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2025-2026学年度期中考试
高一数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．已知幂函数 的图象经过点 ， ，则 （ ）
A． B．3 C．6 D．9
4．在同一坐标系中，函数 与 的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于 轴对称
C．关于x轴对称 D．关于直线 对称
5．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数 的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（ ）A． B．
C． D．
8．已知正实数x，y满足 ，且使得不等式 恒成立，则实数 的最小值
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
A．若 ，则
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．若 ，则ac＞bc
D． 的充要条件是
11．已知函数 与 的定义域均为 ，若 为奇函数，且
在 上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的最小值为0
试卷第2页，共3页C． D．若 ，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．某中学高一（1）班有学生55人全部参加数学和物理奥赛，其中数学奥赛获奖31人，
物理奥赛获奖29人，还有3人两项都没获奖，则两项奥赛都获奖的有 人．
13．已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，
顾客支付款不超过100元的部分按照 返现，超过100元的部分按照 返现.若促销活
动期间在该店铺购买 件商品，所需费用（支付款减去返现）为 元，则
时， .
14．形如 的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性
质：该函数在 上单调递减，在 上单调递增.已知函数 在
上的最大值比最小值大 ，则 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知集合 ， ， ．
(1)求 ；
(2)求 ，
16．（15分）（1）当 时，求 的最大值；
（2）已知正数 满足 ，求 的最小值，并求出此时 的值；
（3）已知正数 满足 ，求 的最小值，并求出此时 的值．
17．（15分）函数 为定义在 上的奇函数， 已知当 时， .
(1)当 时，求 的解析式；(2)判断 在 上的单调性，并利用单调性的定义证明；
(3)若 ，求a的取值范围．
18．（17分）已知二次函数 ．
(1)若不等式 的解集为 ，求a和b的值；
(2)若 ．
（i）解关于x的不等式 ；
（ⅱ）若对任意 恒成立，求x的取值范围．
19．（17分）（1）已知， ，求证： ；
（2）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：
．
①证明糖水不等式；
②已知 是三角形的三边，求证： ．
试卷第4页，共3页参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C D C B D A D AD BC ABC
12． 13. 14． 或
15．（1） ....................2分
，...............................4分
所以 ．..............................................6分
（2）因为 ， ,
所以 ，...........................................8分
又 ，所以 ．............................10分
由（1）知 ，
...........................13分
16．（1）已知 ，则 ，那么 .
，
根据基本不等式因为 ，所以 ，..........................3分
当且仅当 时等号成立.
那么 ，所以 .
由 ，即 ，解得 或 （舍去 ，因为 ）.
因此，当 时， 取得最大值 ............................5分（2）已知 ，则 .故原式= ...............8分
根据基本不等式因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立.
那么 ，
由 且 ，联立方程组 ，解得 ，
因此，当 时， 取得最小值 ............................10分
（3）因为 ，...........................13分
因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立.那么 ，
由 且 ，联立方程组 ，解得 .
因此，当 时， 取得最小值4............................15分
17．（1）当 时， ，则 ，..........................2分
因为函数为奇函数，所以 ，
答案第2页，共2页即 时， 的解析式为 ；...........................5分
（2） 在 上的单调递增，
证明:
任取 ， ，且 ，则
，..........................8分
因为 ， ，且 ，所以 ， ， ，
则 ，即 ，
所以 在 上的单调递增；...........................10分
（3） 在 上的单调递增，且函数 为 上的奇函数，故 为 上
的增函数.
由 ， ，...........................13分
于是 ，解得 ，即所求为 ............................15分
18．（1）由题意得， ，1是方程 的两根，
则 ，解得 ．.........................5分
（2）（i）若 ，则 ．
当 时， ，则不等式 的解集为 ；........................7分
当 时， ，则不等式 的解集为 ；..................................9分当 时， ，则不等式 的解集为 ．...........................11分
（ⅱ）若 ，则 ．
令 ，则 在 上恒成立，.......................14分
所以 ，即 ，
解得 或 ，
即x的取值范围为 ．....................................................17分
19．（1）
，.......................2分
将三式相乘得， ，
当且仅当 ，时等号成立．.......................5分
① ，.......................8分
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．.......................11分
②因为 是三角形的三边，所以 ，
由（1）知 ，.......................13分
同理 ，
答案第4页，共2页所以 ，.......................15
分
又 ．
所以 ，
所以原不等式成立．.......................17分
