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专题 05 特殊三角形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=6，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积
是（ ）
A．6√3 B．9√3 C．18√3 D．36
2．如图，点A的坐标为(0,4)，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°
得到线段AC．若点C的坐标为(m,6)，则m的值为（ ）
8 8 10 10
A． √3 B． √21 C． √3 D． √21
3 3 3 3
3．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM=CN，连
BM、BN，当BM+BN最小时，则∠MBN=（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．如图，在△ABC中，∠CAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC，点F是AB边的中点，则
DF=（ ）5 5
A． B． C．2 D．1
4 2
5．如图，在等腰直角ΔDEF中，∠EDF=90∘，点M为EF上一点，连接DM，以D为直角顶点作
等腰直角ΔMDN，连接NE,MN交DE于点Q，若MQ=NQ+DQ，则∠MNE的度数为（ ）
A．90∘ B．75∘ C．60∘ D．45∘
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AB、AO的中点，连接
EF、BF．若AF=1,AE=√3，则FB的长为( )
A．3√2 B．2√2 C．7 D．3
7．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=√6，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△
AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长是（ ）
3
A．3−√3 B． C．√3−1 D．√3
2
8．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三
边a，b，c满足c>a>b，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形CBFG、正方形HDEF、正方
形ABEJ，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若a+b=7，四边形ABFK
与△DEL面积之和为7，则正方形ABEJ的面积为（ ）A．49 B．28 C．21 D．14
9．如图所示，Rt△ABC中AB边在数轴上，若BC=3，则以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交
数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A．3 B．4 C．3或−5 D．4或−6
10．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（ ）
1 √5 2√5
A． B． C． D．2
2 5 5
11．如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=4，DA=2√6，且∠ABC=90°，则四边
形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．1+2√2 C．2+4√2 D．1+√2
12．如图，已知正方形OABC的顶点A(2,0),C(0,2)，D是AB的中点，以顶点O为圆心，适当长为
1
半径画弧，分别交OC,OD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧
2
交于点G，作射线OG交边BC于点H，则点H的坐标为（ ）A． B． C．(4 ) D．
(4−√5,2) (3−√3,2) ,2 (√5−1,2)
3
13．如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝4，AC＝3，D是A´B的中点，CD与AB相交于
点P，则CP的长为（ ）
√5 3 7 3√5
A． B． C． D．
2 2 2 2
14．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1，AB=10，则CD的长为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
15．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接
EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②PD=√2EC；③∠PFE=∠BAP；④
PB2+PD2=2PA2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个ABCD
∵四边形 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边PGBE是矩形，四边形PECF是矩形，
∴PG=BE，PE=BG=CF，PF=CE，∠BGP=90°，∠PFC=90°， GF∥BC，
∴∠AGP=90°，∠PFD=90°，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP=PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB−GB，FP=GF−GP=AB−GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
∴AP=EF，故①正确，∠PFE=∠GAP，
∴∠PFE=∠BAP,PG=PE，故③正确，
二、填空题
16．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC=45°，若PC2+PD2=32，则⊙O的
半径为 ．
17．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF、EF与AC交于点O．若AE=5，
BF=3，则AC的长为 ．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于
1
AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若
2
AB=BD=2，则△ACD的面积为 ．
19．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，水面
宽AB为8m，则输水管的半径为 m．
20．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,BC=9,AC=3，点D是BC上的一点，且
BD:DC=3:1，则tan∠CAD= ．
21．如图，△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D为边AB上一动点（不与A、B重合），⊙D与
BC切于E点，E点关于CD的对称点F在△ABC的一边上，则BD= ．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分
别用S ，S ，S 表示．若S =10，S =3，则S 的值是 ．
1 2 3 1 3 2
23．如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC≌△ADC，有下列结论：①
∠AOD=90°；②CB=CD；③DA=DC；④AC垂直平分BD．其中正确结论的序号是 ．
24．如图，在直角梯形ABCD中，AB=BC=4，M为腰上一点，且△ADM为等边三角形，则
S ．
△CDM =
S
△ABM
25．如图，在四边形ABCD中和，AB=BC=6，∠ABC=60°，∠ADC=90°．对角线AC与BD
相交于点E，若BE=3DE，则ED= ．
三、解答题
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）请用尺规作图法，在BC边上求作一点P，使PA=PB（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接AP，若∠ABC=30°，BC=5，求AP的长度．
27．如图，△ABC中，AB=AC=4√3，∠A=30°，C A′从CA开始绕点C逆时针旋转α角
(0°<α<150°)，与射线AB相交于点E，∠AC A′的角平分线所在的直线交射线AB相交于点D，连
接A′D．
(1)求证：A′D=AD；
(2)若△A′DE为轴对称图形时，求α；
(3)当A′E、A′D、DE的中垂线的交点落在△A′DE的某一边上时，直接写出点D到AC的距离．
28．如图，已知△ABC中，AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm，动点P从点C出发，沿着△ABC的
三条边逆时针走一圈回到C点，速度为2cm/s，设运动时间为t秒．
(1)t为何值时，AP平分∠CAB？
(2)求当t为何值时，△ACP为等腰三角形？
(3)若P出发时，同时另有一点Q，从点C开始，按顺时针方向运动一圈回到点C，且速度为每秒1cm．
当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．是否存在某一时刻，直线PQ将△ABC的周长
分成相等的两部分？若存在，求t的值，若不存在，说明理由．29．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=PB=1，∠APB=150°，以BP为边在BP右下
侧作等边△BPQ，连接CQ．
(1)求证：△BQC≌△BPA；
(2)PC=______．
30．在等边△ABC中，点D，E分别是BC,CA延长线上，且CD=AE，连结AD与BE．
(1)求证：BE=AD．
(2)当∠D=45°，AB=2时，求CD的长．
31．如图，△ABC和△BDE是两个全等的Rt三角形，BD与AC交于F，∠BAC=∠DBE=30°，
若√3CF=√5EF，请回答以下问题：
(1)求证△≝∽△ABC；
DF
(2)求 的值．
DE
32．如图1，△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，等边三角形△DCE，
顶点D从O点出发，沿以每秒1单位的速度在射线OM上运动，且点D不与点A重合，设运动时间为
t(s)，连接BE．(1)如图1，当0≤t<6时，求证：△DCA≌△ECB；
(2)如图2，当6<t<10时，此时△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE 的最小周长，
若不存在，请说明理由．
33．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC，D为BC上一点，且D到A，B两点的距离相等．
(1)用直尺和圆规作出点D的位置；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连结AD，若AC=3，BC=9，求CD的长．
34．如图：已知在平面直角坐标系中，OADC是矩形，OA=2，OC=5，点P是边AD边上一动点，
联结 ，将四边形AOCP沿 所在直线翻折，落在 的位置，点A、B的对应点分别为点
CP CP EFCP
˙ ˙ ˙ ˙
E、F，边CF与边AD的交点为点G．
(1)当P坐标为(2,2)时，求G点坐标，和直线CF的解析式．
(2)过G作GH⊥PC交OC于H，若P(x,2)；H(y,0)，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义
域；
(3)联结OP并延长与线段CF交于点M，当△PGM时以MG为腰的等腰三角形时求P点坐标．
35．如图，在等边△ABC中，点D、点E分别在BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE相交于点
F．(1)求∠AFE的度数；
(2)连接FC，若∠AFC=90°，BF=3，求AF的长．
【能力提升】
36．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时30km的速度向南偏
东60°的OB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？
37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分
∠ABC．
(1)求∠A的度数；
(2)若CE=1，求AB的长．
38．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点D；以
点B为圆心，BD长为半径画弧，交线段BC于点E．
(1)当∠B=30°时，点D （填“在”或“不在”）线段BC的垂直平分线上；(2)若AC=8，BC=15，判断点E是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
39．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一动点，
边DE与AC相交，AB=17．求证：
(1)求证：∠EAC=∠B；
(2)若BD=5，求DE的长；
(3)在点D的运动过程中，求DE的最小值．
40．如图①，D是∠ABC平分线上一点，点E、F分别在射线BA和射线BC上．
(1)若∠EBF与∠EDF互补，求证：DF=DE．
(2)反过来，如果DF=DE，那么∠EBF和∠EDF一定互补吗？如果是，简述理由；如果不是，请
在图②中画出反例．
(3)若∠ABC=60°，BD=4，DE=DF．点F的个数随着点E的位置变化而变化．请直接写出点F
的个数及对应的BE的长的取值范围．填空：当BE____________时，点F有1个；当
____________________时，点F有2个．
