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专题 10 圆的基本性质（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD=128°，∠E=40°，则∠BDC的
度数是（ ）
A．16° B．20° C．24° D．35°
【答案】C
【知识点】圆周角定理、三角形的外角的定义及性质
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠ABD的度数，再根据
∠ABD是△BDE的外角即可得出结论．
【详解】解：∵∠ABD是A´D所对的圆周角，
1 1
∴∠ABD= ∠AOD= ×128°=64°，
2 2
∵∠ABD是△BDE的外角，
∴∠BDC=∠ABD−∠E=64°−40°=24°，
故选C
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角
的一半是解题的关键．
2．阅读材料：一般地，当α、β为任意角时，sin(α+β)与sin(α−β)的值可以用下面的公式求得：
sin(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ：sin(α−β)=sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβ根据以上材料，解
决下列问题：如图，在⊙O中，AB是直径，AB=√6+√2，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点
1
处，AD是半圆弧的 ，则CD的长为（ ）
3√6+√2
A． B．√6−√2 C．2+√3 D．1
4
【答案】D
【知识点】三角函数综合、圆周角定理、等边三角形的判定和性质
1
【分析】连结OD、过点D作DF⊥AC于F，根据A´D是半圆弧的 ，求出∠AOD=60°，再求
3
1 √6+√2
∠DOC=90°-∠AOD=30°，根据AB=√6+√2，求出OD=OC=OA= AB= ，利用三角函数
2 2
ADsin∠DAF=CDsin30°求解即可．
【详解】解：连结OD、OC，过点D作DF⊥AC于F，
1
∵A´D是半圆弧的 ，
3
∴∠AOD=60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠DAO=60°，AD=OA，
∵点C在半圆弧的中点处，
∴A´C=B´C=半圆弧的一半，
∴∠CAO=45°，
∵AB=√6+√2，
1 √6+√2
∴AD=OA= AB= ，
2 2
1
∵∠DAF=∠DAO-∠CAO=60°-45°=15°，∠DCA= ∠AOD=30°，
2
∴DF=ADsin∠DAF=CDsin30°，
√6+√2 √6+√2 √6−√2
∴CD=2ADsin15°=2（ ）（sin60°cos45°-cos60°sin45°）=2× × =1．
2 2 4
故选择：D．
【点睛】本题考查弧与圆心角，圆周角的关系，等边三角形判定与性质，锐角三角函数，掌握弧与
圆心角，圆周角的关系，等边三角形判定与性质，锐角三角函数是解题关键．3．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝140°，求∠A．”小明的解答为：画△ABC
以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝140°，得∠A＝70°．而小刚说：“小明
考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．小刚说的不对，∠A就得70°
B．小刚说的对，且∠A的另一个值是110°
C．小明求的结果不对，∠A应得40°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【答案】B
【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】解：如图所示：
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，正确分类讨论是解题的关键．
4．如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( )A．158° B．58° C．64° D．116°
【答案】D
【知识点】圆周角定理、利用邻补角互补求角度
【分析】首先根据圆周角定理可求得∠BOC的度数，再根据邻补角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°，
∴∠BOC=2∠D=64°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−64°=116°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对圆心角的度数的一半是解答此题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x−2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半
径为1的⊙O上两动点，且CD=√2，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积
的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出OA=OB=2，确定AB=2√2，再由题意得出当PO的延
长线恰好垂直AB时，垂足为点E，此时PE即为三角形的最大高，连接DO，利用勾股定理求解即
可．【详解】解：∵直线y=−x−2与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=−2，当y=0时，x=−2，
∴A(−2,0),B(0,−2)，
∴OA=OB=2，
∴AB=√OA2+OB2=2√2，
∵△PAB的底边AB=2√2为定值，
∴使得△PAB底边上的高最大时，面积最大，
点P为CD的中点，当PO的延长线恰好垂直AB时，垂足为点E，此时PE即为三角形的最大高，连
接DO，
∵CD=√2，⊙O的半径为1，
√2
∴DP=
2
√2
∴OP=√OD2−DP2=
，
2
∵OE⊥AB，
1
∴OE= AB=√2，
2
3√2
∴PE=OE+OP= ，
2
1 3√2
∴S = ×2√2× =3，
△PAB 2 2
故选：D．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出
高的最大值是解题关键．
6．如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC=35°时，∠A的度数是（ ）．A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】C
【知识点】圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】先由OB=OC，得到∠OCB=∠OBC=35°，从而可得∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，再由
圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=35°，
∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，
1
∴∠A= ∠BOC=55°，
2
故选C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知圆周角定理是
解题的关键．
7．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，I为△ABC的内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD于I，
连接BD，则AB与BD的关系是（ ）
A．AB=2BD B．AB=√2BD C．AB=√5BD D．AB=√3BD
【答案】C【知识点】三角形内心有关应用、半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相
等、用勾股定理解三角形
【分析】连接BD、BI，根据直径所对的圆周角为直角，得出∠D=90°，再根据三角形的内心，得
出∠ABI=∠CBI，∠CAD=∠BAD，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出
∠CAD=∠CBD，再根据等量代换，得出∠BAD=∠CBD，再根据三角形的外角的性质和等量代
换，得出∠IBD=∠BID，再根据等角对等边，得出BD=ID，再根据中位线的性质，得出
AD=2ID，进而得出AD=2BD，再根据勾股定理，即可得出答案．
【详解】解：连接BD、BI，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠D=90°，
∵I为△ABC的内心，
∴∠ABI=∠CBI，∠CAD=∠BAD，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠IBD=∠BID，
∴BD=ID，
∵OI⊥AD，OI过点O，
∴OI是△ABD的中位线，
∴AD=2ID，
∴AD=2BD，
∴AB=√AD2+BD2=√5BD．
故选：C
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内心、三角形的外角的性质、等角对等边、勾股定理，
解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
8．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】B
【知识点】利用垂径定理求值、求一点到圆上点距离的最值【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直
径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．
【详解】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得
AB=10cm，CD=6cm．
∴OC=5，CP=3
∵CD⊥AB，
1
∴CP= CD=3cm．
2
根据勾股定理，得OP=√OC2−CP2=4cm．
故选B．
【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．
9．如图，在⊙O中半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC=18°，则∠BAC=（
）
A．24° B．25° C．26° D．27°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理可求解∠AOC
的度数，连接OC，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解∠BOC的度数即可．
【详解】解：连接OC，∵∠ABC=18°
，
∴∠AOC=2∠ABC=36°，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOC=90°−36°=54°，
1
∴ ∠BAC= ∠BOC=27°，
2
故选：D．
10．如图，四边形ABCD内接于圆O，且AB、BC都是圆的内接正五边形ABCEF的边，则∠D的
度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．72°
【答案】D
【知识点】圆周角定理、求正多边形的中心角
【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形与圆的性质和圆周角定理是解题
的关键．
连接OA，OB，OC，先根据正五边形的性质，求出∠AOB=∠BOC=72°，从而求得
∠AOC=144°，然后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OA，OB，OC，如图，
∵AB、BC都是圆的内接正五边形ABCEF的边，1
∴∠AOB=∠BOC= ×360°=72°，
5
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=144°，
1
∴∠D= ∠AOC=72°．
2
故选：D．
11．如图，在扇形OAB中，点C为弧AB的中点，延长AC交OB的延长线于点D，连接BC，若
S
BD=4，CD=6，则 △DCB 的值为（ ）
S
△DAO
2 2 10 7
A． B． C． D．
3 7 7 9
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】连接OC，先证明△AOC≌△BOC(SAS)，得到∠A=∠OBC=∠OCA=∠OCB，从而
证得△DBC∽△DCO，根据相似三角形的性质求出DO，进而求出OB，计算面积比即可．
【详解】解：连接OC，
∵点C为弧AB的中点，
∴∠AOC=∠BOC，OA=OC=OB，
∴△AOC≌△BOC(SAS)，
∴∠A=∠OBC=∠OCA=∠OCB，
又∠DBC=∠DCO，
∴△DBC∽△DCO，DB DC
∴ = ，
DC DO
∵BD=4，CD=6，
4 6
∴ = ，
6 DO
解得：DO=9，
∴OB=OD−BD=9−4=5，
S 4
∴ △DCB = .
S 9
△DCO
S 2
∴ △DCB = ，
S ❑ 5
四边形 AOBC
S 2
∴ △DCB = ，
S 7
△DAO
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦三者的关系，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运
用性质解题．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD=70°，则∠AOC
的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】D
【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、根据平行线的性质求角的度数
【分析】先由平行线的性质求出∠ABC=110°，再由圆内接四边形对角互补求出∠ADC=70°，
则由圆周角定理可得∠AOC=2∠ADC=140°．
【详解】解：∵AD∥BC，∠BAD=70°，
∴∠ABC=180°−∠BAD=110°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC=180°−∠ABC=70°，
∴∠AOC=2∠ADC=140°，故选D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线的性质，灵活运用所学知识是
解题的关键．
13．如图，正方形ABCD的边长为8，⊙O经过A，B两点，且与边DC相切于点M，若点M为DC
的中点，则⊙O的半径长为（ ）
17
A． B．3√3 C．3√2 D．5
2
【答案】D
【知识点】根据正方形的性质求线段长、利用垂径定理求值、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质、正方形的性质以及垂径定理等知识点．设⊙O与边DC相切于点
M，延长MO交AB于点N，连接OA，可推出四边形ADMN是矩形，得MN⊥AB，MN=AD=8；
根据ON2+AN2=OA2即可求解．
【详解】解：延长MO交AB于点N，连接OA，如图所示：
∵∠D=∠DAN=∠DMN=90°，
∴四边形ADMN是矩形，
∴MN⊥AB，MN=AD=8，
1
∴AN= AB=4，
2
∵OA=OM，
∴ON=8−OA，
∴(8−OA) 2+42=OA2，
解得：OA=5．
故选：D．14．如图，AB是半圆O的直径，点C、E是半圆上的动点（不与点A、B重合），且A´C=B´E，射
线AE，BC交于点F，M为AF中点，G为CM上一点，作∠GON=B´C，交BC于点N，则点C在
从点A往点B运动的过程中，四边形CGON的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．保持不变 D．一直减小
【答案】A
【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、圆周角定理、全等的性质和ASA（AAS）综合
（ASA或者AAS）
【分析】如图，连接OC，AC，OM．证明△COG≌△BON（ASA），推出S =S ，推
△COG △BON
出S =S ，由此即可判断．
四边形CGON △BOC
【详解】解：如图，连接OC，AC，OM．
∵AB是直径，
∴∠ACF=90°，
∵AM=FM，
∴CM=AM=FM，
∵OA=OC,OM=OM,MA=MC，
∴△OMA≌△OMC（SSS），
∴∠OAM=∠OCG，
∵A´C=B´E，
∴∠EAB=∠ABC，
∴∠OCG=∠OBN，
∵∠GON=B´C，
∴∠GON=∠COB，
∴∠COG=∠BON，
∵OC=OB，
∴△COG≌△BON（ASA），
∴S =S ，
△COG △BON
∴S =S ，
四边形CGON △BOC
∵点C在从点A往点B运动的过程中，△OBC的面积先变大后变小，∴四边形CGON的面积先变大后变小，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角
形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
15．PM，PN是⊙O的切线，B，C是切点，A，D是⊙O上的点，若∠P=44°，∠MBA=30°，
则∠D的度数为（ ）
A．98° B．96° C．82° D．78°
【答案】A
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，圆周角定理的应用，圆的切线
1
的定义等知识，理解∠ADC= (∠BOC+∠AOB)是解本题的关键．如图，连接OA,OB,OC,先
2
1
求解∠BOC,∠AOB, 再利用圆周角定理可得∠ADC= (∠BOC+∠AOB)，从而可得答案．
2
【详解】解：如图，连接OA,OB,OC,
∵ PM，PN是⊙O的切线，
∴∠OBP=∠OBM=∠OCP=90°,
∵∠P=44°,∠MBA=30°,
∴∠BOC=360°−90°−90°−44°=136°,∠OBA=60°,∵OA=OB,
∴∠OAB=60°,∠AOB=60°,
1
∴∠ADC= (∠BOC+∠AOB)=98°.
2
故选A
二、填空题
16．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，C为弧AB的中点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线
25 3
于点F，连接AC，若AC//DF，⊙O的半径为 ，BE= AE，则CE= ．
6 5
【答案】√10
【知识点】切线的性质定理、圆周角定理、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形
【分析】连接OC、OA、OD，OC与AF交于点H，设AE=5λ，利用已知条件表示出AH，OE，在
Rt△HOA中，由勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：连接OC、OA、OD，OC与AF交于点H，如图，
∵C为弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AH=BH，
∵AC∥DF，
∴∠ACD=∠CDF，∵OD是切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∴∠ODC+∠CDF=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCE+∠CEA=∠OCE+∠FED=90°，
∴∠CDF=∠DEF=∠ACD=∠AEC，
∴AC=AE，
设AE=5λ，则BE=3λ，
∴AC=5λ，AB=8λ，
∴AH=4λ，HE=λ，
在Rt△ACH中，由勾股定理得CH=3λ，
25
∴OH=OC-CH= -3λ，
6
在Rt△HCE中，由勾股定理得CE2=HC2+HE2=9λ2+λ2=10λ2，
∴CE=√10λ，
在Rt△HOA中，由勾股定理得，
OA2=AH2+OH2，
25 25
即（ ）2=（4λ）2+（ -3λ）2，
6 6
解得λ=1，
∴CE=√10λ=√10，
故答案为：√10．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理等知识，关键通过设AE=4λ，
能根据已知条件表示出OA、AH、OH的长度，用勾股定理建立方程解答．
17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=121°，则∠BOD的度数为 ．
【答案】118°/118度
【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理【分析】根据圆的内接四边形对角互补得到∠A=180°−121°=59°，根据圆周角定理即可得到
∠BOD=2∠A的度数．
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD=121°
∴∠A=180°−121°=59°，
∴∠BOD=2∠A=2×59°=118°，
故答案为：118°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．
4
18．如图，已知直线y= x+4分别交x轴、y轴于点A，B，P是以C(2,0)为圆心，2为半径的圆上
3
一动点．求△PAB面积的最小值 ．
【答案】5
【知识点】求一点到圆上点距离的最值、用勾股定理解三角形、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】连接BC，过点C作CH⊥BA于H，由一次函数的性质可求AO=3，BO=4，由勾股定理
4
可求AB，由面积法可求CM的长，即可求圆C上点到直线y= x+4的最小距离，即可求解．
3
【详解】解：如图，连接BC，过点C作CH⊥BA于H，
4
∵ y= x+4 x y A B
3
直线 分别交 轴、 轴于点 ， ，
∴点B(0,4)，点A(−3,0)
∴AO=3，BO=4，
∴AB=√AO2+BO2=√9+16=5，1 1
∵S = ×AB×CH= ×AC×BO，
ΔABC 2 2
∴5CH=20，
∴CH=4，
4
∴圆C上点到直线y= x+4的最小距离是4−2=2，
3
1
∴ΔPAB面积的最小值= ×5×2=5．
2
故答案为：5．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的应用，三角形的面积，点到直线的距离公式的
应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离．
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，直径AB=6，∠ADC=140°，则劣弧
BD的长为 ．
7
【答案】 π
3
【知识点】已知圆内接四边形求角度、求弧长
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，求出∠ABC，利用角平分线和等边对等角，求出∠DOB，
再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=140°，
∴∠ABC=180°−∠ADC=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=20°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=20°，
∴∠DOB=180°−∠ODB−∠OBD=180°−20°−20°=140°，
∵直径AB=6，
140 7
∴B´D= π×3= π；
180 3
7
故答案为： π．
3
【点睛】本题考查圆内接四边形，以及弧长公式．熟练掌握圆内接四边形的对角互补，以及弧长公式，是解题的关键．
20．如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于点E，点F为⊙O上一点，点D关于CF的对称点G
恰好在直径AB上，连接CG，DG，AF，DB．
（1）若∠F=70°，AB=4，则A´D的长为 (结果保留π)．
（2）若DB=√6，AE：BE=5：1，则¿= ．
14π 14
【答案】 / π √15
9 9
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形
【分析】（1）连接OD，OC，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠F=140°，再利用垂径定理可
得A´C=A´D，从而可得∠AOC=∠AOD=140°，然后利用弧长公式进行计算，即可解答；
（2）连接AD，根据已知可得AB=6BE，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，
根据垂直定义可得∠DEB=90°，从而可得∠ADB=∠DEB=90°，然后证明△BED∽△BDA，
从而利用相似三角形的性质可求出BE的长，进而求出AE的长，再在Rt△BED中，利用勾股定理求
出DE的长，根据轴对称的性质可得CG=CD，最后根据已知易得AB是CD的垂直平分线，从而可
得GC=GD，进而可得△GCD是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得∠GDC=60°，从而
在Rt△GED中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】（1）连接OD，OC，
∵∠F=70°，
∴∠AOC=2∠F=140°，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴A´C=A´D，
∴∠AOC=∠AOD=140°，
∵AB=4，⏜ 的长=
140π⋅2
=
14
π，
∴AD
180 9
14
故答案为： π；
9
（2）连接AD，
∵AE：BE=5：1，
∴AB=6BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB⊥CD，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADB=∠DEB=90°，
∵∠ABD=∠EBD，
∴△BED∽△BDA，
BD BE
∴ = ，
BA BD
∴BD2=BE⋅BA，
∵BD=√6，
∴（√6）2=BE⋅6BE，
解得：BE=1或BE=−1（舍去），
∴AE=5BE=5，
在Rt△BED中，DE=√BD2−BE2=√（√6）2−12=√5，
∵点D关于CF的对称点G恰好在直径AB上，
∴CG=CD，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴GC=GD，
∴CG=CD=GD，∴△GCD是等边三角形，
∴∠GDC=60°，
在Rt△GED中，¿=DE⋅tan60°=√15，
故答案为：√15．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，轴对称的性质，根据题目的已知条件并结
合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，∠ABC=24°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，
若点E在BD的垂直平分线上，则∠C的度数为 ．
【答案】33°/33度
【知识点】垂径定理的实际应用、线段垂直平分线的性质
⏜ ⏜
【分析】过点E作EF⊥BD于点F，由点E在BD的垂直平分线上可知
BE=DE
，直线EF必过圆心，
再根据直角三角形的性质求出∠BOF的度数；根据∠ABC=24°得出∠AOE的度数，根据等腰三
角形的性质得出∠CEF的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：过点E作EF⊥BD于点F，连接AD，
∵点E在BD的垂直平分线上，
⏜ ⏜
∴BE=DE
，直线EF必过圆心，EF⊥BD，
∵∠ABC=24°，
∴∠BOF=∠AOE=∠BAD=66°，
∵AO=OE，
1
∴∠OEA= (180°−66°)=57°，
2
∴∠C=180°−90°−∠OEA=180°−57°−90°=33°．
故答案为：33°【点睛】本题考查了垂径定理以及垂直平分线的性质．解题的关键是知道题干的条件可得点E在BD
的垂直平分线上．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC到E且∠DCE=66°，则∠A的度数是 ．
【答案】66°
【知识点】已知圆内接四边形求角度
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠BCD=180°，根据邻补角的概念得到
∠BCD+∠DCE=180°，得到∠A=∠DCE，进而得到答案．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠A=∠DCE，
∵∠DCE=66°，
∴∠A=66°，
故答案为：66°．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、邻补角的概念，掌握圆内接四边形的对角互补是解题
的关键．
23．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的
中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB=4m，CD=6m，则⊙O的半径长为 m．
10 1
【答案】 /3
3 3
【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形
【分析】连接OA，先根据垂径定理、线段中点的定义可得OC⊥AB,AC=2m，设⊙O的半径长
为rm，则OA=OD=rm，OC=(6−r)m，再在Rt△AOC中，利用勾股定理即可得．【详解】解：如图，连接OA，
∵C是⊙O中的弦AB的中点，且AB=4m，
1
∴OC⊥AB，AC= AB=2m，
2
设⊙O的半径长为rm，则OA=OD=rm，
∵CD=6m，
∴OC=CD−OD=(6−r)m，
在Rt△AOC中，OC2+AC2=OA2，即(6−r) 2+22=r2，
10
解得r= ，
3
10
即⊙O的半径长为 m，
3
10
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
24．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝72°，则∠DCE＝ °．
【答案】72
【知识点】已知圆内接四边形求角度
【分析】根据圆内接四边形对角和为180°再结合补角的性质即可得到∠DCE=∠A．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°
∵∠BCD+∠DCE=180°
∴∠DCE=∠A=72°，
故答案为：72．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和补角性质，掌握圆这些是本题关键．
25．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为A´N上一
点，且A´C=A´M，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①∠MAN=90°；②
1
A´M=B´M；③∠ACM+∠ANM=∠MOB；④AE= MF．其中正确结论的序号是 ．
2
【答案】①②③④
【知识点】圆周角定理、利用垂径定理求值
【分析】根据MN是直径可判断①正确；根据AB⊥MN，垂径定理得出②③正确，结合①③得出④
正确即可．
【详解】解：∵MN是⊙O的直径，
∴∠MAN=90°，故①正确；
∵AB⊥MN，
∴AD=BD，
∴A´M=B´M，故②正确；
∵A´C=A´M，
∴A´C=A´M=B´M，
∴∠ACM+∠ANM=∠MOB，故③正确；
∵∠MAE=∠AME，
∴AE=ME，
∴∠MAE=∠AME，
∵∠MAN=90°，
∴∠ANM+∠AMN=90°，
∵∠AFM=∠ANM+∠FMN
∴∠AFM+∠AMF=90°，
又∠FAE+∠MAE=90°，且∠MAE=∠AME
∴∠EAF=∠AFM，
∴AE=EF，
1
∴AE= MF，故④正确．
2正确的结论是①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，
熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题
26．如图，AB是⊙O的直径，半径为2，⊙O交BC于点D，且D是BC的中点，DE⊥AC于点
E，连接AD．
(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)若∠C=30°，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)4√3
【知识点】证明某直线是圆的切线、圆周角定理、与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角
形
【分析】（1）连接OD，根据中位线性质得出OD∥AC，根据DE⊥AC，得出OD⊥DE，即可
证明DE是⊙O的切线；
（2）根据直径所对的圆周角为直角得出∠ADB=90°，证明AD为BC的垂直平分线，得出
AC=AB，根据勾股定了求出BD=√AB2−AD2=2√3，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，如图，∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴OD为△BCA的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵D是BC的中点，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴AC=AB，
∴∠B=∠C=30°，
∵AB是⊙O的直径，半径为2，
∴AB=4，
1
在Rt△ADB中，AD= AB=2，
2
∴BD=√AB2−AD2=2√3，
∴BC=2BD=4√3．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，切线的判定，平行线的性质，垂直平分线的性质，
中位线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
27．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°.D A´B
（Ⅰ）如图①，若 为 的中点，
求∠ABC和∠ABD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP//AC，求∠OCD的大小.
【答案】（1）52°，45°；（2）26°
【知识点】圆周角定理、 求圆弧的度数、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【详解】分析：（Ⅰ）运用直径所对的圆周角是直角以及圆周角的度数等于它所对弧的度数求解即
可；
（Ⅱ）运用圆周角定理求解即可.
详解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.
∴∠BAC+∠ABC=90°.
又∴∠BAC=38°，∴∠ABC=90°−38°=52°.
由D为A´B的中点，得A´D=B´D.
1
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=45° .
2
∴∠ABD=∠ACD=45°.
（Ⅱ）如图，连接OD.
∵DP切⊙O于点D，
∴OD⊥DP，即∠ODP=90°.
由DP//AC，又∠BAC=38°，
∴∠AOD是△ODP的外角，
∴∠AOD=∠ODP+∠P=128°.
1
∴∠ACD= ∠AOD=64° .
2
又OA=OC，得∠ACO=∠A=38°.∴∠OCD=∠ACD−∠ACO=64°−38°=26°.
点睛：本题考查了圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关
键．
28．如图， 已知四边形ABCD内接于⊙O， 对角线AC，BD交于点 E， AC=BD，AC⊥BD
．
(1)猜想∠ACB的度数， 并说明理由．
(2)若⊙O的半径为10，∠BCD=60°，求四边形ABCD的面积．
(3)若过圆心O作 OF⊥BC于点F，求证： AD=2OF．
【答案】(1)∠ACB=45°，理由见解析
(2)四边形ABCD的面积为150
(3)证明见解析
【知识点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的相
关计算、圆周角定理．综合运用以上知识是解题的关键．
（1）证明四边形OMEN为正方形，则EN=EM，得到△BCE为等腰直角三角形即可求解；
1
（2）由四边形ABCD的面积= ×BD⋅AC即可求解；
2
（3）证明△BFO≌△OKA(AAS)，得到FO=AK即可求解．
【详解】（1）解：∠ACB=45°， 理由如下：
作OM⊥AC，NO⊥BD，∵ AC=BD
，
1 1
则ON=OM，BN= BD= AC=CM，
2 2
则四边形OMEN为正方形，则EN=EM，
∴ BE=BN+NE=EM+CM=EC，
∴ △BCE为等腰直角三角形，
∴ ∠ACB=45°．
（2）连接OA、OD，
∵ ∠BCD=60°
，
∴ ∠BOD=120°，
∴ ∠BON=60°，
∴ BD=2BN=2OB⋅sin∠BON=10√3=AC，
1 1
∴四边形ABCD的面积为： ×BD⋅AC= ×10√3×10√3=150．
2 2
（3）证明：∵ BE=CE，AC=BD，∠AED=90°，
∴ △AED为等腰直角三角形，
连接OE并延长交AD于点K，则OK⊥AD，
∴ AD=2AK，
∵ ∠ACB=45°
，
∴ ∠AOB=90°，∠AOK+∠BOF=90°，
∵ ∠BOF+∠BF=90°，
∴ ∠AOK=∠OBF，∵ ∠BFO=∠OKA=90°，OA=OB，
∴ △BFO≌△OKA(AAS)，
∴ FO=AK，
∴ AD=2OF．
29．在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙O与AB相交点D、E是BC的中点．
(1)判断ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为3，∠DEC=∠A，求D´C的长．
【答案】(1)相切；理由见解析
(2)2π
【知识点】求弧长、证明某直线是圆的切线、半圆（直径）所对的圆周角是直角、斜边的中线等于
斜边的一半
【分析】（1）连接OD，CD，再根据直径所对的圆周角是直角及直角三角形斜边上的中线性质证明
OD⊥DE即可；
（2）根据∠DEC=∠A证明三角形DEC是等边三角形，即可得到D´C的圆心角是120°，再根据弧
长公式计算即可．
【详解】（1）ED与⊙O相切．
理由：连接OD，CD．
∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°，
在Rt BDC中，E为BC的中点，
∴DE=△EC，
∴∠3=∠2，
又∵OD=OC，∴∠1=∠4，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ODE=∠3+∠4=90°，
∴ED与⊙O相切；
（2）∵∠A+∠1=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠2，
∵∠DEC=∠A，
∴∠2=∠3=∠DEC=60°，
∴∠A=60°，
∴∠DOC=2∠A=120° ，
120π×3
∴弧DC的长= =2π．
180
【点睛】本题考查圆的性质及弧长公式，熟记直径所对的圆周角是直角、切线的证明、弧长公式是
解题的关键．
30．如图1，已知AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，D是弧BC上的动点（不含点B，C），连
接AC，作BE⊥射线CD于点E．
(1)猜想∠BDE的度数，并说明理由
(2)连接OD，若OD∥AC，求证：CD=√2DE．
(3)如图2，作正方形OBFC，连接OE，EF，OE交BD于点G．若OG=√2GE，EF=√2，求BE
的长．
【答案】(1)∠BDE=45°，理由见解析；
(2)见解析
(3)BE=2√2+2．
【知识点】已知圆内接四边形求角度、正方形性质理解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质
和判定
【分析】（1）先证明△OAC是等腰直角三角形，推出∠A=45°，再根据圆内接四边形的性质以及
邻补角的定义即可求解；
（2）证明△BDE是等腰直角三角形，推出BD=√2DE，再证明∠COD=∠BOD=45°，利用圆心角、弦的关系即可证明CD=√2DE；
（3）连接BC，证明OE是线段BD的垂直平分线，设EG=DG=BG=a，得到OG=√2GE，
OG=√2a，OE=√2a+a，利用正方形的性质求得BF=OB=√3a，BC=OF=√6a，证明B、E、
F、C四点共圆，推出∠FEO=90°，利用勾股定理列式计算求得a的值，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：∠BDE=45°，理由如下，
∵半径OC⊥AB，且OA=OC，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠A+∠CDB=180°，
∵∠BDE+∠CDB=180°，
∴∠BDE=∠A=45°；
（2）证明：如图，
∵BE⊥DE，∠BDE=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=√2DE，
∵半径OC⊥AB，OD∥AC，
∴∠COD=∠BOD=45°，
∴CD=BD=√2DE；
（3）解：连接BC，
由（2）得△BDE是等腰直角三角形，
∴ED=EB，
又∵OD=OB，∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴EG=DG=BG，
设EG=DG=BG=a，
∵OG=√2GE，
∴OG=√2a，
∴OE=√2a+a，
∵四边形OBFC是正方形，
∴BF=OB=√BG2+OG2=√a2+(√2a) 2=√3a，
∴BC=OF=√2OB=√6a，
∵∠CFB=∠CEB=90°，
∴B、E、F、C四点共圆，
∴∠CEF=∠CBF=∠CFO=∠CEO=45°，
∴∠FEO=90°，
∴EF2+OE2=OF2，即(√2) 2+(√2a+a) 2=(√6a) 2 ，
2 2
a2= =
整理得 ，
3−2√2 (√2−1) 2
√2 √2(√2+1)
∴a= = =2+√2(负值已舍)，
√2−1 (√2−1)(√2+1)
∴BE=√2a=2√2+2．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和
性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
31．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
(1)求证：DE是⊙O的切线：
(2)若∠C=30°，CD=2√3，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
3√3 2π
(2) −
2 3【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、求其他不规
则图形的面积
【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，圆周角定理，含30度角的直角三角形的
性质，等边三角形的性质与判定等等：
（1）连接OD，根据AB=AC得到∠ABC=∠ACB，结合OB=OD=r得到∠ABC=∠ODB即可
得到∠ACB=∠ODB，从而得到OD∥AC，即可得到证明；
（2）连接AD，由AB为直径，得到∠ADB=∠ADC=90°，进而求出AD=2，AC=4，再求出
DE=√3，CE=3，则AE=1，CD=2√3，证明△AOD是等边三角形，得到OD=AD=2，最后根
据S =S −S 进行求解即可得到答案．
阴影 梯形OAED 扇形AOD
【详解】（1）证明：如图所示，连接OD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图所示，连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠C=30°，CD=2√3，
√3
∴AD= CD=2，AC=2AD=4，
3
∵DE⊥AC，
1
∴DE= CD=√3，CE=√3DE=3，
2
∴AE=1，CD=2√3，∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠AOD=2∠B=60°，
又∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD=AD=2，
∴S =S −S
阴影 梯形OAED 扇形AOD
2+1 60π×22
= ×√3−
2 360
3√3 2π
= − ．
2 3
32．如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥OC．
(1)求证：∠ACB+∠BOC＝90°；
(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长度．
【答案】(1)证明见解析；(2)BC＝6．
【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题
【分析】(1)根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠ACB，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出
∠ABO＝∠BAO，∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°，即可得出答案；
(2)求出 BOC≌△DOC，根据全等三角形的性质得出BC＝CD，根据勾股定理求出CD即可．
【详解】△(1)证明：∵圆弧AB对的圆周角是∠ACB，对的圆心角是∠AOB，
∴∠AOB＝2∠ACB，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO，
∵AB∥OC，∴∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°，
∴∠BAO+∠AOB+∠BOC＝180°，
即2∠ACB+2∠BOC＝180°，
∴∠ACB+∠BOC＝90°；
(2)延长AO交⊙O于D，连接CD，
则∠ACD＝90°，
由勾股定理得：CD＝√AD2−AC2 ＝√(5+5) 2−82 ＝6，
∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠ABO，∠COD＝∠BAO，
∵∠BAO＝∠ABO，
∴∠BOC＝∠COD，
在 BOC和 DOC中
¿ △ △
∴△BOC≌△DOC(SAS)，
∴BC＝CD，
∵CD＝6，
∴BC＝6．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周
角定理，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．
8 17
33．如图1，在⊙O中，AB为直径，点C在圆上，tan∠A= ，AB= ，D是AB上一动点（与
15 2
点A、B不重合），DE平分∠CDB交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
(1)当点D与圆心O重合时，如图2所示，则DE= ；(2)若CD2=CE⋅CB，试探究△BDE与△≝¿有何面积关系，并证明；
(3)当△CEF与△ABC相似时，求cos∠BDE的值．
15
【答案】(1)
4
(2)S =2S ，证明见解析
ΔBDE ΔDEF
√2 15
(3) 或
2 17
【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、全等三角形综
合问题
17
【分析】（1）设BC=8x,AC=15x，由勾股定理得出AB=√BC2+AC2=17x，则17x= ，可
2
求出BC=4，证出∠A=∠BDE，根据tan∠BDE可求出答案；
（2）证明△DCE∼△BCD，由相似三角形的性质得出∠CDE=∠CBD，证出DE=BE，过点E
作EG⊥DB于G，利用HL证明Rt△≝≅Rt△DEG，由全等三角形的性质得出DF=DG，证出
BD=2DG=2DF，根据三角形面积公式可得出答案；
（3）分两种情况：①当△CEF∼△ABC时，可证得∠CDB=90°，再根据DE平分∠CDB，可得
∠BDE=45°，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当△CEF∼△BAC时，则
∠ECF=∠ABC，得出DC=DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠BDE=∠A，
利用三角函数定义即可求得答案．
【详解】（1）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
8
∵tan∠A= ，
15
BC 8
∴ = ，
AC 15
设BC=8x,AC=15x，
∴AB=√BC2+AC2=17x，
17
∴17x= ，
2
1
∴x= ，
2
∴BC=4，
∵点D与圆心O重合
∴DC=DB，
∵DE平分∠CDB，∴DE⊥BC,CE=BE，
1
∴BE=CE= BC=2，
2
∵DE⊥BC,AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴∠A=∠BDE，
BE 8
∴.tan∠BDE= =tan A= ，
DE 15
2 8
∴ = ，
DE 15
15
∴DE= ．
4
15
故答案为： ；
4
（2）S =2S
ΔBDE ΔDEF
证明：∵CD2=CE⋅CB，
CD CB
∴ = ，
CE CD
又∵∠DCB=∠ECD，
∴△DCE∽△BCD，
∴∠CDE=∠CBD，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE=∠BDE，
∴∠EDB=∠CBD，
∴DE=BE，
过点E作EG⊥DB于G，
∴DG=BG，
∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，
∴EF=EG，
∵DE=DE，∴Rt△≝≌Rt△DEG，
∴DF=DG，
∴BD=2DG=2DF，
1 1
∵S = DF⋅EF,S = BD⋅EG，
ΔDEF 2 ΔBDE 2
∴S =2S ．
△BDE △≝¿¿
（3）∵EF⊥CD，
∴∠CFE=90°=∠ACB，
∵△CEF与△ABC相似，
∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，
①当△CEF∽△ABC时，
则∠ECF=∠BAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠ECF+∠ABC=90°，
∴∠CDB=90°，
∵DE平分∠CDB，
1 1
∴∠BDE= ∠CDB= ×90°=45° ，
2 2
√2
∴cos∠BDE=cos45°=
；
2
②当△CEF∽△BAC时，
则∠ECF=∠ABC，
∴DC=DB，
∵DE平分∠CDB，
∴DE⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴DE∥BC，
∴∠BDE=∠A，
8
∵tan∠A= ，
15
AC 15
∴cosA= = ，
AB 17
15
∴cos∠BDE= ．
17√2 15
综上所述，cos∠BDE的值为 或 ．
2 17
【点睛】本题是圆的综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三
角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，锐角三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似
三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．
34．如图，在▱ABCD中，连接AC，作△ABC的外接圆⊙O，AD是⊙O的切线，连接AO交
BC于点F，延长AO、DC交于点E．
(1)求证：AC=DC；
(2)若AD=8,AB=5，求AE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【知识点】利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理
【分析】（1）连接OB、OC，由切线的性质证明OA⊥AD．由平行四边形的性质得到
AD∥BC,AB∥CD,AB=CD,AD=BC， 则OA⊥BC，由垂径定理得到AB=AC，即可得到
结论；
（2）由垂径定理得到BF=CF=4，由勾股定理得到AF=√AB2−BF2=3，证明△ABF∽△ECF，
进一步得到AF=EF=3，即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接OB、OC，如图．
∵AD ⊙O
是 的切线，
∴OA⊥AD
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD,AD=BC，
∴OA⊥BC．
∴AB=AC，
∴AC=DC
（2）解：∵OA⊥BC，BC=AD=8，∴BF=CF=4，
∴AF=√AB2−BF2=3
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠ECF,∠BAF=∠CEF
∴△ABF∽△ECF
AF BF
∴ = =1
EF CF
∴AF=EF=3，
∴AE=6
【点睛】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、垂径定理、平行四边形的性质、勾股
定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、垂径定理是解题的关键．
35．已知⊙O的直径是4，弦BD=2√3，点F是弦BD上一动点，过点F作BD的垂线，交优弧BD
于点A、交劣弧BD于点E，连接AD，过点B作BG⊥AD分别交AF于点G、交AD于点H、交
⊙O于点C．
(1)当点F在弦BD的中点处时，在图1补全图，∠DAF=__________°，AG=__________；
(2)如图2，当点F在弦BD上运动时，线段AG的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，
求出AG的长度并说明理由．
(3)如图3，若BD的中点为点P，求线段PG长度的最小值．
【答案】(1)60；2
(2)线段AG的长度不发生变化，为定值2，理由见解析
(3)1
【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理、求一点到圆上点距离的最值、等边三角形的判
定和性质
【分析】（1）先根据题意补全图形，如图所示，连接AB，OB，OD，OF，由三线合一定理得
到OF⊥BD，则可证明A、O、F三点共线，AF垂直平分BD，得到AB=AD ，解Rt△ODF中，
得到∠DOF=60°，则由圆周角定理可得∠DAF=30°，解直角三角形得到OF=1，再证明△ABD
是等边三角形，由BH⊥AD，且点G是BH和AF的交点，得到点G和点O重合，则AG=OA=2；（2）如图所示，连接AB，连接DG并延长交AB于P， 先证明点G是△ABD的垂心，得到
DP⊥AB，由（1）可得∠BAD=60°，由三角形内角和定理可证明∠GAP=∠GDF，
DH
∠GBF=∠GAH，进而推出∠BGD=120°，则∠DGH=60°，解Rt△DGH得到 =√3，再
GH
DH GH BD DH √3
由sin∠HAG=sin∠HBD，得到 = ，则 = =√3，可得AG= BD=2，则线段
BD AG AG GH 3
AG的长度不发生变化，为定值2；
（3）如图所示，在BD下方作QB=QB且∠BQD=120°，连接PQ，PG，QG，BQ，DQ，
由（2）得∠BGD=120°，则点G在以点Q为圆心，BQ的长为半径的圆上运动，解直角三角形求
出BQ=2，PQ=1，再由PG≥QG−QP=2−1=1，可得答案．
【详解】（1）解：补全图形如下：
如图所示，连接AB，OB，OD，OF，
∵OB=OD，点F为BD的中点，
∴OF⊥BD，
∵AF⊥BD，
∴A、O、F三点共线，AF垂直平分BD，
∴AB=AD
1
在Rt△ODF中，OD=2，DF= BD=√3，
2
D √3
∴sin∠DOF= = ，
OD 2
∴∠DOF=60°，
1 DF √3
∴∠DAF= ∠DOF=30°，OF= = =1，
2 tan∠DOF tan60°
同理可得∠BAF=30°，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵BH⊥AD，且点G是BH和AF的交点，∴点G和点O重合，
∴AG=OA=2；
故答案为：60；2；
（2）解：线段AG的长度不发生变化，为定值2，理由如下：
如图所示，连接AB，连接DG并延长交AB于P，
∵AF⊥BD，BH⊥AD，且AF，BH交于点G，
∴点G是△ABD的垂心，
∴DP⊥AB，
由（1）可知弦BD所对的优弧上的圆周角度数为60°，
∴∠BAD=60°，
∵∠APG=∠DPG=90°，∠AGP=∠DGF，
∴∠GAP=∠GDF，
同理∠GBF=∠GAH，
∴∠GBF+∠GDF=∠GAP+∠GAH=∠PAH=60°，
∴∠BGD=180°−∠GBD−∠GDB=120°，
∴∠DGH=60°，
DH
在Rt△DGH中，tan∠DGH=tan60°= =√3，
GH
GH
在Rt△AHG中，sin∠HAG= ，
AG
DH
在Rt△BDH中，sin∠HBD= ，
BD
又∵∠HAG=∠HBD，
DH GH
∴sin∠HAG=sin∠HBD，即 = ，
BD AG
BD DH
∴ = =√3，
AG GH
√3
∴AG= BD=2，
3
∴线段AG的长度不发生变化，为定值2；（3）解：如图所示，在BD下方作QB=QB且∠BQD=120°，连接
PQ，PG，QG，BQ，DQ，
由（2）得∠BGD=120°，
∴点G在以点Q为圆心，BQ的长为半径的圆上运动，
∵点P为BD的中点，
∴PQ⊥BD，∠BQP=60°，
BP √3 BP √3
∴BQ= = =2，PQ= = =1，
sin∠BQP sin60° tan∠BQP tan60°
∵PG≥QG−QP=2−1=1，
∴当P、Q、G三点共线时，PG有最小值，最小值为1．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形重合，圆周角定理，解直角三角形，一点到圆上一点的最值问
题，等边三角形的性质与判定等等，证明∠BGD=120°是解题的关键．
【能力提升】
36．已知CD为⊙O的直径，A、B为⊙O上两点，点C为劣弧AB中点，连接DA、BA、AC，且
∠B=30°．(1)求证：∠D=30°；
(2)F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DF=AG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH，
请猜测AF与CH之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)AF=2CH，理由见解析
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、同弧或等弧所对的圆周角相等、利用垂径定理求值、
等边三角形的判定和性质
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等，可直接得出∠D=∠B=30°；
（2）过点O作OP∥CH交AC延长线于点P．由垂径定理可得∠ACD=∠BCD，CD⊥AB，结
合题意即得出∠ACD=∠BCD=60°，即证明△OCA为等边三角形，从而可求
∠PCO=∠FOA=120°．又可求出FO=CG，HO=HG．根据平行线分线段成比例可得出
GH GC
= ，从而可推出OF=CP．即易证△FOA≅△PCO(SAS)，推出AF=OP．最后根据三
HO CP
角形中位线定理即可得出答案．
【详解】（1）∵A´C=A´C，
∴∠D=∠B=30°；
（2）AF=2CH，理由如下：
如图，过点O作OP∥CH交AC延长线于点P．
∵点C为劣弧AB中点，CD为⊙O的直径，
∴∠ACD=∠BCD，CD⊥AB．
∵∠B=30°，
∴∠ACD=∠BCD=60°．
∵OA=OC，
∴△OCA为等边三角形，
∴∠PCO=∠FOA=120°．
∵DF=AG，DO=CA，
∴FO=CG．∵H为OG中点，
∴HO=HG．
∵OP∥CH，
GH GC
∴ = ，
HO CP
∴CG=CP，
∴OF=CP．
在△FOA与△PCO中，¿
∴△FOA≅△PCO(SAS)，
∴AF=OP．
∵C为PG中点，H为OG中点，
∴CH为△POG中位线，
1
∴CH= OP，
2
∴AF=2CH．
【点睛】本题为圆的综合题，考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，平行线分线
段成比例，三角形全等的判定和性质以及三角形中位线定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
37．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为E´B的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的
延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE=3，DE=1，DC=2，求⊙O的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)2.5
【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理
【分析】（1）连接OC，由等弧所对的圆周角相等得出∠EAC=∠BAC，根据同圆的半径相等得
出∠BAC=∠OCA，于是有∠EAC=∠OCA，可得出AE∥OC，再根据CD⊥AE，即可得出
OC⊥DF，从而问题得证；
（2）连接CE，BC，先根据相似三角形的判定和性质求出AD的长，然后由勾股定理求出AC、CE
的长，再根据等弧所对的弦相等得出BC=CE，在Rt△ACB中根据勾股定理求出AB的长，即可求出⊙O的半径．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵ C E´B
点 为 的中点，
∴ E´C=B´C，
∴∠EAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠EAC=∠OCA，
∴AE∥OC，
∴∠ADC=∠OCF，
∵CD⊥AE，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCF=90°，
即OC⊥DF，
又OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接CE，BC，
由（1）知∠EAC=∠BAC，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC=180°−∠AEC=∠CED，∵AB为⊙O的直径，∴
∠ACB=∠D=90°，∴∠ABC=∠ACD=90°−∠BAC=90°−∠EAC，∴∠CED=∠ACD，
∴△CDE∽△ADC，
∴CD2=DE⋅AD，
∵DE=1，DC=2，
∴AD=4，在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=√AD2+CD2=√42+22=2√5，
在Rt△DCE中，由勾股定理得CE=√CD2+DE2=√22+12=√5，
∵点C是E´B的中点，
∴ E´C=B´C，
∴EC=BC=√5，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得AB=√AC2+BC2=√(2√5) 2+(√5) 2=5，
∴⊙O的半径长是2.5．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理，
弧、弦之间的关系定理，熟练掌握这些定理是解题的关键．
38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O交AB于点F，
连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE，CE=BC．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若CD=2，BC=4，求AF的长．
【答案】(1)证明见解析；
12√5
(2)AF= ．
5
【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、证明某直线是圆的切线、相似三
角形的判定与性质综合
【分析】（1）连接OE，由OE=OD得∠OED=∠ODE，进而得∠OED=∠BDC，又由
CE=BC得∠CEB=∠CBE，即可由∠BDC+∠CBE=90°得到
∠OEC=∠OED+∠CEB=∠BDC+∠CBE=90°，据此即可求证；
（2）由∠OEC=90°得OE2+CE2=OC2，即可得OD2+42=(OD+2) 2，得到OD=3，进而得
AF AD
AD=6，AC=AD+CD=8，AB=4√5，连接DF，证明△AFD∽△ACB，得到 = ，据此
AC AB即可求解；
此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定定理，圆周角定理，勾股
定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接OE，则OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∵∠ODE=∠BDC，
∴∠OED=∠BDC，
∵CE=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
∵∠ACB=90°，
∴∠BDC+∠CBE=90°，
∴∠OEC=∠OED+∠CEB=∠BDC+∠CBE=90°，
即CE⊥OE，
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OEC=90°，
∴OE2+CE2=OC2，
∵CD=2，BC=4，OE=OD，
∴CE=BC=4，OC=OD+CD=OD＋2，
∴OD2+42=(OD+2) 2，
解得OD=3，
∴AD=2×3=6，
∴AC=AD+CD=6+2=8，
∴AB=4√5
∴连接DF，
∵AD是直径，
∴∠AFD=∠ACB=90°，
∵∠DAF=∠BAC，∴△AFD∽△ACB，
AF AD
∴ = ，
AC AB
AF 6
∴ = ，
8 4√5
12√5
∴AF= ．
5
39．如图，已知线段AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，AB⊥CD于点E，AE=7BE=7．
延长CD至点F，使EF=CE，连结AC，AF．G为线段DF上一点，分别延长CB，AG交于点H，
连结FH．
(1)求证：△ACF是直角三角形．
FG
(2)当线段FH与△AEC的一边平行时，求 的值．
CG
(3)记AH与⊙O交于点P，当P为A´B的中点时，求AH的长．
【答案】(1)见解析
FG 1 FG 1
(2) = 或 =
CG 8 GC 4
56
(3)AH= √5
13
【知识点】根据平行线判定与性质证明、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、解直角三角形
的相关计算
【分析】(1)由题意得A´B=C´D，则有A´D=B´C，得∠BAC=∠ACD，结合垂直可得∠BAC=45°，
进一步得到∠FAB=∠CAB，即可证明垂直；
EB CE FG FH
(2)由已知得AE=EC=7，BE=1，①若FH∥AE，有 = ，求得FH=2，由 = ，求
FH CF GE AE
得FG,≥¿即可；②若FH∥AC，作HK⊥FC，则∠KFH=∠ACF=45°，设FK=KH=a，则
EB CE FG FH
有 = 解得a，利用 = 即可．
KH CK GC AC
(3)连结OP，OA，延长AB作HI⊥AB于点I，作ON⊥CD交于点N，可得OP⊥AB交于点M，
AM=MB=DN=NC=4，进一步得到EN=ME=OM=3，利用勾股定理求得OP=OA，有1 BI BE
PM=OP−OM，则tan∠PAM= ，结合 = ，设BI=x，HI=7x，则AI=8+x，由
2 HI EC
HI
tan∠PAM= ，解得x，根据勾股定理得AH=√5HI即可．
AI
【详解】（1）解：∵AB=CD，
∴A´B=C´D，
∴A´D=B´C，
∴∠BAC=∠ACD．
∵AB⊥CD，
∴∠BAC=45°，
∵EF=CE，
∴∠FAB=∠CAB，
∴∠CAF=90°．
（2）由已知可得AE=EC=7，BE=1
①如图，若FH∥AE
则△CEB∽△CFH,△HGF∽△AGE
EB CE 1
∴ = = ，
FH CF 2
∴FH=2，
FG FH 2
∴ = = ，
GE AE 7
14 49
∴FG= ,≥= ,
9 9
FG 1
∴ = ．
CG 8
②如图，若FH∥AC，则△FGH∽△CGA，
作HK⊥FC，则∠KFH=∠ACF=45°，设FK=KH=a，
∴△EBC∽△KHC,
EB CE 1 7 7
∴ = = = ，解得a= ，
KH CK a 14−a 4
7
则FG FH √2a 4 1．
= = = =
GC AC 7√2 7 4
（3）连结OP，OA，延长AB作HI⊥AB于点I，作ON⊥CD交于点N，如图，
则HC∥BI,
∵P为A´B的中点，
∴OP⊥AB交于点M，AM=MB=DN=NC=4，
∵EC=AE=7，ED=EB=1，
∴EN=ME=OM=3，
∴OP=OA=√AM2+MO2=5，
∴PM=OP−OM=2，
1
则tan∠PAM= ，
2
∵∠HIB=∠ECB，
∴tan∠HIB=tan∠ECB,
BI BE 1
∴ = = ，
HI EC 7设BI=x，HI=7x，则AI=8+x，
HI 7x 1 8
∴tan∠PAM= = = ，解得x= ，
AI 8+x 2 13
8 56
∴AH=√5HI=7√5x=7√5× = √5．
13 13
【点睛】本题主要考查同弧所对的圆心角相等、垂直平分线的性质、平行线的性质、垂径定理、勾
股定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉平行线的性质和解直角三角形，且利用分类讨论思想．
40．已知：点C为⊙O的直径AB上一动点，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D和点E，连接AD、
BD，∠DBA的角平分线交⊙O于点F．
(1)若DF=BD，求证：GD=GB；
(2)若AB=2cm，在（1）的条件下，求DG的值；
AD+BD
(3)若∠ADB的角平分线DM交⊙O于点M，交AB于点N．当点C与点O重合时， =
DM
AD+BD
___________；据此猜想，当点C在AB（不含端点）运动过程中， 的值是否发生改变？若
DM
不变，请求其值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)见详解
√3
(2)DG= cm
3
(3)√2，不变，证明见详解
【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关
计算
【分析】（1）先由过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D和点E，则B´D=B´E，因为DF=BD，判断
出B´E=D´F，则∠1=∠2，即可得出结论；
1 1
（2）先求出∠1=∠2=∠3=30°，在Rt△BCD中，∠1=30°，则BC= BD= cm，在
2 2
CG BC √3 √3
Rt△BCG中，∠3=30°，得tan30°= ,CG= = cm，由（1）知，DG=BG= cm；
BC √3 6 3AD AN
（3）先判断出△MDA∽△MAN，得出 = ①，再判断出△MDB∽△MBN，得出
MD AM
BD BN
= ②，即可得出结论．
MD BM
【详解】（1）解：如图：
∵过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D和点E，
∴ B´D=B´E，
∵DF=BD，
∴ D´F=B´D，
∴ B´E=D´F，
∴∠1=∠2，
∴DG=BG；
（2）解：∵∠DBA的角平分线交⊙O于点F，
∴∠2=∠3，
由（1）知，∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3，
∵CD⊥AB
∵∠BCD=90°，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠4=90°−∠2−∠3=30°，
∵AB=2cm，
∴BD=1cm，
在Rt△BCD中，∠1=30°，
1 1
∴BC= BD= cm，
2 2
在Rt△BCG中，∠3=30°，CG BC √3
∴tan30°= ,CG= = cm，
BC √3 6
√3
∴BG=2CG= cm，
3
√3
由（1）知，DG=BG= cm；
3
AD+BD
（3）解： =√2，不变，证明如下：
MD
连接BM，
当点C和点O重合时，
∵过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D和点E，
∴∠DNA=90°，DM是圆O的直径=AB，
∴∠ADB=90°，
∵AO=OD，
∴∠DAB=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形
BD √2
∴sin45°= ,AD=BD= AB，
AB 2
AD+BD
∴ =√2；
DM
∵∠ADB的角平分线DM交⊙O于点M，交AB于点N，
∴∠ADM=∠BDM，
∵∠BDM=∠MAN，
∴∠ADM=∠MAN，
∵∠AMD=∠NMA，
∴△MDA∽△MAN，
AD MD
∴ = ，
AN AM
AD AN
∴ = ①
MD AM
同理得，△MDB∽△MBN，BD MD
∴ = ，
BN BM
BD BN
∴ = ②，
MD BM
∵∠ADM=∠BDM，∠ADB=90°，
∴∠ABM=∠BAM=45°，
∴AM=BM，AB=√2AM
AD BD AN BN
①+②得， + = + ，
MD MD AM BM
AD+BD AN+BN AB √2AM
∴ = = = =√2．
MD AM AM AM
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了解直角三角形，垂径定理，直角三角形的两个锐角互余，
圆周角定理，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出△MDA∽△MAN
是解本题的关键．
