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专题 02 旋转与中心对称
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）旋转的定义
（1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫
做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示， 是 绕定点 逆时针旋转 得到的，其中点 与点 叫作对应点，线
段 与线段 叫作对应线段， 与 叫作对应角，点 叫作旋转中心， （或
）的度数叫作旋转的角度。
（2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
A'
B'
A
45°
O
B
（3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
（二）旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等;
旋转的 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
性质 (3)旋转前、后的图形全等
(4)旋转过后，常用等腰三角形性质
(1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角
度;
重点 (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相
解读 等;
(3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位
置（三）旋转作图
旋转作图 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
的依据 (2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点
(1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心.
(2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连
线为一边作一个旋转角.
(3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到
作图步骤 旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关
键点的对应点.
(4)接:按原图形顺次连接所得到的各点.
注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立
完成后,再进行下一个点的旋转
（四）中心对称的相关概念
（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这
两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作
关于对称中心的对称点.
如图， 绕着点 旋转 后，与 完全重合，则称 和 关于点 对称，
点 是点 关于点 的对称点.
A
D
O
B C
（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形
重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
（五）中心对称的性质
（1）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形.
（2）找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
模块三 考点一遍过
考点1：旋转的三要素典例1：如图，在正三角形网格中，将△EFG绕某个点旋转，得到△E′F′G′，则下列四个点中能作
为旋转中心的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线
找出旋转中心是解题的关键．连接FF′、GG′，分别作FF′和GG′的垂直平分线，则交点即为旋转
中心．
【详解】解：将△EFG绕某个点旋转，得到△E′F′G′，则F与F′为对应点，则G与G′为对应点，
连接FF′、GG′，分别作FF′和GG′的垂直平分线，如图所示交于点C，故点C为旋转中心．
故选：C．
【变式1】如图所示，在△ABC中，∠BAC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到，点A，B的
对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角∠ACD的度数是
（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】A
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转角的求解，由旋转可知：∠EDC=∠BAC=130°,CA=CD，求出∠DAC=∠ADC=50°即可求解；
【详解】解：由旋转可知：∠EDC=∠BAC=130°,CA=CD，
∴∠ADC=180°−∠EDC=50°，
∴∠DAC=∠ADC=50°，
∴∠ACD=180°−∠DAC−∠ADC=80°，
故选：A
【变式2】如图，A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，C点的坐标为(5,3)，D点的坐标为
(3,−1)，线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另
一条线段．
（1）旋转中心是 ，
（2）旋转角为 °．
【答案】 (1,1)或(4,4) 90
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、坐标与图形
【分析】本题考查了旋转的性质；①当点A的对应点为点C时，②当点A的对应点为点D时，根据网
格的特点得出旋转中心与旋转角，即可求解．
【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于
点E，如图1所示，
∵A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，
∴E点的坐标为(1,1)；
根据网格可得∠BED=90°
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2
所示，
∵A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，
∴M点的坐标为(4,4)．
根据网格可得∠BMC=90°
综上所述：这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4)，旋转角为90°
故答案为(1,1)或(4,4)；90．【变式3】学习了《旋转》后，在数学实践活动课上，小明在如图所示的平面直角坐标系中将
△ABC绕某个点顺时针旋转一定度数后得到△A′B′C′，A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′，则该
旋转中心的坐标是 ，旋转角度是 °.
【答案】 (0,−1) 90
【知识点】坐标与图形、找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查了求旋转中心，正方形的性质，根据旋转中心为对应点连线的垂直平分线交点，
以及正方形对角线互相垂直平分，即可解答．
【详解】解：∵△A′B′C′绕某点旋转后得到△ABC，
∴旋转中心为BB′,A A′垂直平分线的交点，
连接B′D，
由图可知，BB′垂直平分线为y轴，四边形AD A′B′为正方形，
∴B′D是A A′的垂直平分线，
∴BB′,A A′垂直平分线的交点为点D，
∴该旋转中心的坐标是(0,−1)，
∵四边形AD A′B′为正方形，则∠AD A′=90°，即旋转角为90°
故答案为：(0,−1)，90．考点2：利用的旋转的性质求解
典例2：如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，
且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CAE=∠BED B．AB=BD
C．∠ACE=∠ADE D．△ACE是等边三角形
【答案】A
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据旋转的性质说明线段或角相等
【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角的运用是解题的关键．根
据旋转的性质和三角形外角的定义和性质，逐项分析判断即可．
【详解】解：由旋转的性质可得，AC=AE，∠ACB=∠AED，∠ABC=∠ADE．
∵∠ACB=∠AED，
∴∠CAE+∠AEB=∠AEB+∠BED，
∴∠CAE=∠BED，故选项A正确，符合题意；
无法证明AB=BD，故选项B不正确，不符合题意；
∵∠ABC=∠ADE，
又∵∠ACE=∠ABC+∠BAC=∠ADE+∠BAC，
∴∠ACE≠∠ADE，故选项C不正确，不符合题意；
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∴△ACE是等腰三角形，但无法证明△ACE是等边三角形，
故选项D不正确，不符合题意．
故选：A【变式1】如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为斜边AB上一点，将
△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，则下列说法正确的有（ ）
①∠EAC=∠B；②CB=ED；③BD2+AD2=2CD2；④∠AED=∠ACD．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转
的性质说明线段或角相等
【分析】由等腰直角 三角形的性质，可得∠ABC=∠BAC=45°，由旋转的性质可知
∠EAC=∠B=45°，可判定①正确；根据△EDC是等腰直角三角形，△BDC不一定是等腰直角三
角形，所以△EDC与△BDC不一定全等，所以CB与ED不一定相等，可判定②错误；根据
∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，DE2=2CD2，可得AE2+AD2=DE2，即可得
AE2+AD2=2CD2，从而得出BD2+AD2=2CD2，可判断③正确；证明
∠EAD=∠ECD=90°，∠ACD+∠ADE=90°，可得出∠AED=∠ACD，可判断④正确．
【详解】解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°，EC=DC，∠ECD=90°，故①正确；
∴△EDC是等腰直角三角形，
∵点D为斜边AB上一点，
∴△BDC不一定是等腰直角三角形，
∴△EDC与△BDC不一定全等，所以CB与ED不一定相等，故②错误；
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，DE2=2CD2，
∴AE2+AD2=DE2，
∴AE2+AD2=2CD2，
∵AE=BD，
∴BD2+AD2=2CD2，故③正确；
∵∠EAD=90°
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵∠ACD+∠CAD+∠ADE+∠EDC=180°，∠CAD=∠EDC=45°，∴∠ACD+∠ADE=90°，
∴∠AED=∠ACD，故④正确；
故正确的有①③④共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，三角形内角和
定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式2】如图， 将△ABC绕点A 顺时针旋转42°得到△ADE， 点B 的对应点 D恰好落在边BC
上， 则∠ADE= ．
【答案】69°/69度
【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题
的关键；
根据旋转的性质得AD=AB，∠ADE=∠B，然后根据等腰三角形的性质得∠ADB=∠B，即可求
出答案．
【详解】解：将△ABC绕点A 顺时针旋转42°得到△ADE，
∴ AD=AB，∠ADE=∠B，∠BAD=42°，
1
∴∠ADB=∠B= (180−∠BAD)=69°，
2
∴ ∠ADE=69°．
故答案为：69°．
【变式3】如图，点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上，且∠MAN=45°．把△ADN绕点
A顺时针旋转90°得到△ABE．若BM=3,DN=2，则MN的长度为 ．
【答案】5【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查三角形全等和旋转问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题
的关键，根据旋转的性质可得到△ADN≌△ABE，再根据题意易证△AEM≌△ANM，得到
MN=EM，从而可得到MN的长度．
【详解】解：∵△ADN绕点A顺时针旋转90°得到，
∴△ADN≌△ABE，
∴∠DAN=∠BAE,DN=BE，
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠MAE=∠MAN，
在△AEM和△ANM中
¿
∴△AEM≌△ANM，
∴MN=EM，
∴MN=EB+BM=2+3=5，
故答案为：5．
考点3：坐标系中的旋转作图
典例3：如图，已知△OAB的顶点的坐标分别为A(−1,−1)，B(1,−3)，将△OAB绕坐标原点O逆
时针旋转90°得到△OA B ．
1 1
(1)请画出对应的△OA B ；
1 1
(2)在x轴上存在一点P，使得PA+PB 的值最小，请直接写出点P的坐标_____．
1
【答案】(1)见解析
(2)(1,0)
【知识点】两点之间线段最短、画旋转图形、坐标与图形综合【分析】本题考查了作旋转图形，坐标与图形，以及两点之间，线段最短；熟练掌握网格结构，准
确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据旋转的性质分别找出A，B的对应点A ，B 的位置，然后顺次连接即可；
1 1
（2）连接AB 交x轴于点P，根据两点之间，线段最短，可知此时PA+PB =AB 最短，进而得到
1 1 1
点P的坐标．
【详解】（1）解：所作△OA B 如图所示：
1 1
（2）解：连接AB 交x轴于点P，
1
根据两点之间，线段最短，可知此时PA+PB =AB 最短，
1 1
由图知点P的坐标为(1,0)，
故答案为：(1,0)．
【变式1】正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给
的直角坐标系中解答下列问题：(1)作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB C ，再作出△AB C 关于原点O成中心对称的
1 1 1 1
△A B C ．
1 2 2
(2)点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 ．
1 2
(3)求△A B C 的面积．
1 2 2
【答案】(1)画图见解析，
(2)B (−3,−1)，C (2,3)
1 2
(3)2.5
【知识点】坐标与图形综合、求关于原点对称的点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形、画旋
转图形
【分析】此题考查了旋转变换，作中心对称图形，坐标与图形面积，掌握旋转和中心对称图形的性
质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质和中心对称图形的性质分别确定旋转后的对应点，再作图即可；
（2）直接利用（1）中所画图形写出坐标即可；
（3）利用长方形面积减去周围三个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，△AB C 即为所求；△A B C 即为所求；
1 1 1 2 2（2）解：由（1）图可得，B (−3,−1)，C (2,3)．
1 2
1 1 1
（3）解：△A B C 的面积为2×3− ×1×2− ×1×2− ×1×3=6−1−1−1.5=2.5．
1 2 2 2 2 2
【变式2】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，
以点O为原点建立平面直角坐标系．
(1)将△ABC沿y轴向下平移4个单位得到△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A B C ，画出△A B C ；
2 2 2 2 2 2
(3)△A B C 可由△A B C 绕着点P旋转得到，点P的坐标是______．
2 2 2 1 1 1
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)(−2,−2)
【知识点】平移(作图)、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】（1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可．
（2）根据逆时针旋转的要求求出对应坐标，画图即可．
（3）根据旋转中心是对应线段垂直平分线的交点，解答即可．本题考查了坐标的平移，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得A(1,1)，B(1,3)，C(4,3)，向下平移4个单位后，得到新坐标为
A (1,−3)，B (1,−1)，C (4,−1)，画图如下：
1 1 1
则△A B C 即为所求．
1 1 1
（2）解：根据题意，得A(1,1)，B(1,3)，C(4,3)，△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到
△A B C ，新坐标分别为A (−1,1)，B (−3,1)，C (−3,4)．画图如下：
2 2 2 2 2 2
则△A B C 即为所求．
2 2 2
（3）解：根据旋转作图，得△A B C 绕(−2,−2)逆时针旋转90°得到△A B C ，
1 1 1 2 2 2故答案为：(−2,−2)．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点均在格点上．
(1)画出△ABO关于原点O对称的图形△A B O
1 1
(2)画出△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的图形△A B O，写出点B的对应点B 的坐标．
2 2 2
(3)求出（2）中B点旋转到B 点所经过的路径长（结果保留根号和π）
2
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析，
5
(3) π．
2
【知识点】求某点的弧形运动路径长度、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标、画已知图形
关于某点对称的图形
【分析】本题考查利用关于原点对称作图与利用旋转变换作图及求弧长．准确找出对应点的坐标位
置是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质，即可得出点A、B的对应点分别为点A 、B ，从而画出三角形
1 1
△A B O；
1 1（2）根据旋转的性质，即可得出点A、B的对应点分别为点A 、B ，从而画出三角形△A B O，
2 2 2 2
进而求得．
（3）根据弧长公式即可得解．
【详解】（1）解：如图，延长AO至A ，使A O=AO，则点A 是点A的对应点，延长BO至B ，
1 1 1 1
使B O=BO，则点B 是点B的对应点，连接A B ，则△A B O即为所作．
1 1 1 1 1 1
（2）解：如图， △A B O即为所作．
2 2
由图可得B (3,4)．
2
（3）解：如图，B点旋转到B 点所经过的路径长为以点O为圆心的B´B 的长，
2 2由题意可得∠BOB =90°，OB=√32+42=5，
2
90×π×5 5
∴B´B = = π，
2 180 2
5
∴B点旋转到B 点所经过的路径长 π．
2 2
考点4：旋转与尺规作图
典例4：如图，在△ABC中，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D与点B对应，点E与
点C对应），点D恰好落在BC上．
(1)用尺规作出△ADE（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若∠ABC=65°，∠ACB=20°，DE交AC于点F，求∠EFC的度数．
【答案】(1)答案见解析；
(2)70°
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、画旋转图形、根据旋转的性质求解
【分析】（1）先以A为圆心，AB长为半径作弧角BC于D，再作∠DAE=∠BAC，再截取
AE=AC，连接DE；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角定理求解．
【详解】（1）如图：△ADE即为所求；
（2）∵∠ABC=65°，∠ACB=20°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−65°−20°=95°．
由旋转的性质可得
△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，∠DAE=∠BAC=65°，∠AED=∠ACB=20°，
∴∠ADB=∠ABC=65°，
∴∠BAD=180°−∠ABD−∠ADB=180°−65°−65°=50°，
∴∠ADE=180°−∠DAE−∠AED=180°−65°−20°=65°，∴∠EDC=180°−∠ADB−∠ADE=180°−65°−65°=50°
．
∵∠ACB=20°，
∴∠EFC=∠EDC+∠ACB=50°+20°=70°．
【点睛】本题考查了复杂作图，掌握旋转的性质，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角
定理是解题的关键．
【变式1】如图，点O为等边三角形ABC的中心，△BCE是以BC为斜边的直角三角形，且BE=CE．
（1）用尺规在直线AB的左侧作△ABD，使△ABD≌△BCE，保留必要的作图痕迹，不写作法；
（2）△ABD能否由△BCE绕点O按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角α（
0<α<180°）的度数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）图见详解；（2）能，旋转角α为120°，证明见详解．
【知识点】等边三角形的判定和性质、旋转综合题(几何变换)
【分析】（1）分别以点A、B为圆心，以CE、BE为半径画弧，则两弧交于一点D，进而问题可求
解；
（2）连接OA、OB、OC、OD、OE，由题意易得
OA=OB=OC,∠AOB=∠BOC=120°,∠ABO=∠CBO，∠CBE=45°，由（1）可知：
△BCE≌△BAD，则有BD=BE,∠CBE=∠ABD=45°，然后可得△OBD≌△OBE，进而可得
OD=OE，最后问题可求解．
【详解】（1）解：如图所示：（2）证明：能，理由如下：
连接OA、OB、OC、OD、OE，如图所示：
∵O是等边三角形ABC的中心，△BCE是以BC为斜边的直角三角形，且BE=CE，
∴OA=OB=OC,∠AOB=∠BOC=120°,∠ABO=∠CBO，∠CBE=45°，
由（1）可知：△BCE≌△BAD，
∴BD=BE,∠CBE=∠ABD=45°，
∴∠ABO+∠ABD=∠CBO+∠CBE，即∠OBD=∠OBE，
∵OB=OB，
∴△OBD≌△OBE，
∴OD=OE，
∵OA=OB=OC，∠BOC=∠AOB=120°，
∴△ABD能由△BCE绕点O按顺时针方向旋转得到，旋转角度为120°．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形及等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、
等边三角形及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
【变式2】如图，在△ABC中，∠C=90°,∠A=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转固定角度后得到
△A′B′C，使得点B′在AB上，A′B′与AC交于点F.
（1）在给出的图形上用尺规作出△A′B′C；（要求：尺规作图不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：A′B′//BC.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【知识点】旋转综合题(几何变换)
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）由旋转的性质得∠CB′ A′=∠B=60°，再计算出∠B′CB=∠CB′ A′=60°，即可得到结论.
【详解】（1）如图，△A′B′C为所求作的三角形；
（2）证明：由旋转可得Rt△ABC≅Rt△A′B′C，
∴∠CB′ A′=∠B，
∵∠ACB=90°,∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴∠B′CB=∠CB′ A′=60°，
∴A′B′//BC．
【点睛】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．
失分的原因：1．不能正确理解本题所作的三角形，实质就是作已知三角形的全等三角形；2．对平
行线的判定方法掌握不熟练．
【变式3】如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，将线段AD绕点A顺时针旋转α°(0<α<90)
得到线段AE，点E关于直线BD的对称点是点F，射线BF交线段AD于点G，连接BE，GE．
(1)当α=60时，依据题意用尺规补全图形，保留作图痕迹．
(2)求∠BEG的大小．【答案】(1)见详解
(2)∠BEG=90°
【知识点】根据正方形的性质求角度、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、线段
问题(轴对称综合题)
【分析】（1）①根据题意，先以点A为圆心，AD为半径画弧，再画出线段AD的垂直平分线，它
们的交点即为点E，再画E的对称点F（以点D为圆心，ED为半径画弧，再以B为圆心，EB为半
径画弧，两弧的交点，即为点F）依次连接，补全图形即可；
AQ GQ
（2）根据正方形的性质以及等边对等角，证明△AQG∽△BQE，可得 = ，证明
BQ EQ
1
△AQB∽△GQE，可得∠ABQ=∠GEQ=45°− α°，再利用角的和差可得答案．
2
【详解】（1）解：①如图，补全图形如下：
（2）解：∠BEG=90°，证明如下：
如图，由正方形ABCD，结合旋转可得：AB=AE=AD=CD=BC，
∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∵∠BAE=90°−α°，
1 1 1
∴∠ABE=∠AEB= (180°−∠BAE)=90°− (90°−α°)=45°+ α°，
2 2 2
1 1
∠EBC=90°−45°− α°=45°− α°，
2 2
∵点E关于直线BD的对称点是点F，
∴∠FBD=∠EBD，
1
∴∠ABF=∠CBE=45°− α°
2
1
∴∠AGQ=90°−∠ABF=45°+ α°；
2如图2，∠DAE=α°，
∴∠BAE=90°−α°
结合正方形与旋转可得：
∵AB=AE=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
1
∴∠AGQ=45°+ α°=∠QEB，
2
∵∠AQG=∠BQE，
∴△AQG∽△BQE，
AQ GQ
∴ =
BQ EQ
，
∵∠AQB=∠GQE，
∴△AQB∽△GQE，
1
∴ ∠ABQ=∠GEQ=45°− α°，
2
1 1
∴∠BEG=∠AEB+∠AEG=45°+ α°+45°− α°=90°．
2 2
【点睛】本题考查了作图−旋转变换，轴对称变换，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正
确作出图形是解题的关键．
考点5：旋转的应用——规律
典例5：将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，顶点
A的坐标为(1,√3)，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转结束时，点A对
应点的坐标为（ ）A．(1,√3) B．(−1,√3) C．(−2,0) D．(−1,−√3)
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据每次旋转60°可知6次一个循环，分别求出第一次到
第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可．
【详解】解：如图，
∵A(1,√3)，∠ABO=90°，
∴OB=1，AB=√3，
∵∠A=30°，
∴OA=2OB=2，
∵将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，
∴第一次旋转后的坐标为(−1,√3)，
第二次旋转后的坐标为(−2,0)，
第三次旋转后的坐标为(−1,−√3)，
第四次旋转后的坐标为(1,−√3)，
第五次旋转后的坐标为(2,0)，
第六次旋转后的坐标为(1,√3)，
⋯，
6次一个循环，
∵2024÷6=337⋯2，∴第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为(−2,0)，
故选：C．
【变式1】如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D(1,0)绕点A(0,1)逆时针旋转
90°得点D ，再将D 绕点B逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕点C逆时针旋转90°得点D ，再将
1 1 2 2 3
D 绕点D逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕点A逆时针旋转90°得点D ⋯依此类推，则点D 的坐
3 4 4 5 6
标是（ ）
A．(−9,6) B．(−7,6) C．(−7,8) D．(−9,8)
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、坐标与
旋转规律问题
【分析】根据旋转图形找到规律4个一循环再在同一条线上，且根据等腰直角三角形性质可得斜边
长逐渐增加√2，即可得到点的坐标关系，即可得到答案
【详解】解：过点D 作D E⊥y轴于E，过点D 作D F⊥x轴于F，过点D 作D G⊥y轴于G，
1 1 2 2 3 3
过点D 作D H⊥x轴于H，过点D 作D K⊥y轴于K，
4 4 5 5
∵四边形ABCD是正方形，D(1,0)，A(0,1)，
∴AD=BC=CD=AB=√12+12=√2，
∵D E⊥y轴，D F⊥x轴，D G⊥y轴，D H⊥x轴，D K⊥y轴，
1 2 3 4 5
∴新得到的三角形都是等腰直角三角形，可得D (1,2)，D (−3,2)，D❑(−3,−4) ，D (5,−4)，D (5,6)，D (−7,6)，
1 2 3 4 5 6
故选B
【点睛】本题考查图形规律，正方形的性质，旋转的性质，直角等腰三角形的性质，解题的关键是
根据题意作出辅助线找到规律．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，
AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第101次旋转结束时，点
A的坐标为 ．
【答案】(√3,−1)
【知识点】坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识．首先确定点A
的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第101次旋转后点的坐标即可．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，AB∥x轴，
∴AP=1，AO=2，∠OPA=90°，
∴OP=√AO2−AP2=√3，
∴第1次旋转结束时，点A的坐标为(√3,−1)，
第2次旋转结束时，点A的坐标为(−1,−√3)，
第3次旋转结束时，点A的坐标为(−√3,1)，第4次旋转结束时，点A的坐标为(1,√3)，
∴4次一个循环，
∵101÷4=25⋯⋯1，
∴第101次旋转结束时，点A的坐标为(√3,−1)．
故答案为：(√3,−1)．
【变式3】已知：如图，等边三角形△OAB的边长为2√3，边OA在x轴正半轴上，现将等边三角形
△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为
．
【答案】(0,2)
【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、求绕原点旋转一定角度的点的坐标、坐标与
旋转规律问题
【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关
键．
过点B和点O分别作BC⊥OA于点C，OD⊥AB于点D，根据△OAB是等边三角形，可得G点坐
标，等边三角形△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，旋转6次为一个循环，分别求出等边三
角形中心G旋转后的坐标，进而可得第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标．
【详解】如图所示：
过点B和点O分别作BC⊥OA于点C，OD⊥AB于点D，
∵△OAB是等边三角形，∴OD平分∠BOA，
∴∠DOA=30°，
1
∵OC= OA=√3，
2
∴CG=1，OG=2，
∵等边三角形△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，
∴旋转6次为一个循环，
∵等边三角形中心G坐标为(√3,1)，
第一次旋转后到y轴正半轴，坐标为：(0,2)；
第二次旋转后到第二象限，坐标为：(−√3,1)；
第三次旋转后到第三象限，坐标为：(−√3,−1)；
第四次旋转后到y轴负半轴，坐标为：(0,−2)；
第五次旋转后到第四象限，坐标为：(√3,−1)；
第六次旋转后回到第一象限，坐标为：(√3,1)，
∵2023÷6=331...1，
∴第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为：(0,2)．
故答案为：(0,2)．
考点6：旋转的几何综合
典例6：如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角
形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10．
(1)在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D 转到其内的点D 处，连结D D ，
1 2 1 2
如图2，此时∠AD C=135°，CD =60，求BD 的长．
2 2 2
【答案】(1)①40或20；②20√2或10√10；
(2)30√6．【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、线
段问题(旋转综合题)
【分析】(1) ①当A，D，M三点在同一直线上时，分点M在AD上和点M在AD的延长线上，两种
情况计算；②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，分AD为直角边和AD为斜边两种情况
计算；
(2)连接D C，根据∠AD C=135°可以求出∠D D C=90°，利用勾股定理可以求出
1 2 1 2
D C=30√6，利用SAS可证△ABD ≅△ACD ，根据全等三角形对应边相等可得
1 2 1
BD =CD =30√6．
2 1
【详解】（1）解：①当A，D，M三点在同一直线上时，
若点M在AD的延长线上，
则AM=DM+AD=10+30=40，
若点M在AD上，
则AM=AD−DM=30−10=20，
综上所述AM的长为40或20；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，
若AD为直角边，
则AM=√AD2+DM2=√302+102=√1000=10√10，
若AD为斜边，
AM=√AD2−DM2=√302−102=√800=20√2，
综上所述当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，AM的长为10√10或20√2；
（2）解：如图所示，连接D C，
1
∵∠D AD =90°，AD =AD =30，
1 2 1 2
∴D D =√302+302=30√2，∠AD D =∠AD D =45°，
1 2 1 2 2 1∵∠AD C=135°，
2
∴∠D D C=90°，
1 2
在Rt△D D C中，D C=√(30√2) 2+602=30√6，
1 2 1
∵∠BAC=∠D AD =90°，
2 1
∴∠BAC−∠D AC=∠D AD −∠D AC，
2 2 1 2
∴∠BAD =∠CAD ，
2 1
在△ABD 和△ACD 中¿，
2 1
∴△ABD ≅△ACD ，
2 1
∴BD =CD =30√6．
2 1
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是添辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式1】[问题情境]如图1，E为正方形ABCD内一点，AE=5，BE=12，∠AEB=90°，将
Rt△ABE绕点A按逆时针方向旋转a度（0≤a≤180°），点B，E的对应点分别为点B′，E′．
[问题解决]
(1)如图2，在旋转的过程中，当点B′落在AC上时，求此时CB′的长；
(2)若a=90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′于点F，试判断四边形
AEFE′的形状，并说明理由；
(3)在Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段CE′长度的最大值．
【答案】(1)13√2−13
(2)四边形AEFE′是正方形，理由见解析
(3)13√2+5
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、证明四边形是正方形、线段问题(旋
转综合题)
【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的
性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键．
（1）由勾股定理求出AB=13，再求出AC，由旋转的性质得：AB′=AB=13，则可得出答案；（2）先证四边形AEFE′是矩形，再证明是正方形；
（3）点E′的轨迹为以A为圆心，5为半径的圆，当点C、A、E′依次共线时，CE′最大，计算即可．
【详解】（1）解：（1）∵AE=5，BE=12，∠AEB=90°，
∴ AB=√AE2+BE2=13，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ BC=AB=13，∠ABC=90°，
∴ AC=√2AB=13√2，
由旋转的性质得：AB′=AB=13，
∴ CB′=AC−AB′=13√2−13；
（2）解：四边形AEFE′是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：AE′=AE，∠EAE′=α=90°，
∵∠AE′D=∠AEB=90°，∠AEF=180°−90°=90°，
∴四边形AEFE′是矩形，
又∵AE′=AE，
∴矩形AEFE′是正方形；
（3）解：∵AE′=5是固定值，点A是定点，点E′是动点，
∴点E′的轨迹为以A为圆心，5为半径的圆，如图：
当点C、A、E′依次共线时，CE′最大，
此时，CE′=AC+AE′=13√2+5，
即CE′长度的最大值为13√2+5．
【变式2】如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，当点B在线段
AD上，点C在线段AE上时，我们很容易得到BD=CE，不需证明．(1)如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连接BD和CE，此时BD=CE是否
依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
(2)如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在BC的延长线上，连接CE．若
AB=AC=2√3，CD=√6，求线段DE的长；
(3)若P为DE中点，连接BP，AB=AC=2√2，AD=AE=4√2，当△ADE绕点A逆时针旋转时，
BP最大值为m，最小值为n，则mn的值为______．
【答案】(1)BD=CE依然成立，理由见解析
(2)DE=2√5
(3)8
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、求一点到圆上点距离的最值、
线段问题(旋转综合题)
【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的
判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短、二次根式的计算等知识，证明
△ABD≌△ACE（SAS）是解题的关键．
（1）利用SAS，证明△ABD≌△ACE（SAS），得BD=CE．
（2）证明△ABD≌△ACE（SAS），得∠ABD=∠ACB=∠ACE=45°，则
∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，再利用勾股定理可得答案．
1 1
（3）连接连接AP、BP，先根据勾股定理和直角三角形的性质求得AP= DE=8× =4，当
2 2
△ADE绕点A逆时针旋转时，点P在以A为圆心，AP为半径的圆上运动，所以当点P在直线BA上
时，BP有最大和最小值，由图可得BP的最大值为m=AB+AP=2√2+4，最小值为
n=AP−AB=4−2√2，即mn=(4+2√2)(4−2√2)=8．
【详解】（1）解：BD=CE依然成立，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵将△ADE绕点A逆时针旋转α，∴∠BAD=∠CAE=α，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE．
（2）解：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD=CAE
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACB=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∵AB=AC=2√3，
∴BC=√AB2+AC2=√12+12=2√6，
∴BC+CD=BD=CE=2√6+√6=3√6，
∴DE=√CE2+CD2=√54+6=2√15．
（3）解：如图3，连接AP、BP，
∵AD=AE=4√2，
∴DE=√AD2+AE2=√32+32=8，
∵点P是DE的中点，
1 1
∴AP= DE=8× =4，
2 2
∴点P在以A为圆心，AP为半径的圆上运动，
∴当点P在直线BA上时，BP有最大值和最小值，
∴由图可得BP的最大值为m=AB+AP=2√2+4，最小值为n=AP−AB=4−2√2，
∴mn=(4+2√2)(4−2√2)=8，
故答案为：8．
【变式3】某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形ABCD和正方形CEFG按照图1方式摆放，
点B，C，E在同一条直线上，点G在CD上．(1)操作与发现
如图2，将正方形CEFG绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)．
①当α=59°48′时，求∠BCG，∠DCE，∠BCE的度数；
②正方形CEFG旋转过程中，你发现∠BCG与∠DCE的有何数量关系？∠BCE与∠GCD的有何
数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明．
(2)类比探究
如图3，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转β(0°<β<270°)．上面②中你发现的结论是否仍然成立？
请说明理由．
【答案】(1)①∠BCG=∠DCE=30°12′；∠BCE=120°12′；②
∠BCG=∠DCE，∠BCE+∠GCD=180°
(2)∠BCG=∠DCE，∠BCE+∠GCD=180°，理由见解析
【知识点】根据旋转的性质求解、角度问题(旋转综合题)
【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算；
（1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解；
②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解；
（2）根据旋转的性质即可求解．
【详解】（1）解：①∵α=59°48′，四边形ABCD,CEFG是正方形，
∴∠BCG=∠DCE=90°−α=90°−59°48′=30°12′，
∠BCE=∠BCG+∠GCE=30°12′+90°=120°12′；
②∵∠BCG=∠DCE=90°−α，
∠BCE+∠GCD=∠BCG+∠GCE+∠GCD=∠BCD+∠GCE=180°，
∴∠BCG=∠DCE，∠BCE+∠GCD=180°；
（2）解：∵∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°+∠DCG，
∠DCE=∠DCG+∠GCE=90°+∠DCG，
∴∠BCG=∠DCE，
∵∠BCE+∠DCG+∠BCD+∠GCE=360°，
∴∠BCE+∠GCD=180°．
考点7：中心对称图形的识别
典例7：下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线
两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说
这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，
如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图
形和中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选不项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题考主要查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念的注意事
项：①轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中
心，旋转180度后与原图重合成为解题的关键．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：A.是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
B. 是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形．
故选：C．
【变式2】观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中．（1）轴对称图形有 （填序号）；
（2）中心对称图形有 （填序号）；
（3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）；
（4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）．
【答案】 ②④⑤⑦⑧ ①③⑥⑦ ①③⑥ ⑦
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对
称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对
称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此
逐一分析判断即可．
【详解】解：①是中心对称图形，但不是轴对称图形；
②是轴对称图形，但不是中心对称图形；
③是中心对称图形，但不是轴对称图形；
④是轴对称图形，但不是中心对称图形；
⑤是轴对称图形，但不是中心对称图形；
⑥是中心对称图形，但不是轴对称图形；
⑦既是中心对称图形，也是轴对称图形；
⑧是轴对称图形，但不是中心对称图形．
所以，（1）轴对称图形有②④⑤⑦⑧；
（2）中心对称图形有①③⑥⑦；
（3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有①③⑥；
（4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有⑦．
故答案为：（1）②④⑤⑦⑧；（2）①③⑥⑦；（3）①③⑥；（4）⑦．
【变式3】给出下列5种图形：①平行四边形②菱形③正五边形、④正六边形、⑤等腰梯形中，既是
轴对称又是中心对称的图形有 个．【答案】2
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念和平行四边形、菱形、正五边形、正六边形、等腰
梯形的性质求解．
【详解】解：①是中心对称图形；②为轴对称图形也为中心对称图形；③为轴对称图形；④为轴对
称图形也为中心对称图形；⑤为轴对称图形．
故答案为：2.
【点睛】此题考查轴对称图形，中心对称图形．解题关键在于掌握当轴对称图形的对称轴是偶数条
时，一定也是中心对称图形；偶数边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形；奇数边的正
多边形只是轴对称图形．
考点8：利用中心对称性质求解
典例8：如图，△ABC和△≝¿关于点O成中心对称，点A、B、C的对应的分别是点D、E、F．
(1)在图中找出对称中心O（保留画图痕迹）；
(2)若AB=7，AC=5，BC=6，求△≝¿周长．
【答案】(1)图见解析
(2)18
【知识点】全等三角形的性质、画两个图形的对称中心、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题考查成中心对称，熟练掌握成中心对称的性质，是解题的关键：
（1）根据成中心对称的性质，对应点连线的交点即为对称中心作图即可；
（2）根据成中心对称的两个图形全等，求出△ABC的周长即可．
【详解】（1）解：如图，点O即为所求；
（2）∵AB=7，AC=5，BC=6，
∴△ABC的周长为：5+6+7=18，
∵△ABC和△≝¿关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△≝¿，∴△≝¿周长为18．
【变式1】如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，若点E，F分别在GA、GC上，且AF=CE，
求证：BF=DE．
【答案】见详解
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】因为△AGB与△CGD关于点G中心对称，所以AG=CG，BG=DG，因为AF=CE，
所以AE=CF，即EG=FG，结合∠BGF=∠DGE，得证△BGF≌△DGE，即可作答．
【详解】证明：因为△AGB与△CGD关于点G中心对称，
所以△AGB≌△CGD
所以AG=CG，BG=DG，
因为AF=CE，
则AF−EF=CE−EF
所以AE=CF，
因为AG=CG
所以AG−AE=CG−CF
即EG=FG，
因为∠BGF=∠DGE，BG=DG
所以△BGF≌△DGE(SAS)，
则BF=DE
【点睛】本题考查了成中心对称的图形特征以及全等三角形的判定与性质，成中心对称的两个图形
必定能重合，难度较小．
【变式2】如图，△ABC和△≝¿关于点O成中心对称．
(1)找出它们的对称中心O；
(2)若AB=6，AC=5，BC=4，求△≝¿的周长；
(3)连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析
(2)15
(3)四边形ACDF是平行四边形，理由见解析
【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查了中心对称的性质．也考查了平行四边形的判定．熟练掌握中心对称的性质和平
行四边形的判定方法是解答本题的关键．
（1）根据中心对称的性质，对称中心在线段AD、CF上，则连接AD和CF，它们的交点即为对称
中心O；
（2）根据中心对称的两个三角形全等可得到△≝¿各边的长，然后计算△≝¿的周长；
（3）根据中心对称的性质得OA=OD，OC=OF，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形
ACDF为平行四边形．
【详解】（1）解：如图，连接AD，CF，点O为所求：
（2）解：∵ △ABC和△≝¿关于点O成中心对称
∴ △ABC≌△≝¿，
∴ DF=AC=5，DE=AB=6，EF=BC=4，
∴ △≝¿的周长为EF+DF+DE=4+5+6=15；
（3）解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：
连接AF,CD,AD,CF，如图所示：
∵ △ABC △≝¿ O
和 关于点 成中心对称，
∴ OA=OD，OC=OF，
∴四边形ACDF为平行四边形．
【变式3】如图，△ABC与△≝¿关于点O成中心对称．(1)画出对称中心O；（保留作图痕迹）
(2)若 BC=3，AC=4，AB=5，则△≝¿的面积= ．
【答案】(1)见解析
(2)6
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、画两个图形的对称中心、根据中心对称的性质求面积、长
度、角度
【分析】（1）连接AD，CF，AD与CF的交点就是对称中心O．
（2）根据成中心对称的两个图形全等，求出△ABC的面积，即为△≝¿的面积，利用勾股定理逆定
理，得到△ABC为直角三角形，进而利用直角三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：连接AD，CF，AD与CF的交点就是对称中心O，如图所示：
（2）解：∵BC=3，AC=4，AB=5，
∴BC2+AC2=25=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∵△ABC与△≝¿关于点O成中心对称，
S =S
∴ △ABC 1 ．
△≝¿= BC⋅AC=6¿
2
【点睛】本题考查两个图形成中心对称．熟练掌握对称中心的确定方法，以及成中心对称的两个图
形全等，是解题的关键．
考点9：坐标系中的中心对称
典例9：在平面直角坐标系中，已知点A(2a,a−b+2)，B(b,a+2)关于原点对称，则a，b的值是
（ ）
A．a=−1,b=2 B．a=1,b=2
C．a=−1,b=−2 D．a=1,b=−2
【答案】A
【知识点】构造二元一次方程组求解、已知两点关于原点对称求参数
【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，根据关于原点对称的点横坐
标和纵坐标都互为相反数，列出方程组求解即可．
【详解】解：∵点A(2a,a−b+2)，B(b,a+2)关于原点对称，
∴¿，解得：¿，
故选：A．
【变式1】点A(m−1,−2)与点B(3,n+1)关于原点对称，则m+n=（ ）
A．1 B．-1 C．-5 D．5
【答案】B
【知识点】已知两点关于原点对称求参数
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：∵点A(m−1,−2)与点B(3,n+1)关于原点对称，
∴¿,
∴¿,
∴m+n=−2+1=−1;
故选：B．
【点睛】本题考查了关于原点 对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为
相反数．
【变式2】在平面直角坐标系中，点A(m+4,−1)与点B(1,n−3)关于原点对称，则m+n的值为
．
【答案】−1
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题
的关键．根据题意得到m+4=−1，n−3=1，求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：∵点A(m+4,−1)与点B(1,n−3)关于原点对称，
∴ m+4=−1，n−3=1，
∴m=−5,n=4，
∴m+n=−5+4=−1．
故答案为：−1．
【变式3】若点M(a−1,−4)与点N(−3,1−b)关于原点中心对称，则(a＋b) 2023= ．
【答案】1
【知识点】已知两点关于原点对称求参数
【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”列方程求出a、b的值，然后代
入计算即可得解．
【详解】解：∵点M(a−1,−4)与点N(−3,1−b)关于原点中心对称，
∴a−1=3，1−b=4，
解得a=4，b=−3，∴(a+b) 2023=(4−3) 2023=1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相
反数得出a、b的值是解题的关键．
