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模型介绍
方法点拨
二、求线段之和的最小值
已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求
P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧：
过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即
为所求的点.
A C
A
m
P Q m P Q
B B
（2）点A、B在直线m同侧：
A E
B
A
B
m
P Q
m
P Q B'
过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，
即为P点，此时P、Q即为所求的点.例题精讲
【例1】．如图，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝ （Q在P的下
方），当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为 ．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），
（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标
为（ ）
A．（2，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（5，0）
【变1-2】．A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．
（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．
（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC＝40米，你能求出两村的最短
路程吗？若能，请求出来．【例2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝ x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，
点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关
于点A的对称点，当BP+PH+HQ值最小时，点P的坐标为 ．
变式训练
【变2-1】．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣ x+ 与x轴，y轴分别交于点A，B，Q为
△AOB内部一点，则AQ+OQ+BQ的最小值等于（ ）
A．2 B． C． D．
【变2-2】．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，
B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形
BDEF的周长最小时，点E的坐标为 ．1．如图，CD是直线y＝ x上的一条动线段，且CD＝2，点A（2+ ，1），连接AC、AD，则△ACD
周长的最小值是 ．
2．如图，在直角坐标系中，直线y＝ x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二
象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对
称点，则BP+PH+HQ的最小值为 ．3．如图，在平面直角坐标系中，有二次函数 ，顶点为H，与x轴交于A、B两点
（A 在 B 左侧），易证点 H、B 关于直线 l： 对称，且 A 在直线 l 上．过点 B 作直线
BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，则
HN+NM+MK的最小值为
4．如图，已知点A（4，0）、B（0，2），线段OA＝OC且点C在y轴负半轴上，连接AC．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图1，点P是直线CA上一点，若S△ABC ＝3S△ABP ，求满足条件的点P坐标；
（3）如图2，点M为直线l：x＝ 上一点，将点M水平向右平移6个单位至点N，连接BM、MN、
NC．求BM+MN+NC的最小值及此时点N的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝﹣ x+4，与x轴交于点C，直线l上有一点B的
横坐标为 ，点A是OC的中点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）在直线BC上有两点P、Q，且PQ＝4，使四边形OAPQ的周长最小，求周长的最小值；
（3）直线AB与y轴交于点H，将△OBH沿AB翻折得到△HBG，M为直线AB上一动点，N为平面内
一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M
的坐标，若不存在，说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝ 与x轴，y轴分别交于点A，D，直线l 与直线y＝
1 2
﹣ x平行，交x轴于点B（7，0），交l 于点C．
1
（1）直线l 的解析式为 ，点C的坐标为 ；
2
（2）若点P是线段BC上一动点，当S△PAB ＝ 时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），
且MN＝2，连接DM，PN，当四边形DMNP周长最小时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将OD绕O点顺时针旋转60°得到OG，点E是y轴上的一个动点，点F是直线
l 上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请
1
直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，直线l： 交x轴于点A，交轴y于点B，交直线m：y＝x+3于点C，直线m交x轴于
点D．
（1）求点A、点C的坐标；
（2）如图1，点E为第一象限内直线l上一点，满足△ACE的面积为6．
①求点E的坐标；
②线段PQ＝1（点P在点Q的上方）为直线x＝﹣1上的一条动线段，当EP+PQ+AQ的值最小时，求
这个最小值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将直线l绕点C旋转，在旋转过程中，直线 l交x轴于点M，是否存在某个时刻，使得
△CDM为等腰三角形？若存在，求出线段OM的长度；若不存在，请说明理由．
8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴交于点A，与直线l 交于点C，C点
2到x轴的距离CD为 ，直线l 交x轴于点B，且∠ABC＝30°．
2
（1）求直线l 的函数表达式；
2
（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为 ，连接CE、AF，当线
段CE+EF+AF有最小值时，求出此时点F的坐标，以及CE+EF+AF的最小值；
（3）如图3，将△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H重合，点C与点G重
合，将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为△B'G'H'，在平移过程中，设直线B'H'与x轴交于
点M，是否存在这样的点M，使得△B'MG'为等腰三角形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，
说明理由．
9．如图1，直线AB分别与x轴，y轴交于A，B两点，OA＝6，∠BAO＝30°，过点B作BC⊥AB交x轴于
点C．
（1）请求出直线BC的函数解析式．（2）如图1，取AC中点D，过点D作垂直于x轴的直线DE，分别交直线AB和直线BC于点F，E，过
点F作关于x轴的平行线交直线 BC于点G，点M为直线DE上一动点，作MN⊥y轴于点N，连接
AM，NG，当AM+MN+NG最小时，求M点的坐标及AM+MN+GN的最小值．
（3）在图2中，点P为线段AB上一动点，连接PD，将△PAD沿PD翻折至△PA'D，连接A'B，A'C，
是否存在点P，使得△A'BC为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l ：y＝﹣ x+ 与x轴交于点B，与直线l ：y＝ x+b
2 1
交于点C，C点到x轴的距离CD为2 ，直线l 交x轴于点A．
1
（1）求直线l 的函数表达式；
1（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为 ，连接CE、AF，当线
段CE+EF+AF有最小值时，求出此时点F的坐标以及CE+EF+AF的最小值；
（3）如图3，将△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H对应，点C与点G对
应，将△BGH沿着直线BC平移，平移后的三角形为△B′G′H′，点M为直线AC上的动点，是否存
在分别以C、O、M、G′为顶点的平行四边形，若存在，请求出 M的坐标；若不存在，说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D
在第二象限，且四边形AOCD为矩形．（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；
（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A
出发，沿线段AB以每秒 个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，
MH．设点P的运动时间为t秒．
①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；
②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如
果没有，请说明理由．
12．如图1，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝ x+4分别与x轴、y轴交于点A、点B，过点B作直线
1
l ⊥l 交x轴于点C，将直线l 沿y轴正方向平移2个单位得到直线l ，直线l 与直线l 交于点D．
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（1）求△ABC的面积；（2）如图2，点F在直线l 上，点F的纵坐标为7，点M、点N分别为直线l 、l 上的两个动点（点M
1 3 2
的横坐标小于点N的横坐标），且∠MNB＝30°，连接FM、NO，求FM+MN+NO的最小值；
（3）如图3，将△BOC绕着点（2，0）逆时针旋转90°得到△B'O′C'，作点B'关于直线C'O'的对称点
B″，设动点K在直线l ：y＝x﹣2上，点T在直线C′O′上，是否存在点K，使得△B″KT为等边三
4
角形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
13．阅读并解答下列问题；在学习完《中心对称图形》一章后，老师给出了以下一个思考题：如图 1，在
平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC，CD，
DB，求AC+CD+DB最小值．【思考交流】小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A ，作点B关于x轴的对称点B ，连
1 1
接A B 交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC．BD．此时AC+CD+DB的最
1 1
小值等于A B +CD．
1 1
小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A ，作点A 关于x轴的对称点A ，连接A B可以求
1 1 2 2
解．
小亮：对称和平移还可以有不同的组合…．
【尝试解决】在图2中，AC+CD+DB的最小值是 ．
【灵活应用】如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1），D
（a+2，0），连接AC，CD，DB，则AC+CD+DB的最小值是 ，此时a＝ ，并请在图5
中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y＝x图象上一点，
CD与y轴垂直且CD＝2（点D在点C右侧），连接AC，CD，AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是
，此时点C的坐标是 ．
14．已知抛物线C ：y＝ （x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，与y轴交于B（0，1）．
1
（1）求抛物线C 的解析式；
1
（2）如图1，平移直线AB交x轴于F，交y轴于E，交抛物线C 于点M、N，若ME＝NF，求直线EF
1的解析式；
（3）如图2，把抛物线C 向下平移4个单位的抛物线C 交x轴于C、D两点，交y轴于点G，在抛物线
1 2
C 的对称轴上一条动线段PQ＝1（P点在Q点上方），当四边形GCPQ的周长最小时，求P点坐标．
2
15．在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（5，0），连接AB．
（1）将绕点O按逆时针方向旋转，得到△OCD，（点A落到点C处），求经过B、C、D三点的抛物
线的解析式．
（2）现将（1）中抛物线向右平移两个单位，点C的对应点为E，点B的对应点为N，平移后的抛物线
与原抛物线相交于点F；P、Q为平移后抛物线对称轴上的两个动点，（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形PQFE的周长最小，求出P、Q两点的坐标．
16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）
两点，与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与
DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
