高一数学答案_2025年02月试卷_0223浙江省温州市浙南名校联盟2024-2025学年高一下学期2月开学考试_浙南名校联盟2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题（PDF版，含答案）

2024 年学年第一学期浙南名校联盟返校联考
高一年级数学学科参考答案
命题：永嘉中学 倪阿亮 李艳丹
审稿：苍南中学 苍南中学 徐贤安
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
A A D C D B C D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9 10 11
BD ACD AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
1
12. 13.1 14.  ，1 
2
四、解答题:本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（1）x2 3x20  x1  x2  0 A  1,2  ；.....................2分
 
x1  x1 x0
 
0   B  0,1 ........................................4分
x  x0
 
所以AB  0,2 ..........................................................6分
（2）记 f  x  x2 2xm，因为C  AB    ,0    2,  ，.............9分
R
 
f 0 0
 
C AB C，故 ，所以m0................................13分
R f  2  0
16.（1） f(x)在定义域(0,)上单调递增， …………………………………………2分
证明如下：任取x ,x (0,)且x  x ，
1 2 1 2
1 1 x  x
f(x ) f(x ) x 2  x 2    x x  x x   1 2 ， …………4分
1 2 1 2 1 2 1 2
x x x x
1 2 1 2
又x  x 0，则x x 0，x x 0， x  x 0，
2 1 1 2 1 2 1 2
1所以 f(x ) f(x )0，即 f(x ) f(x )，
1 2 1 2
即 f(x)在定义域(0,)上单调递增. ………………………………………6分
 
（2）令t  f(x),x 1,4 ，
31
 
又 f(x)在 1,4 上单调递增，则t[0, ]，
2
31
即方程在kt2 tk10在t[0, ]上有解. ………………………………………9分
2
解法1：①当t 1时，此时不成立； ……………………………………………11分
 
 31 1t 1
②当t 1，即t 0,1 1,

时，k   ，
 2  t2 1 t1
1  2 
 
又 ,  1, ，

t1  29
 2 
 
所以k,  1, . ………………………………………………………15分
 29
解法2：令g(t)kt2 tk1，
 31
因为g(1)0， 1 0, ……………………………………………11分
 
 2 
31
所以若g(t)kt2 tk1在t[0, ]在上有零点.
2
31
所以g(0)g( )0
2
29
化简得(1k)( k1)0，
2
 2 
 
即解得k,  1, . ……………………………………………………15分
 29
17.(1)以圆心O原点，建立如图所示的坐标系，
π
则以Ox为始边，OB为终边的角为θ ，故点B坐标为
2
    
5cos ,5sin ..........................3分
 
  2  2
2 
h65sin 65cos..........................6分
 2
2 
（2）300秒转动一圈，所以该摩天轮转动的周期T 300(s)，所以其转动的角速度是  ，
300 150
t t
故ts转过的弧度数为 ，∴ ，..........................9分
150 150
t
 
∴h65cos t 0, ．
150
t t t
令65cos 11，得cos 1，所以 2k,kZ ，.............12分
150 150 150
解得t 150300k,kZ，令k 1，得t 450s
∴该车厢第2次到达最高点时，用的时间为450s.................................15分
18.（1）由 f(x)为奇函数，得 f(x) f(x)0， ……………………………………2分
代入计算可得a 1. ………………………………………………………2分
2 2
（2）由（1）可得， f(x)log ( 1)，令t  1，
1 x1 x1
3
2 y log t
由t  1在(1,1)上单调递减， 1 在 (0,) 上单调递减，
x1
3
2
所以 f(x)log ( 1)在(1,1)上单调递增， ……………………………………8分
1 x1
3
又 y  x在(1,1)上也单调递增，
所以 在(1,1)上单调递增， …………………………………………10分
y  f(x)x
由 f(x)的定义域为(1,1)得，1 x11，
所以g(x) f(x1)x的定义域为(0,2)， ……………………………………12分
又g(x)g(2x)2，则g(2x)2g(x)，
则g(x)g(2x2)2可转化为g(2x2) g(2x)， ……………………………14分
因为g(x)在(0,2)上单调递增，
3 
所以02x2x2 2，解得x 0,1 ，
 
即不等式的解集为 x|0 x1 . ………………………………………………………17分
ex ex ey ey exy exy exy exy
19.（1）由于sinh  x  cosh  y     ；.....1分
2 2 4
ex ex ey ey exy exy exy exy
cosh  x  sinh  y     ；所以
2 2 4
         
sinh x y sinh x cosh y cosh x sinh y .................................3分
sinh  x  e2x 1 2  5
（2）考虑函数h  x   sinx sinx1 sinx，在x , 上单调
cosh  x  e2x 1 e2x 1  2 6  
递增，................................................................... 5分
5
5 1 2 e 3 3
 2 h    5
h  2    e1 0，  6  2   e 5 3  1  2  e 5 3  1 ,因为 e 3 3e3 30 ，
   
   
sinh  x   5
 
所以由零点存在定理，函数h x  sinx在 , 上有且仅有1个零点 ....7分
   
cosh x 2 6 
ex ex
（3）由x  x  x ，知a 0，cosh  x   1，所以c1...................8分
1 2 3
2
ex ex
考虑 cosh  x  c c0 ， e2x 2cex 10 ，因为存在两个零点 x  x ，所以
1 2
2
   
 c2 10 ，x ln c c2 1,x ln c c2 1 ...........................10分
1 2
aex aex
同理asinh  x  c c0，ae2x 2cex a 0，
2
c c2 a2
由于ex 0所以x ln ， ...........................12分
3 a
4ex ex
又由于cosh  x   为偶函数，所以
2
  2 
  c  ex 1 2x 2 x 3 ex 2 x 3  c c2 1 c   c   1  ，关于c  1,  单调递增; .....14分
 
a a
 
1 1 
当c趋向1时，4cos  c  趋向最大的取值5，  c  趋向最小的取值  1，所以要使不
 a a2  
1 1 1 1  5 
等式恒成立，则  15，令  a    1，关于a 0单调递减，且 5，
a a2 a a2 12
5
所以0a .........17分（此处也可以通过解不等式获得答案）
12
5