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模型介绍
方法点拨
一、求线段之和的最小值
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：
A A
m m
P
B B
（2）点A、B在直线同侧：
A
B
m
A P
B
m A'
A、A’ 是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：
A
A
m
B
n
m
P P'
B
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
A
m
A
m P
B
B n
Q
n B'
（3）两个点都在内侧：
A'
m
m A
A P
B
Q
B n
n B'
（4）、台球两次碰壁模型
n
A
A'
B
n
D
A
B m
E
m B'
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周
长最短.
变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.n
A'
n A
Q
A m
P
m A"
例题精讲
【例1】．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点
E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为 （ 3 ， ） ．
解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．
∵D（ ，0），A（3，0），
∴H（ ，0），
∴直线CH解析式为y＝﹣ x+4，
∴x＝3时，y＝ ，
∴点E坐标（3， ），
故答案为：（3， ）．变式训练
【变1-1】．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB＝4 ，点P是对
角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A．（1， ） B．（ ， ） C．（ ， ） D．（ ， ）
解：如图，连接AC交OB于K，作KH⊥OA于H．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥OB，A、C关于对角线OB对称，
∴PC＝PA，
∴PC+PD＝PA+PD，
∴当D、P、A共线时，PC+PD的值最小，
在Rt△OAK中，∵OK＝2 ，OA＝5，
∴AK＝ ＝ ，
∵KH⊥OA，
∴KH＝ ＝2，OH＝ ＝4，
∴K（4，2），
∴直线OK的解析式为y＝ x，
直线AD的解析式为y＝﹣ x+1，由 ，解得 ，
∴OB与AD的交点P′（ ， ），
∴当点P与P′重合时，CP+DP最短时，点P的坐标为（ ， ），、
故选：D．
【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐
标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最
小，则点P的坐标应为 （ ， 0 ） ．
解：点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，
此时MQ+EQ最小，
∵PQ＝2，DE＝CE＝2，AE＝ ，
∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝6﹣2﹣x＝4﹣x，
∵△MNQ∽△FCQ，
∴
∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝4﹣x，
∴ ，
解得：x＝ ，
∴BP＝6﹣2﹣ ＝ ，
故点P的坐标为：（ ，0）．
故答案为：（ ，0）．
【例2】．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），点B坐标为（4，1），点C在x轴上，点
D在y轴上，则以A、B、C、D为顶点的四边形的周长的最小值是 + ．
解：如图，作点A关于y轴的对称点A′，点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′交x轴于C，交y
轴于D，连接AD，CD，BC，AB，四边形ABCD的周长最小．由作图可知：AD＝DA′，BC＝CB′，A′（﹣1，3），B′（4，﹣1）
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD
＝AB+B′C+CD+DA′
＝AB+A′B′
＝ +
＝ + ，
故答案为 + ．
变式训练
【变2-1】．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是
线段AB，OA上的动点，则△CDE的周长的最小值是（ ）
A．4 B．10 C．4 D．12
解：作点C关于y轴的对称点C'，作点C关于y＝﹣x+7的对称点C''，连接C'C''，则△CDE的周长的最
小值为C'C''的长；
∵C（1，0），
∴C'（﹣1，0），
设C''（m，n），则有
＝﹣ +7， ＝1，
∴m＝7，n＝6，∴C''（7，6），
∴C'C''＝10；
故选：B．
【变2-2】．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 （k≠0）在第一象限的图象交于A点，过
A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．如果B为反比例函数在第一象限图象上的点
（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P （ ， 0 ） ，使PA+PB最小．
解：设A点的坐标为（a，b），则 ，
∴ab＝k，
∵ ，
∴
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为 ．
根据题意画出图形，如图所示：
联立得 ，
解得 ，
∴A为（2，1），
设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，﹣1）．
令直线BC的解析式为y＝mx+n∵B为（1，2），
将B和C的坐标代入得： ，
解得：
∴BC的解析式为y＝﹣3x+5，
当y＝0时， ，
∴P点为（ ，0）．
故答案为：（ ，0）．
1．如图，一次函数y＝x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（﹣2，0）是x轴上一点，点E，F
分别为直线y＝x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（ ）A．E（﹣ ， ），F（0，2） B．E（﹣2，2），F（0，2）
C．E（﹣ ， ），F（0， ） D．E（﹣2，2），F（0， ）
解：作C（﹣2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y＝x+4的对称点D，连接
AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，如图：
∴DE＝CE，CF＝GF，
∴CE+CF+EF＝DE+GF+EF＝DG，此时△CEF周长最小，
由y＝x+4得A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA＝OB，△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∵C、D关于AB对称，
∴∠DAB＝∠BAC＝45°，
∴∠DAC＝90°，
∵C（﹣2，0），
∴AC＝OA﹣OC＝2＝AD，
∴D（﹣4，2），
由D（﹣4，2），G（2，0）可得直线DG解析式为y＝﹣ x+ ，在y＝﹣ x+ 中，令x＝0得y＝ ，
∴F（0， ），
由 得 ，
∴E（﹣ ， ），
∴E的坐标为（﹣ ， ），F的坐标为（0， ），
故选：C．
2．如图所示，直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是OB的中点，D，E分别是直线AB和y
轴上的动点，则△CDE周长的最小值是 2 ．
解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，
∵直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，
∴A（0，4），B（﹣4，0），C（﹣2，0），
∴BO＝4，OG＝2，BG＝6，OA＝OB，
∴∠ABC＝45°，∴△BCF是等腰直角三角形，
∴BF＝BC＝2，
由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，
当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DF+DE+EG＝FG，
此时△DEC周长最小，
∵Rt△BFG中，FG＝ ＝2 ，
∴△CDE周长的最小值是2 ．
故答案为：2 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线
段AB上，PC⊥x轴于点C，则△PCO周长的最小值为 3+ 3 ．
解：设点P（m，m+3 ），则PC＝m+3 ，OC＝﹣m，
△PCO周长＝OP+OC+PC＝OP+m+3 ﹣m＝3 +PO，
即△PCO周长取得最小值时，只需要OP最小即可，
故点O作OD⊥AP，当点D、P重合时，OP（OD）最小，
△AOB为等腰直角三角形，则BOD也为等腰三角形，
设：OD＝a，则DO＝BD＝a，
由勾股定理得：2a2＝（3 ）2，解得：a＝3＝OD＝OP，
故△PCO周长的最小值＝3 +PO＝3+3 ，
故答案为：3+3 ．4．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA
上的动点，则△CDE周长的最小值是 1 0 ．
解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+7，
∴直线CC″的解析式为y＝x﹣1，
由 解得 ，
∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，3），
∵K是CC″中点，
∴可得C″（7，6）．
连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，
△DEC的周长＝DE+EC+CD＝EC′+ED+DC″＝C′C″＝ ＝10．
故答案为10．
5．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且 ＝ ，点D为OB的中点，
点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为 P （ ，
） ．解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵ ＝ ，点D为OB的中点，
∴BC＝3，OD＝BD＝2，
∴D（2，0），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线EC的解析式为y＝ x+2，
解 得， ，
∴P（ ， ），
故答案为：（ ， ）．6．如图，平面直角坐标系中，直线y＝ x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在
第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关于点A
的对称点，当BP+PH+HQ值最小时，点P的坐标为 （﹣ 4 ， 4 ） ．
解：BP+PH+HQ有最小值，
理由是：∵直线y＝ x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，
∴OB＝8，OA＝6，OC＝4，
连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图，
∵四边形PHCB是平行四边形，
∴PB＝CH，∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+4，
∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，
∴只需CH+HQ最小即可，
∵两点之间线段最短，
∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，
过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴OA是△BQM的中位线，
∴QM＝2OA＝12，OM＝OB＝8，
∴Q（﹣12，﹣8），
设直线CQ的关系式为：y＝kx+b，
将C（0，4）和Q（﹣12，﹣8）分别代入上式得：
，
解得： ，
∴直线CQ的关系式为：y＝x+4，
令y＝0得：x＝﹣4，
∴H（﹣4，0），
∵PH∥y轴，
∴P（﹣4，4），
故答案为：（﹣4，4）．
7．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；
（2）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短．解：（1）如图,△A′B′C′即为所求．
（2）如图，点P即为所求．
8．如图，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣2，﹣2），C（3，0），点P在线段AC上移
动．当点P坐标为（1，m）时，请在y轴上找点Q，使△PQC周长最小．
解：∵A（0，4），C（3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴ ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣ x+4；
∵点P在线段AC上移动，点P坐标为（1，m），
∴m＝﹣ ×1+4＝ ，
∴P（1， ），
作P点关于y轴的对称点P′，连接P′C交y轴于Q，此时PQ+QC＝P′C，根据两点之间线段最短，
Q就是使△PQC周长最小的点；
则P′（﹣1， ），
设直线P′C的解析式为y＝mx+n，
∴ ，解得 ，
∴直线P′C的解析式为y＝﹣ x+2，
∴Q点的坐标为（0，2）．
9．如图，直线l 的解析表达式为y＝﹣3x+3，且l 与x轴交于点D，直线l 经过点A、B，直线l 、l 交于
1 1 2 1 2
点C．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线l 的解析表达式；
2
（3）在x轴上求作一点M，使BM+CM的和最小，直接写出M的坐标．解：（1）∵直线l 的解析表达式为y＝﹣3x+3，且l 与x轴交于点D，
1 1
当y＝0时，x＝1，
∴D（1，0）．
（2）设直线l 的解析式为y＝kx+b，则有 ，
2
解得 ，
∴y＝ x﹣ ．
（3）如图，由 ，解得 ，
∴C（ ，﹣ ），
作点C关于x轴的对称点C′（ ， ），∴直线BC′的解析式为y＝﹣ x+ ，
∴M（ ，0）．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+10与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线y＝ x交于
点A，点M是y轴上的一个动点，设M（0，m）．
（1）若MA+MB的值最小，求m的值；
（2）若直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形，请求出m的值，并说明理由．
解：（1）直线y＝﹣2x+10与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B（5，0），C（0，10），
解 得 ，
∴A（4，2），
∴A点关于y轴的对称点A′（﹣4，2），
如图1，连接A′B，交y轴的交点为M，
此时MA＝MA′，MA+MB＝MA′+MB＝A′B，MA+MB的值最小，
设直线A′B的解析式为y＝kx+b，
把A′（﹣4，2），B（5，0）代入得 ，
解得k＝﹣ ，b＝ ，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣ x+ ，把M（0，m）代入得，m＝ ；
（2）如图2，∵A（4，2），B（5，0），C（0，10），
∴OA2＝42+22＝20，AC2＝（4﹣0）2+（2﹣10）2＝80，OC2＝102＝100，
∴OA2+AC2＝OC2，
∴△OAC是以OC为斜边的直角三角形，
若M点是OC的中点，则AM＝ OC，此时直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形，
∴M（0，5），
∴m＝5．
11．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且
A、B、C三点不在同一条直线上．
（1）求AB的长；
（2）求△ABC的周长的最小值；
（3）若D（3，4），连接AD、CD，是否存在点C，使得△ACD的面积与6？若存在，求出点C，若不
存在，说明理由．解：（1）作AD⊥OB于D，如图1所示：
则∠ADB＝90°，OD＝1，AD＝4，OB＝3，
∴BD＝3﹣1＝2，
∴AB＝ ＝2 ．
（2）如图2中，
要使△ABC的周长最小，AB一定，
则AC+BC最小，
作A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点C，
点C即为使AC+BC最小的点，
作A′E⊥x轴于E．
由对称的性质得：AC＝A′C，
则AC+BC＝A′B，A′E＝4，OE＝1，∴BE＝4，
由勾股定理得：A′B＝ ＝4 ，
∴△ABC的周长的最小值为2 +4 ．
（3）存在．如图3中，设C（m，0）．
由题意： ×2×|m﹣4|＝6，
解得m＝10或﹣2，
∴满足条件的点C的坐标为（0，10）或（0，﹣2）．
12．如图，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰
Rt△ABC，使∠BAC＝90°．
（1）分别求点A、C的坐标；
（2）在x轴上求一点P，使它到B、C两点的距离之和最小．
解：（1）作CD⊥x轴，∵∠OAB+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠OAB＝∠ACD，
在△ABO和△CAD中，
，
∴△ABO≌△CAD（AAS）
∴AD＝OB，CD＝OA，
∵y＝﹣ x+2与x轴、y轴交于点A、B，
∴A（3，0），B（0，2），
∴点C坐标为（5，3）；
（2）作C点关于x轴对称点E，连接BE，
则E点坐标为（5，﹣3），将（0，2）（5，﹣3），代入y＝ax+c中，
，
解得：
∴直线BE解析式为y＝﹣x+2，
设点P坐标为（x，0），
则（x，0）位于直线BE上，
∴点P坐标为（2，0）．13．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，2）．
（1）求该一次函数的表达式．
（2）O为坐标原点，D为AB的中点，OC＝1，点P为y轴上的动点，求PC+PD的最小值，并求出此
时点P的坐标（用两种不同的方法求解）．
解：（1）设一次函数表达式为y＝kx+b，
将A（4，0）B（0，2）代入得 ，
解得： ，
所以一次函数表达式为y＝﹣ x+2；
（2）法1：过点D作DE⊥OA，交OA于点E，
∵A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
又∵D为AB中点，DE∥OB，
∴DE为△BOA的中位线，
∴DE＝ OB＝1，OE＝ OA＝2，
∴D（2，1），
作点D关于y轴的对称点D′，连接D′C交y轴于点P′，即为所求，
∴D′（﹣2，1），
∵∠D′＝∠P′CO，∠D′HP′＝∠P′OC，
∴△D′HP′∽△P′OC，
∴ ＝ ＝2，
∴OP′＝ ，∴P′坐标为（0， ），最小值为 ＝ ；
法2：求点D′的坐标部分同方法一，也可用中点坐标公式直接可得，
设直线CD′的表达式为y＝mx+n，
把D′（﹣2，1），C（1，0）代入得： ，
解得： ，
∴y＝﹣ x+ ，
当x＝0时，y＝ ，
则P′（0， ），最小值为 ＝ ．
14．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（1，﹣3）．求：
（1）求一次函数的表达式；
（2）求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积；
（3）请在x轴上找到一点P，使得PA+PB最小，并求出P的坐标．
解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
把A（﹣1，﹣1）B（1，﹣3）代入得：﹣k+b＝﹣1，k+b＝﹣3，解得：k＝﹣1，b＝﹣2，
∴一次函数表达式为：y＝﹣x﹣2；
（2）设直线与x轴交于C，与y轴交于D，
把y＝0代入y＝﹣x﹣2，
解得x＝﹣2，
∴OC＝2，
把x＝0代入y＝﹣x﹣2，
解得：y＝﹣2，
∴OD＝2，
∴S△COD ＝ ×OC×OD＝ ×2×2＝2；
（3）作A与A 关于x轴对称，连接A B交x轴于P，则P即为所求，
1 1
由对称知：A （﹣1，1），
1
设直线A B解析式为y＝ax+c，得﹣a+c＝1，a+c＝﹣3，
1
解得：a＝﹣2，c＝﹣1，
∴y＝﹣2x﹣1，
令y＝0得﹣2x﹣1＝0，
解得：x＝﹣ ，
∴P（﹣ ，0）．
15．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC的顶点A在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，且A
（2，0）、B（3，3），BC交y轴于M，
（1）求点C的坐标；
（2）连接AM，求△AMB的面积；（3）在x轴上有一动点P，当PB+PM的值最小时，求此时P的坐标．
解：（1）如图1，作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∴∠CAD+∠DCA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠ACD，
在△CDA和△AEB中，
，
∴△CDA≌△AEB（AAS），
∴CD＝AE，AD＝BE，
∵A（2，0）、B（3，3），
∴OA＝2，OE＝BE＝3，
∴CD＝AE＝1，OD＝AD﹣OA＝1，
∴C的坐标是（﹣1，1）；
（2）如图2，作BE⊥x轴于E，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B点的坐标为（3，3），C点的坐标是（﹣1，1），
∴ ，
解得， ，∴直线BC的解析式为y＝ x+ ，
当x＝0时，y＝ ，
∴OM＝ ，
∴△AMB的面积＝梯形MOEB的面积﹣△AOM的面积﹣△AEB的面积
＝ ×（ +3）×3﹣ ×2× ﹣ ×1×3
＝ ；
（3）如图3，作M关于x轴的对称点M′（0，﹣ ），连接BM'，交x轴于点P，此时PB+PM的值最
小，
设直线BM′的解析式为y＝mx+n，
则 ，
解得， ，
∴直线BM′的解析式为y＝ x﹣ ，
点P在x轴上，当y＝0时，x＝1，
∴点P的坐标为（1，0）．16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，
0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连接CD，以CD为直角边在
右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．
（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；
（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；
（3）如图2，连接OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，
得6k+8＝0，解得： ，
∴ ，
把x＝3代入，得y＝4，
∴C（3，4）；
（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，∠CDE＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，
∴△CDF≌△DEG（AAS）
∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，
∴OG＝4+m，
∴E（4+m，m﹣3）；
（3）点E（4+m，m﹣3），
设x＝4+m，y＝m﹣3，
则y＝x﹣7，
故点E在直线l：y＝x﹣7上，
设：直线l交y轴于点H（0，﹣7），过点O作直线l的对称点O′，
∵直线l的倾斜角为45°，则HO′∥x轴，则点O′（7，﹣7），
连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，
OC是常数，
△OCE周长＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′为最小，
由点C、O′的坐标得，直线CO′的表达式为：y＝﹣ x+
联立 ，
解得： ，
故： ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），AB⊥x轴，且AB＝10，点C（0，b），a，b满足b＝
+ +15．点P（t，0）是线段AO上一点（不包含A，O）．
（1）当t＝5时，求PB：PC的值；
（2）当PC+PB最小时，求t的值；
（3）请根据以上的启发，解决如下问题：正数m，n满足m+n＝10，且正数p＝ + ，则
正数p的最小值＝ 2 ．
解：（1）依题意，得，
，
解得，a＝25，∴b＝15，
∴A（25，0），C（0，15），
∵AB⊥x且AB＝10，
∴B（25，10），
当t＝5时，P（5，0），
∴PB＝ ，
pc＝ ，
∴PB：PC＝ ：1．
（2）如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′交x轴于点P，
根据两点之间，线段最短可得此时，
PC+PB＝PC+PB′＝CB′的值最小，
设直线CB′的解析式为y＝kx+15，
∵B（25，10）关于x轴的对称点为B′（25，﹣10），
∴25k+15＝﹣10，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x+15，
把y＝0代入得，x＝15，
∴t＝15；
（3）依题意，得n＝10﹣m，
∴p＝ + ，即求（m，0）到（0，3）和到（10，5）的距离和的最小值，
由（2）可知（10，5）关于x轴对称点为（10，﹣5），
∴p＝ ．
故答案为：2 ．
