90分钟；C：30～60分钟；D：30～60分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，
请你根据统计信息解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有 人；
(2)求扇形统计图中“D”层级的扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；
(3)全校约有学生1200人，估计“A”层级的学生约有多少人？
(4)学校从“A”层级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，请用树形图或列表法
求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)40
(2)72°，图形见解析
(3)180人
2
(4)
3
【知识点】列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计
总体的数量
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图等知识．
（1）由“C”层级的人数除以所占百分比即可；
（2）由360°乘以“D”层级的人数所占的比例得出扇形统计图中“D”层级的扇形的圆心角的度
数，再求出B”层级的人数，补全条形统计图即可；
（3）由全校的学生人数乘以“A”层级的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，再由概
率公式求解即可．
【详解】（1）接受问卷调查的学生共有：16÷40%=40（人)，
故答案为：40；
8
（2）扇形统计图中“D”层级的扇形的圆心角的度数为：360°× =72°，
40
“B”层级的人数为：40−6−16−8=10（人)，
补全条形统计图如下：
6
（3）全校约有学生1200人，估计“A”层级的学生约有：1200× =180（人)，
40
答：全校约有学生1200人，估计“A”层级的学生约有180人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
8 2
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 = ．
12 3
28．小聪和小明报名参加“第十四届西安市全运会”志愿者活动，他们将被随机分配到攀岩（A）、
滑板（B）、高尔夫（C）、马拉松（D）四个项目中承担工作任务．
（1）小聪被分配到高尔夫（C）项目工作的概率为 ．（2）若小明主动申请不到马拉松（D）项目工作，并得到了允许，请用画树状图或列表的方法，求
出小聪和小明被分配到相同项目工作的概率．
1 1
【答案】（1） ；（2）
4 4
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】（1）根据概率的意义求解即可；
（2）用树状图表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
【详解】解：（1）共4种可分配的可能性，其中分配到高尔夫（C）项目工作的只有1种，
1
因此小聪被分配到高尔夫（C）项目工作的概率为 ；
4
（2）根据题意画树状图如下：
共有12种等可能情况，其中小聪和小明被分配到相同项目工作有3种，则小聪和小明被分配到相同
3 1
项目工作的概率是 =
12 4
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回
实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
29．某单位在创建全国文明城市志愿者服务活动中，需要一名学生志愿者，小明和小丽都想参加．
小华为他们设计了一个游戏：在一个不透明的口袋中放入5个黑球和3个白球，每个球的形状和大
小都相同，充分摇匀后，小华随机摸出1个球，若是黑球，则小明去；若是白球，则小丽去．
(1)这个游戏公平吗？请说明理由；
(2)如果游戏不公平，怎样修改游戏才能使游戏公平？
【答案】(1)这个游戏不公平．理由见解析
(2)从口袋中拿出2个黑球（答案不唯一）
【知识点】游戏的公平性
【详解】解：（1）这个游戏不公平．理由如下：
从口袋中随机摸出1个球，共有8种等可能的结果，其中小明去的结果有5种，小丽去的结果有3种，5 3
所以小明去的概率= ，小丽去的概率= ．
8 8
5 3
因为 > ，所以该游戏不公平．
8 8
（2）从口袋中拿出2个黑球（答案不唯一）．
30．4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将
卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外
都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数．
(1)用列表法或树状图求这两个数的差为负数的概率；
(2)规定：当抽到的两个数的差为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．这个规定公平吗？如果不公平，
请设计一个公平的规定．
1
【答案】(1) ；
6
(2)不公平；设计规则：当抽到的两个数的差为负数时甲获胜，否则，乙获胜；
【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性
【分析】（1）根据题目所叙述的规则列出表，根据表中的信息，总结一共有多少种情况，其中两个
差为非负数的情况有多少种，并计算出概率即可；
（2）根据所列的表格可知，一共有12种情况，其中非负数占9种，所以可以计算出甲，乙获胜的
概率进行比较即可，跟就结果的具体情况设计一个公平的规则即可．
【详解】（1）解：根据题意可列出下表：
1 2 3 4
1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2
3 -2 -1 0 1
根据列表可知，一共有12种结果，其中差为负数的情况有两种，
2 1
故P= = ；
12 6
（2）解：不公平，理由如下：
根据（1）中的列表可知，一共有12种结果，其中差为非负数的情况有9种，故甲获胜的概率为
9 3 3 1
P = = ，乙获胜的概率为P = = ，甲获胜的概率更大一些，所以不公平，
甲获胜 12 4 乙获胜 12 4
设计规则：当抽到的两个数的差为负数时甲获胜；否则，乙获胜．
【点睛】本题考查概率统计，借助列表法或树状图法计算概率，能够根据题意列出表或画出树状图
是解决本题的关键．31．某校为了助力宣传“百千万工程”弘扬五华美食文化，特举办五华特色美食知识竞赛．为此该
校收集了五个当地美食图片（除正面图案外其余完全相同），依次记为A：酿豆腐，B：五华鱼生，
C：白切鸡，D：擂茶，E：横陂小炒，然后背面朝上，参赛的同学从中随机抽取一张来介绍该美食
文化．
A：酿豆腐 B：五华鱼生 C：白切鸡 D：
擂茶
(1)小麦抽到“A：酿豆腐”的概率为 ；
(2)若小英从中随机抽取一张卡片记录下名称后，将卡片放回洗匀，小涛再随机从中抽取一张卡片记
录下名称，请用列表或画树状图的方法求出他们抽取的美食相同的概率．
1
【答案】(1)
5
1
(2)
5
【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求
出事件A的概率．
（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先画出树状图展示所有25种等可能的结果数，再找出他们抽取的景点相同的结果数，然后根
据概率公式求解即可；
【详解】（1）解：从中随机抽取一张来介绍该景点，可能的结果有：A、B、C、D，E，则恰好选
1
到A的概率为 ；
5
（2）列表如下：
小涛小
A B C D E
英A (A,A()A,B)(A,C()A,D()A,E)
B (B,A)(B,B)(B,C)(B,D)(B,E)
C (C,A()C,B)(C,C)(C,D)(C,E)
D (D,A()D,B)(D,C()D,D()D,E)
E (E,A)(E,B)(E,C)(E,D)(E,E)
共有25种等可能的结果，其中他们抽取的美食相同的结果有5种，
5 1
∴他们抽取的美食相同的概率为 = ．
25 5
32．2020年疫情期间，某校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线
讨论，为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式的调查，调查结果制成两幅
不完整统计图如图，根据图中信息回答问题：
（1）本次调查人数有 人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线
学习方式的概率．
1
【答案】（1）100，72°；（2）见解析；（3） ．
4
【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率
【分析】（1）样本中“在线阅读”的人数有25人，占调查人数的25%，可求出调查人数；再求出
“在线答疑”所占整体的百分比即可求出相应的圆心角的度数即可；
（2）补全条形统计图即可；
（3）画出树状图表示所有可能出现的结果情况，进而求出甲、乙两个人选择同一种方式的概率．
【详解】解：（1）25÷25%=100（人），即本次调查人数有100人，
20
“在线答疑”的人数为100-40-25-15=20（人），在扇形图中的圆心角度数为360°× =72°；
100故答案为：100，72°；
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D表示，画
树状图如图：
共有16个等可能的结果，其中甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的结果有4个，
4 1
∴甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率为 = ．
16 4
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图等知识，理解两个统计图中的数
量关系，正确画出树状图是解题的关键．
33．某高中在开展“选科走班”教学改革之前，先进行调查：要求该校某班每位学生在思想政治、
化学、地理、生物4门学科中选择2门．将调查统计结果制成了两幅不完整的统计图．请根据以上
信息，回答下列问题：
(1)该班共有学生 人，扇形图中化学所对应扇形的圆心角为 度；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)求该班小华同学恰好选中化学和生物的概率．【答案】(1)45，72
(2)详见解析
1
(3)
6
【知识点】画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或
树状图法求概率
【分析】（1）根据选“地理”的人数和百分比可求出全班人数，先求出选择“化学”的人数，进而
可求得对应的扇形的圆心角；
（2）求出选择“化学”的人数，即可补全条形统计图；
（3）画树状图求出所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为化学、生物的结果有2
种，根据概率公式即可求解．
【详解】（1）解：全班人数为：9÷20%=45（人）
选择“化学”的人数为：45−15−9−12=9（人）
9
对应的扇形的圆心角为：360°× =72°
45
故答案为：45；72．
（2）补全条形统计图，如下图所示．
（3）把思想政治、化学、地理、生物分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示：
由上图可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为化学、生物的结果有2种：
(B,D)，(D,B)，
2 1
∴P（小华恰好选中化学、生物）= = ．
12 6
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息的关联，用树状图或列表法求概率等知识，从统计图获取有用信息和准确求概率是解题的关键．
34．某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周
的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图（如图）的信息回答下列
问题：
（1）本次调查的学生总数为 人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是 小时，众数是
小时；
（2）请你补全条形统计图，在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是 ；
（3）若全校九年级共有学生700人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？
（4）若学校需要，从二男二女四名同学中随机选取两人分享读后感，恰好是一男一女的概率？（列
表或树状图）
【答案】（1）50；4；5；（2）144°；见解析；（3）估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生
2
有56人；（4）见解析，
3
【知识点】求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率
【分析】（1）用阅读时间为3小数的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出阅读时
间为6小时的男生人数，然后根据中位数、众数的定义求解；
（2）先利用阅读时间为6小时的男生人数补全条形统计图，然后用360°乘以阅读时间为5小时的人
数所占的百分比得到课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数；
（3）用700乘以样本中阅读时间为6小数的人数的百分比即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式
求解．
【详解】（1）（6+4）÷20%＝50，
∴本次调查的学生总数为50人，
课外阅读时间为6小时的男生人数为50﹣10﹣16﹣20﹣3＝1，
∴被调查学生的课外阅读时间的中位数是4小时，众数是5小时；故答案为：50；4；5；
20
（2）课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数=360°× =144°，
50
补全条形统计图为：
故答案为144°；
4
（3）700× =56，
50
∴估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有56人；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好是一男一女的结果数为8，
8 2
∴恰好是一男一女的概率= = ．
12 3
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从
中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统
计图和中位数和众数．
35．为落实“双减”政策，学校通过各种丰富的校园活动，充实课后服务．某校为了解学生的课余
兴趣爱好情况，某调查小组设计了“A：阅读，B：打球，C：书法，D：舞蹈”四个选项，用随机抽
样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并将调
查结果绘制成如下不完整的统计图，根据图中的信息解答下列问题：(1)在这次调查中，一共调查了多少名学生？
(2)请把折线统计图补充完整；
(3)若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课后兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选
中项目A和D的概率．
【答案】(1)200名
(2)补图见解析
1
(3)
6
【知识点】列表法或树状图法求概率、由扇形统计图求总量、折线统计图
【分析】（1）由统计图可知，C组调查了30人，占15%，根据总调查人数为30÷15％计算求解即
可；
（2）根据占比20％求出B组的人数，作差求出A组的人数，然后补全折线统计图即可；
（3）根据题意画树状图，找出恰好选中项目A和D的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由统计图可知，C组调查了30人，占15%，
∴总共调查了30÷15％=200（人），
∴在这次调查中，一共调查了200名学生．
（2）解：由题意知，B的人数为：200×20％=40（人），
A的人数为：200−40−30−50=80（人），
补全折线统计图如下：（3）解：由题意知，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好选中项目A和D的结果有2种．
2 1
∵ = ，
12 6
1
∴恰好选中项目A和D的概率为 ．
6
【点睛】本题考查了折线统计图，扇形统计图，列举法求概率等知识．解题的关键在于从折线统计
图，扇形统计图中获取正确的信息．
【能力提升】
36．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基
准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通
事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表
浮动因素 浮动比率
A 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%
1
A 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%
2
A 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%
3
A 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0%
4A 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10%
5
A 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%
6
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌
同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类
A A A A A A
型 1 2 3 4 5 6
数
10 5 5 20 15 5
量
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．求某同学家的一
辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字）
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为
事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元；
①若该销售商购进两辆（车龄已满三年）该品牌二手车，第一辆经鉴定为非事故车，求第二辆车是
事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数．
【答案】(1)942元
1
(2)① ②50万元
3
【知识点】求加权平均数、根据概率公式计算概率
【分析】（1）根据加权平均数计算解题即可；
（2）①从60辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有20辆，可直接得
出第二辆车为事故车的概率；
②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，根据题意求得的可能取值和对应的概率后，可得的
平均值，最后求购进100辆车获得利润的平均费用再乘以100即可．
【详解】（1）解：
950×0.9×10+950×0.8×5+950×0.7×5+950×20+950×1.1×15+950×1.2×5
≈942元，
60
答：在第四年续保时的平均费用约为942元；
（2）①解：由题意得到从60辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有
20辆，
20 1
∴任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为 = ；
60 3②一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，获得利润的平均数为：
1 2
(−5000× +10000× )×100=50万元．
3 3
【点睛】本题考查加权平均数的计算，列举法求概率，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
37．为实施“精准扶贫”政策，西昌市某校随机抽取了一部分班级对“建档立卡家庭户”的学生人
数情况进行了统计，发现各班“建档立卡家庭户”学生的人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6
名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）求班上有3名“建档立卡家庭户”的学生的班级所占圆心角，并将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有80个班级，请你估计该校共有多少名“建档立卡家庭户”的学生?
（3）某爱心人士决定从只有2名“建档立卡家庭户”学生的这些班级中，任选两名进行生活资助，
请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名“建档立卡家庭户”的学生来自同一个班级的概率．
1
【答案】（1）54°，图见解析；（2）320；（3）P(A)=
3
【知识点】画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率
【分析】（1）根据6名学生的班级个数及百分比求出班级数量，再利用公式求出有3名“建档立卡
家庭户”的学生的班级所占圆心角，再计算出有2名学生的班级数即可绘制条形图；
（2）利用公式求出平均数，再乘以80即可得到答案；
（3）列树状图（或列表）解答.
【详解】解：（1）抽查的班级数量：4÷20%=20（个）
3
有3名学生的班级所占圆心角： ×360°=54°
20
有2名学生的班级数：20−2−3−4−5−4=2（个）
如图所示：（2）每个班级“建档立卡家庭户”的平均数：
1
×(2×1+2×2+3×3+4×4+5×5+4×6)
20
1
= ×80
20
=4
4×80=320（名）
答：该校共有320名“建档立卡家庭户”的学生；
（3）设第一个班的两名学生为a ，a ，第2个班的两个学生为b ，b ，
1 2 1 2
列树状图如下：
（列表如下：）
第1名
a a b b
1 2 1 2
第2名
a (a ,a )(b ,a )(b ,a )
1 2 1 1 1 2 1
a (a ,a ) (b ,a )(b ,a )
2 1 2 1 2 2 2b (a ,b )(a ,b ) (b ,b )
1 1 1 2 1 2 1
b (a ,b )(a ,b )(b ,b )
2 1 2 2 2 1 2
共有12种可能，其中2名“建档立卡家庭户”的学生来自同一个班级有4种可能，设2名“建档立
卡家庭户”的学生来自同一个班级为事件A
4 1
∴P(A)= = .
12 3
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部
分占总体的百分比大小，会列树状图或列表求事件的概率.
38．寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下：
①棋盘为正五边形ABCDE．一跳棋棋子从点A开始按照逆时针方向起跳．从点A跳到点B为1步．
从点B跳到点C为1步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定：
②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点A，就算完成了一次操作：
③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点A，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到
相应位置，不论是否回到点A．都算完成了一次操作．
（1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到A点的概率为___．
（2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到A点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分
析过程）
1 7
【答案】(1) ；(2)
6 31
【知识点】列举法求概率、列表法或树状图法求概率
【分析】（1）根据题意得出掷出5时可以回到点A，从而利用概率公式计算；
（2）树状图法画出所有情况共31种，得出符合要求的情况共有7种，再运用概率公式计算.
【详解】解：（1）∵掷一次骰子所得到的点数可能为1、2、3、4、5、6，其中，掷出5时可以回到点A，
1
∴只掷一次骰子，就使棋子跳回到A点的概率为 ；
6
（2）若要经一次操作， 使得棋子跳回到A点，
则①第一次就掷出5，
②两次掷出的数字分别为：1和4，2和3，3和2，4和1，4和6，6和4，
画树状图如下：
共有31种情况，其中满足一次操作，使得棋子跳回到A点的情况有7种，
7
∴经一次操作， 使得棋子跳回到A点的概率为 .
31
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解游戏规则，找出总的情况下数和
符合要求的情况数.
39．在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它
在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下．
（1）试问小球通过第二层A位置的概率是多少？
（2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C
位置处的概率各是多少？
1 3 1
【答案】（1） （2） ，
2 8 4
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【详解】方法1：①∵实心小球在碰到菱形挡块时向左或向右下落是等可能性的∴经过一个菱形挡块
后向左或向右下落的概率各是原概率的一半． 1分1 1 1
画树状图可知，落到A点位置的概率为 + = ．··············· 4分
4 4 2
1 1 3
②同理可画树状图得，落到B点位置的概率为 + = ．············ 8分
4 8 8
1 3 1
③同理可画树状图得，落到C点位置的概率为 + = ．··········· 12分
16 16 4
（注：①中画图1分，算出概率2分．②、③中画图2分，算出概率2分．）
方法2：（1）∵实心小球碰到每个菱形挡块时向左或向右是等可能性的，因此小球下落到A的可能
性会有以下的途径｛左右，右左｝两种情况，······························ 1分
而下落到第二层，共｛左左，左右，右左，右右｝四种情况············ 2分
2 1
由概率定义得P(A)= = ························· 4分
4 2
（2）同理，到达第三层B位置会有以下途径｛左右右，右左右，右右左｝三种情况
······································ 5分
而下落到第三层共有｛左左左，左左右，左右左，左右右，右左左，右左右，右右左，右右右｝八
种情况 6分
3
由概率定义得P(B)= ··························· 8分
8
（3）同理，到达第四层C位置会有｛左左左右，左左右左，左右左左，右左左左｝四种情况 9分
而下落到第四层共有｛左左左左，左左左右，左左右左，左右左左，右左左左，左右左右，左右右
左，左左右右，右左左右，右左右左，右右左左，右右右左，右右左右，右左右右，左右右右，右
右右右｝共16情况 10分
4 1
由概率定义得P(C)= = ························ 12分
16 4
方法3：本题也可用贾宪三角方法，先算出小球下落路径条数，如下图．由题意知：小球经过每条
路径的可能性相同．2 2 1
由概率定义易得P(A)= = = ，（其中画图2分，算出概率2分）···· 4分
1+2+1 4 2
3 3
P(B)= = ，（其中画图2分，算出概率2分）············ 8分
1+3+3+1 8
4 4 1
P(C)= = = ．（其中画图2分，算出概率2分）······· 12分
1+4+6+4+1 16 4
（注：其它方案正确，可参照上述方案评分！）
把每一层的菱形看做一步，经过几层就看做几步画树状图，概率为在此点可能的概率相加．得到每
1
一个菱形处向左或向右的概率均为 ，经过某点的概率为该点处的两个概率相加是解决本题的关键．
2
40．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，
可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500
元，三年后如果备件多余，每个以a元（a>0）回收．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损
零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如下频数分布直
方图：
记x表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）以100台机器为样本，请利用画树状图或列表的方法估计x不超过19的概率；
（2）以这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为决策依据，在n=19与n=20之中选其
一，当a为何值时，选n=19比较划算？
5
【答案】（1）树状图见解析， ；（2）当0
