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模型介绍
方法点拨
二、求线段之和的最小值
已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求
P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧：
过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即
为所求的点.
A C
A
m
P Q m P Q
B B
（2）点A、B在直线m同侧：
A E
B
A
B
m
P Q
m
P Q B'
过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，
即为P点，此时P、Q即为所求的点.例题精讲
【例1】．如图，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝ （Q在P的下
方），当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为 （ ， ） ．
解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，并沿MN向下平移 单位后得
A'（2，0）
连接A'B'交直线y＝x于点Q
如图
理由如下：∵AA'＝PQ＝ ，AA'∥PQ，
∴四边形APQA'是平行四边形．
∴AP＝A'Q．
∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝ ．
∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小．
根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小．
∵B'（0，1），A'（2，0），
∴直线A'B'的解析式y＝﹣ x+1．∴x＝﹣ x+1．即x＝ ，
∴Q点坐标（ ， ）．
故答案是：（ ， ）．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），
（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标
为（ ）
A．（2，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（5，0）
解：如图，将点 E（8，2）往左平移 2 个单位得到 F（6，2），则 EF＝2＝PQ，EF∥PQ，
∴四边形EFPQ是平行四边形，
∴FP＝QE，
作点F关于x轴的对称点F'，连接PF'，
则PF'＝PF，F'（6，﹣2），
∴当点A、P、F在同一直线上上时，AP+PF'最小，
即AP+EQ最小，∵A（0，4），F'（6，﹣2），
∴直线AF'解析式：y＝﹣x+4，
∴P（4，0），
故选：C．
【变1-2】．A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．
（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．
（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC＝40米，你能求出两村的最短
路程吗？若能，请求出来．
解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形．
（2）作MH⊥BC垂足为H．
两村A、B之间的最短路程＝AN+KN+BK，
∵四边形AMKN是平行四边形，
∴AN＝MK，
在RT△BMH中，∵BH＝70，MH＝40，
∴BM＝ ＝10 ，
∴AN+KN+BK＝BM+KN＝10 +30，
∴两村的最短路程为（10 +30）米．
【例2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝ x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，
点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关
于点A的对称点，当BP+PH+HQ值最小时，点P的坐标为 （﹣ 4 ， 4 ） ．解：BP+PH+HQ有最小值，
理由是：∵直线y＝ x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，
∴OB＝8，OA＝6，OC＝4，
连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图，
∵四边形PHCB是平行四边形，
∴PB＝CH，
∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+4，
∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，
∴只需CH+HQ最小即可，
∵两点之间线段最短，
∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，
过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴OA是△BQM的中位线，
∴QM＝2OA＝12，OM＝OB＝8，∴Q（﹣12，﹣8），
设直线CQ的关系式为：y＝kx+b，
将C（0，4）和Q（﹣12，﹣8）分别代入上式得：
，
解得： ，
∴直线CQ的关系式为：y＝x+4，
令y＝0得：x＝﹣4，
∴H（﹣4，0），
∵PH∥y轴，
∴P（﹣4，4），
故答案为：（﹣4，4）．
变式训练
【变2-1】．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣ x+ 与x轴，y轴分别交于点A，B，Q为
△AOB内部一点，则AQ+OQ+BQ的最小值等于（ ）
A．2 B． C． D．
解：∵直线y＝﹣ x+ 与x轴，y轴分别交于点A，B，
当x＝0时，y＝ ；当y＝0时，x＝1；
∴OB＝ ，OA＝1，
∴AB＝ ＝ ＝2，
∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，
任取△AOB内一点Q，连接AQ、BQ、OQ，将△ABQ绕点A顺时针旋转60°得到△AB′Q′，过B′作
B′C⊥x轴于C，如图所示：
∴AB′＝AB＝2，AQ＝AQ′，BQ＝B′Q′，∠BAB′＝∠QAQ′＝60°，
∴△QAQ′是等边三角形，∴AQ＝QQ′，
∴OQ+AQ+BQ＝OQ+QQ′+Q′B′，
∴当OQ、QQ′、Q′B′这三条线段在同一直线时最短，即AQ+OQ+BQ的最小值＝OB′，
∵∠BAO＝∠BAB′＝60°，
∴∠B′AC＝60°，
∴AC＝ AB′＝1，B′C＝ ，
∴OC＝OA+AC＝2，
∴OB′＝ ＝ ＝ ，
∴AQ、OQ、BQ之和的最小值是 ；
故选：D．
【变2-2】．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，
B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形
BDEF的周长最小时，点E的坐标为 （﹣ ， 0 ） ．
解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，
∴四边形BHEF是平行四边形，
∴BF＝EH，
∵点D与点D'关于x轴对称，
∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4），
∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，
∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，
∵EF和BD是定值，
∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，
∴当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，
∵点B（﹣4，6），
∴点H（﹣1，6），
设直线D'H的解析式为y＝kx+b，
则 ，
解得： ，
∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，
∴当y＝0时，x＝﹣ ，
∴点E（﹣ ，0），
故答案为：（﹣ ，0）．1．如图，CD是直线y＝ x上的一条动线段，且CD＝2，点A（2+ ，1），连接AC、AD，则△ACD
周长的最小值是 2 +2 ．
解：在x轴上取点B（2，0），连接BC，AB，作AF⊥x轴于点F，
∵点A（2+ ，1），
∴Rt△ABF中，AF＝1，BF＝ ，
∴AB＝2，∠ABF＝30°，
∵CD是直线y＝ x上的一条动线段，
∴∠COB＝30°，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
要使得△ACD周长最小，只要AC+AD最小，也就是AC+BC最小，
作点B关于直线CD的对称点E，
根据对称得OE＝OB，且∠EOB＝60°，
∴△EOB是等边三角形，
∴点E坐标为（1， ），
当E，C，A三点共线时，EC+AC最小，此时AC+BC最小，∴EC+AC的最小值＝ ＝ ＝2 ，
∴AC+AD最小值＝2 ，
∴△ACD的周长＝2 +2．
2．如图，在直角坐标系中，直线y＝ x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二
象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对
称点，则BP+PH+HQ的最小值为 6 +2 ．
解：如图，连接CH，∵直线y＝ x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴OB＝4，OA＝3，
∵C是OB的中点，
∴BC＝OC＝2，
∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°，
∴四边形PHOC是矩形，
∴PH＝OC＝BC＝2，
∵PH∥BC，
∴四边形PBCH是平行四边形，
∴BP＝CH，
∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2，
要使CH+HQ的值最小，只需C、H、Q三点共线即可，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴Q（﹣6，﹣4），
又∵点C（0，2），
根据勾股定理可得CQ＝ ＝6 ，
此时，BP+PH+HQ＝CH+HQ+PH＝CQ+2＝6 +2，
即BP+PH+HQ的最小值为6 +2；
故答案为：6 +2．
3．如图，在平面直角坐标系中，有二次函数 ，顶点为H，与x轴交于A、B两点
（A 在 B 左侧），易证点 H、B 关于直线 l： 对称，且 A 在直线 l 上．过点 B 作直线
BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，则
HN+NM+MK的最小值为 8解：设 ＝0，
解得x ＝﹣3，x ＝1，
1 2
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），
∵ ＝﹣ （x+1）2+2 ，
∴顶点H的坐标是（﹣1，2 ），
设直线AH的解析式为y＝kx+b，把A和H点的坐标代入求出k＝ ，b＝3 ，
∵过点B作直线BK∥AH，
∴直线BK的解析式为y＝mx+n中的m＝ ，
又因为B在直线BK上，代入求出n＝﹣ ，
∴直线BK的解析式为：y＝ x﹣ ，
联立 解得： ，
∴交点K的坐标是（3，2 ），
则BK＝4，
∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2 ），
∴HN+MN的最小值是MMB，KD＝KE＝2 ，
过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，KD＝KE＝2 ，
则QM＝MK，QE＝EK＝2 ，AE⊥QK，
∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，∴∠BKQ＝∠HEQ＝90°，
由勾股定理得QB＝ ＝8，
∴HN+NM+MK的最小值为8．
答：HN+NM+MK和的最小值是8．
故答案为：8．
4．如图，已知点A（4，0）、B（0，2），线段OA＝OC且点C在y轴负半轴上，连接AC．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图1，点P是直线CA上一点，若S△ABC ＝3S△ABP ，求满足条件的点P坐标；
（3）如图2，点M为直线l：x＝ 上一点，将点M水平向右平移6个单位至点N，连接BM、MN、
NC．求BM+MN+NC的最小值及此时点N的坐标．
解：（1）直线AB的解析式为y＝kx+2，得
4k+2＝0，
解得k＝﹣ ，∴直线AB的解析式为y＝﹣ x+2；
（2）由OA＝OC＝4，得点C的坐标为（0，﹣4），
设直线AC的解析式为y＝k'x﹣4，得
4k'﹣4＝0，
解得k'＝1，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣4，
由题意得，∠OAC＝∠ACO＝45°，AC＝ OC＝4 ，
∵S△ABC ＝3S△ABP ，
∴AP＝ AC＝ ，
则点P的纵坐标应为 或﹣ ，
当点P的纵坐标应为 时，
得x﹣4＝ ，
解得x＝ ；
当点P的纵坐标应为﹣ 时，
得x﹣4＝﹣ ，
解得x＝ ．
∴满足条件的点P坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）．
（3）设点M的坐标为（ ，y），则N的坐标为（ ，y），
由点B离直线x＝ 的距离是 ，
故在N处向右平移 个单位长度出作直线x＝11，在该直线上取B′（11，2），连接CB'，
则BM＝B′N，MN＝6，
设直线CB'的解析式为y＝k″x﹣4，得11k″﹣4＝2，
解得k″＝ ，
∴直线CB'的解析式为y＝ x﹣4，
将x＝ 代入得
y＝＝ × ﹣4＝ ，
即此时点N的坐标为（ ， ），
BM+MN+NC的最小值为MN+B'C＝6+ ＝6+ ．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝﹣ x+4，与x轴交于点C，直线l上有一点B的
横坐标为 ，点A是OC的中点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）在直线BC上有两点P、Q，且PQ＝4，使四边形OAPQ的周长最小，求周长的最小值；
（3）直线AB与y轴交于点H，将△OBH沿AB翻折得到△HBG，M为直线AB上一动点，N为平面内
一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M
的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）对于y＝﹣ x+4，令y＝0，则y＝﹣ x+4＝0，解得x＝4 ，
故点C（4 ，0），
∵点A是OC的中点，则点A（2 ，0），
当x＝ 时，y＝﹣ x+4＝3，故点B（ ，3），
设直线AB的表达式为y＝sx+t，则 ，解得 ，
故直线AB的表达式为y＝﹣ x+6；
（2）过点A作点A关于直线BC的对称点A′，将点A′沿CB方向平移4个单位得到点A″，
连接OA″交BC于点P，将点P沿BC方向平移4个单位得到Q，此时四边形OAPQ的周长最小．
由点A、B、O的坐标知，OA＝AB＝OB＝2 ，故△OAB为等边三角形，由直线BC的表达式知∠BCO
＝30°，
则∠A′AC＝60°，故∠BAA′＝60°＝∠ABC+∠ABC＝30°+∠ABC，故∠ABA′＝60°，故△ABA′为等
边三角形，
则A′B＝AB＝2 且A′B∥x轴，故点A′（3 ，3）；
将点A′沿CB方向平移4个单位，相等于沿x轴负半轴方向平移2 个单位向上平移3个单位，故点A″（ ，5）；
由点A的平移知，A″A′＝PQ且A′A″∥PQ，故四边形OAQP为平行四边形，故A′Q＝A″P，
此时，四边形OAQP的周长＝OA+PQ+AQ+OP＝OA+4+A′Q+OP＝2 +4+OA″为最小，
而OA″＝2 ，
故以四边形OAQP的最小周长为2 +4+2 ；
（3）存在，理由：
对于y＝﹣ x+6，令x＝0，则y＝6，故点H（0，6），
如图2，按照（2）方法同理可得点G（3 ，3），则HG＝ ＝6，
设点N（a，b），点M（m，6﹣ m），
①当GH是边时，
点H向右平移3 个单位向下平移3个单位得到点G，
同样点M（N）向右平移3 个单位向下平移3个单位得到点N（M），
当点N在点M的下方时，
由题意得：m+3 ＝a，6﹣ m﹣3＝b①且HG＝HM，
而HG＝HM，即36＝m2+（6﹣ m﹣6）2②，
联立①②并解得m＝±3，
故点M（3，6﹣3 ）或（﹣3，6+3 ）；
当点N在点M的下方时，
同理可得点M（3 ，﹣3）；
②当GH是对角线时，
由中点公式得： （0+3 ）＝ （a+m）， （6+3）＝ （b+6﹣ m）③，由HM＝HN得：m2+（6﹣ m﹣6）2＝a2+（b﹣6）2④，
联立③④并解得：m＝ ，
故点M（ ，3）；
综上，点M的坐标为（3，6﹣3 ）或（﹣3，6+3 ）或（3 ，﹣3）或（ ，3）．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝ 与x轴，y轴分别交于点A，D，直线l 与直线y＝
1 2
﹣ x平行，交x轴于点B（7，0），交l 于点C．
1
（1）直线l 的解析式为 y ＝﹣ x + ， ，点C的坐标为 （ 1 ， 3 ） ；
2
（2）若点P是线段BC上一动点，当S△PAB ＝ 时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），
且MN＝2，连接DM，PN，当四边形DMNP周长最小时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将OD绕O点顺时针旋转60°得到OG，点E是y轴上的一个动点，点F是直线
l 上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请
1
直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线l 与直线y＝﹣ x平行，
2
∴设直线l 的解析式为y＝﹣ x+b，
2
∵直线l 交x轴于点B（7，0），
2
∴﹣ ×7+b＝0，
解得b＝ ，∴直线l 的解析式为y＝﹣ x+ ，
2
∵直线l 交l 于点C，
2 1
∴ ，
解得 ，
∴C（1，3 ），
故答案为：y＝﹣ x+ ，C（1，3 ）；
（2）∵S△PAB ＝ S△ABC ，
∴ AB•y ＝ × AB•y ，
P C
即y ＝ ，
P
∴P（5， ），
∵l ：y＝ 与y轴交于点D，
1
∴D（0，2 ），
∴PD＝ ＝2 ，
∴C四边形DMNP ＝2 +2+DM+PN，
当DM+PN最小时，四边形DMNP的周长最小，将DM向右平移两个单位至D'N，
则D'（2，2 ），过x轴作点P的对称点P'（5，﹣ ），连接D'P'交x轴于点N，
此时D'N+P'N最小，即DM+PN最小，
设直线D'P'的解析式为y＝mx+n，
代入D'、P'坐标，得 ，
解得 ，
∴直线D'P'的解析式为y＝﹣ x+4 ，
∴N（4，0），
∴M（2，0）；
（3）存在，
过G作GH⊥x轴，
由题知，OG＝OD＝2 ，
∵∠DOG＝60°，
∴∠GOH＝30°，
∴GH＝ ，OH＝3，
∴G（3， ），
设E（0，a），F（b， ），
当GM为对角线时， ，
，
解得 ，
∴F（5，7 ），当GE为对角线时， ，
∴ ，
解得 ，
∴F（1，3 ），
当GF为对角线时， ，
∴ ，
解得 ，
∴F（﹣1，3 ），
综上，F点的坐标为（5，7 ）或（1，3 ）或（﹣1， ）．
7．如图1，直线l： 交x轴于点A，交轴y于点B，交直线m：y＝x+3于点C，直线m交x轴于
点D．
（1）求点A、点C的坐标；
（2）如图1，点E为第一象限内直线l上一点，满足△ACE的面积为6．
①求点E的坐标；
②线段PQ＝1（点P在点Q的上方）为直线x＝﹣1上的一条动线段，当EP+PQ+AQ的值最小时，求
这个最小值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将直线l绕点C旋转，在旋转过程中，直线 l交x轴于点M，是否存在某个时刻，使得
△CDM为等腰三角形？若存在，求出线段OM的长度；若不存在，请说明理由．解：（1）由﹣ x+ ＝0得，
x＝3，
∴A（3，0），
由 得，
，
∴C（﹣1，2）；
（2）①如图1，
过点C作OB的平行线交OD于G，作EF⊥CG于F，
设点E（x，x+3）
∵C（﹣1，2），A（3，0），
∴PE＝x+1，PC＝x+1，CG＝2，AG＝4，
∵S△ACE ＝S梯形AEPG ﹣S△PCE ﹣S△ACG ，
∴ （AG+PE）•PG﹣ ﹣ ＝6，
∴x＝1，
∴E（1，4）；
②如图2，作E点关于x＝﹣1的对称点I，将I向下平移1个单位至J，连接AJ，交x＝﹣1于Q，Q点向上平移1
个单位是点P，
∴EP＝IP，
∵IJ＝PQ，IJ∥PQ，
∴四边形PQJI是平行四边形，
∴IP＝JQ，
EP＝JQ，
此时EP+PQ+AQ最小，
∵E（1，4），
∴I（﹣3，4），J（﹣3，3），
∴AK＝6，JK＝3，
∴AJ＝ ＝3 ，
∴EP+PQ+AQ
＝JQ+AQ+1
＝AJ+1
＝3 +1，
∴EP+PQ+AQ最小＝3 +1，
∵AJ的解析式是：y＝﹣ x ，
∴P（﹣1， ）；
（3）∵D（﹣3，0），C（﹣1，2），∴CD＝2 ，
当CD＝CM时，作CT⊥DM于T，
如图3，
∴TM＝DT＝2，
∴M（1，0），
∴OM＝1，
当DM＝CD＝2 时，
如图4，
M（2 ﹣3），
∴OM＝3﹣2 ，
当CM＝DM时，
如图5，
∵OD＝ON＝3，
∴∠ODN＝45°，
作CM⊥OD于M，∴∠DCM＝∠ODN＝45°，
∴CM＝DM，
∴M（﹣1，0），
∴OM＝1，
综上所述：当OM＝1或3﹣2 时，△CDM为等腰三角形．
8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴交于点A，与直线l 交于点C，C点
2
到x轴的距离CD为 ，直线l 交x轴于点B，且∠ABC＝30°．
2
（1）求直线l 的函数表达式；
2
（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为 ，连接CE、AF，当线
段CE+EF+AF有最小值时，求出此时点F的坐标，以及CE+EF+AF的最小值；
（3）如图3，将△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H重合，点C与点G重
合，将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为△B'G'H'，在平移过程中，设直线B'H'与x轴交于
点M，是否存在这样的点M，使得△B'MG'为等腰三角形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，
说明理由．
解：（1）点C的纵坐标为2 ，点C在直线l 上，则点C（﹣1，2 ），
1
∴CD＝2 ，OD＝1，
∵∠ABC＝30°，
∴CD＝ BD，BD＝ CD＝6，
∴OB＝BD﹣OD＝5，
则l 的表达式为：y＝﹣ x+b，
2将点C的坐标代入l 表达式并解得：b＝ ，
2
故直线l 的表达式为：y＝﹣ x+ ；
2
（2）直线l 的表达式为：y＝﹣ x+ ，
2
则点B（5，0），
直线 与x轴交于点A，则点A（﹣3，0），
作点A关于y轴的对称点A′（3，0），过点A′作x轴的垂线并取A′E′＝ ，
连接E′C交y轴于点E，在E下方取EF＝ ，则点F是所求点，
将点C、E′的坐标代入一次函数表达式，
同理可得：CE′的函数表达式为：y＝﹣ x+ ，
故点E（0， ），点F（0， ）；
CE+EF+AF的最小值＝FE+CE′＝ + ；
（3）AB＝8，BC＝4 ，AC＝4，
如图3，过点H作HR⊥x轴于点R，过点H作HK⊥y轴于点K，
△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，得到△BGH，
则∠ABH＝60°，则RH＝HBsin60°＝ABsin60°＝8× ＝4 ，
同理HK＝1，故点H（1，﹣4 ），
同理点G（﹣1，﹣2 ）；
设△BHG向右平移 m个单位，则向下平移m个单位，
则点B′（5+ m，﹣m）、点H′（1+ m，﹣4 ﹣m）、点G′（﹣1+ m，﹣2 ﹣m），将点H′、B′的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线H′B′的表达式为：y＝ x﹣（5 +4m），则点M（5+ m，0），
则B′M2＝（ ）2+m2＝ ，
同理G′M2＝ m2+48+8 m，B′G′2＝BC2＝48，
①当B′M＝G′M时， ＝ m2+48+8 m，解得m＝﹣2 ；
②当B′M＝B′G′时， ＝48，解得：m＝±6；
③当G′M＝B′G′， m2+48+8 m＝48，解得：m＝0（舍去）或﹣6 ；
故存在，点M（5+8 ，0）或（5﹣8 ，0）或（﹣3，0）或（﹣19，0）．故点M（5+8 ，0）或
（5﹣8 ，0）或（﹣3，0）或（﹣19，0）．
9．如图1，直线AB分别与x轴，y轴交于A，B两点，OA＝6，∠BAO＝30°，过点B作BC⊥AB交x轴于
点C．
（1）请求出直线BC的函数解析式．
（2）如图1，取AC中点D，过点D作垂直于x轴的直线DE，分别交直线AB和直线BC于点F，E，过
点F作关于x轴的平行线交直线 BC于点G，点M为直线DE上一动点，作MN⊥y轴于点N，连接
AM，NG，当AM+MN+NG最小时，求M点的坐标及AM+MN+GN的最小值．
（3）在图2中，点P为线段AB上一动点，连接PD，将△PAD沿PD翻折至△PA'D，连接A'B，A'C，
是否存在点P，使得△A'BC为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵x轴⊥y轴，OA＝6，∠BAO＝30°，
∴∠BOA＝90°，∠ABO＝60°，则BO＝tan30°•OA＝ •6＝ ，
∴B（0， ）；
∵过点B作BC⊥AB交x轴于点C，
∴∠CBA＝90°，∠CBO＝∠CBA﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∴CO＝tan30°•OB＝ • ＝2，
∴C（﹣2，0）；
设直线BC的函数解析式为：y ＝kx+b，将点B（0， ），C（﹣2，0）代入得，
1
，解得， ，
∴直线BC的函数解析式为：y ＝ x+ ．
1
（2）∵MN⊥y轴，GF∥x轴，
∴GF⊥y轴，直线GF上所有点的纵坐标都相等；
将点G在直线GF上平移至点G'，使得GG'＝MN，连接AG'，交DE于点M'，过M'作M'N'∥MN交y轴
于点N'，连接GN'，
则MN＝M'N'，GN'＝G'M'，当M位于点M'时，AM+MN+NG有最小值；
∵点D为线段AC的中点，C（﹣2，0），A（6，0），
∴D（2，0），AD＝4，
∵DE⊥x轴，
∴GG'＝MN＝M'N'＝2，∠FDA＝90°，直线DE上所有点的横坐标都为2；
∵AD＝2，∠BAO＝30°，
∴DF＝tan30°•AD＝ •4＝ ，则F（2， ），
∴设点G（x， ），
代入y＝ x+ 得， x+ ＝ ，解得，x＝ ，则G（ ， ），
∴G'（ ， ），则AG'＝ ＝ ，∴AM+MN+NG的最小值为：AM+MN+NG＝AM'+M'N'+N'G＝AG'+MN＝ +2，
设直线G'A的函数解析式为：y ＝kx+b，将点G（ ， ），A（6，0），代入得，
2
，解得，
∴直线AG'的函数解析式为：y ＝﹣ x+ ，
2
设点M'（2，m），将点M'代入y ＝﹣ x+ 得，m＝ ，
2
当AM+MN+NG最小时，M点的坐标为：（2， ）．
（3）存在点P，使得△A'BC为等腰三角形．
点A，D是定点，则AD是定长，△PAD沿PD翻折至△PA'D，则点A'是 D上的动点，
（1）当A'C＝A'B时， ⊙
如图，点P在x轴上方，点P（8﹣ ，2﹣ ）；（2）当BC＝BA'时，A'也在 B上，点P（4， ）；
⊙（3）当CB＝CA'时，点A'也在 C上，点P（0， ）．
⊙10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l ：y＝﹣ x+ 与x轴交于点B，与直线l ：y＝ x+b
2 1
交于点C，C点到x轴的距离CD为2 ，直线l 交x轴于点A．
1
（1）求直线l 的函数表达式；
1
（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为 ，连接CE、AF，当线
段CE+EF+AF有最小值时，求出此时点F的坐标以及CE+EF+AF的最小值；
（3）如图3，将△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H对应，点C与点G对
应，将△BGH沿着直线BC平移，平移后的三角形为△B′G′H′，点M为直线AC上的动点，是否存
在分别以C、O、M、G′为顶点的平行四边形，若存在，请求出 M的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵CD＝2 ，
将y＝2 代入y＝﹣ 得x＝﹣1，
∴点C坐标为（﹣1，2 ），
将（﹣1，2 ）代入y＝ x+b，解得b＝3 ，
∴直线l 的函数表达式为y＝ x+3 ．
1
（2）由y＝ x+3 得点A坐标为（﹣3，0），关于y轴作点A对称点再向上移动 个单位得到
A'（3， ），连接CA'与y轴交点即为点E．
设CA'所在直线解析式为y＝kx+b，将点（﹣1，2 ），（3， ）代入可得，
，解得 ，
∴y＝﹣ x+ ，
∵x＝0时y＝ ，∴点E坐标为（0， ），点F坐标为（0， ）．
作CG垂直于y轴于点G，
在Rt△CGE和Rt△AFO中，由勾股定理得，
CE＝ ＝ ＝ ，AF＝ ＝ ＝
，
∴CE+EF+AF＝ + ．
（3）如图，直线BC交y轴于点K，点K坐标为（0， ），
∵点B坐标为（5，0），
∴ ＝ ，
∴∠KBO＝30°，
∵将△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，
∴∠GOB＝30°，BK，BG关于x轴对称，
∴点G坐标为（﹣1，﹣2 ），
∴点G轨迹为过点G（﹣1，﹣2 ）且与BC平行的一条直线，
设y＝﹣ x+b，
将（﹣1，﹣2 ）代入得b＝﹣ ，∴y＝﹣ x﹣ ．
设点M横坐标为m，则纵坐标为（m， m+3 ），点G'坐标为（a，b），
∵点C坐标为（﹣1，2 ），点O坐标为（0，0），当CMG'O是平行四边形时，
，解得 ，
∴点G坐标为（m+1， ）．
将（m+1， ）代入y＝﹣ x﹣ ，解得m＝﹣ ，
∴ m+3 ＝ ，
∴M坐标为（﹣ ， ）．
当G'MOC为平行四边形时，同理可得 ，
解得 ，
将（m﹣1， m+5 ）代入y＝﹣ x﹣ ，解得m＝﹣ ，
∴ m+3 ＝﹣ ，
∴M坐标为（﹣ ，﹣ ）．当CG'OM为平行四边形时，可得 ，解得 ，
将（﹣m﹣1，﹣ m﹣ ）代入y＝﹣ x﹣ ，解得m＝ ，
∴ m+3 ＝ ，
∴M坐标为（ ， ）．
综上所述，M点坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ，﹣ ）或（ ， ）．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D
在第二象限，且四边形AOCD为矩形．
（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；
（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A
出发，沿线段AB以每秒 个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，
MH．设点P的运动时间为t秒．
①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；
②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如
果没有，请说明理由．解：（1）A（﹣3，0），B（0，4）．
当y＝2时， ， ．
所以直线AB与CD交点的坐标为 ．
（2）①当0＜t＜ 时，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△MPH的面积．
过点M作MN⊥OA，垂足为N．
由△AMN∽△ABO，得 ．
∵AO＝3，BO＝4，
∴AB＝ ＝5，
∴ ．
∴AN＝t．
∴△MPH的面积为 ．
当3﹣2t＝1时，t＝1．
当 ＜t≤3时，设MH与CD相交于点E，
△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△PEH的面积．
过点M作MG⊥AO于G，MF⊥HP交HP的延长线于点F．
FM＝AG﹣AH＝AM×cos∠BAO﹣（AO﹣HO）＝ ．．
由△HPE∽△HFM，得 ．
∴ ．
∴ ．
∴△PEH的面积为 ．
当 时， ．
经检验，t＝ 是原方程的解，
综上所述，若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，t为1或 ．
②BP+PH+HQ有最小值．
连接PB，CH，则四边形PHCB是平行四边形．
∴BP＝CH．
∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2．
当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小．
∵点C，Q的坐标分别为（0，2），（﹣6，﹣4），
∴直线CQ的解析式为y＝x+2，
∴点H的坐标为（﹣2，0）．因此点P的坐标为（﹣2，2）．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝ x+4分别与x轴、y轴交于点A、点B，过点B作直线
1
l ⊥l 交x轴于点C，将直线l 沿y轴正方向平移2个单位得到直线l ，直线l 与直线l 交于点D．
2 1 2 3 1 3
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2，点F在直线l 上，点F的纵坐标为7，点M、点N分别为直线l 、l 上的两个动点（点M
1 3 2
的横坐标小于点N的横坐标），且∠MNB＝30°，连接FM、NO，求FM+MN+NO的最小值；
（3）如图3，将△BOC绕着点（2，0）逆时针旋转90°得到△B'O′C'，作点B'关于直线C'O'的对称点
B″，设动点K在直线l ：y＝x﹣2上，点T在直线C′O′上，是否存在点K，使得△B″KT为等边三
4
角形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）y＝ x+4分别与x轴、y轴交于点A、点B，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣ ，
则A（﹣ ，0），B（0，4），OA＝ ，OB＝4，
∴tan∠ABO＝ ＝ ，∠ABO＝30°，
∵l ⊥l ，
2 1
∴∠CBO＝60°，
∴OC＝OB•tan60°＝4 ，
∴△ABC的面积＝ ×（ +4 ）×4＝ ；
（2）由（1）可知C（4 ，0），B（0，4），
∴l 解析式为：y＝﹣ x+4，
2
∵将直线l 沿y轴正方向平移2个单位得到直线l ，设直线l 与y轴交点为W，
2 3 3
∴l 解析式为：y＝﹣ x+6，
3
l 和l 联立方程组得， ，解得： ，
1 3
∴D点坐标为（ ， ），
点F的纵坐标为7，代入y＝ x+4得，x＝ ，
∴F点坐标为（ ，7），
∵B（0，4），
∴D为BF中点，
∵BW＝2，BD＝BW•cos30°＝ ，
过点M作MP⊥BC于P，作FQ∥MN交直线l 于点Q，连接OQ，
3∵∠MNB＝30°，
∴MP＝BD＝ ，MN＝2 ，
∵FD＝BD＝MP，∠FDQ＝∠MPN＝90°，∠MNB＝∠FQD＝30°，
∴MN＝FQ，
∴四边形FMNQ是平行四边形，
∴FM＝NQ，
∴FM+MN+NO＝FQ+ON+NQ，当O、N、Q共线时，值最小，如图所示，最小值为OQ+FQ，
∵QD⊥BF，BD＝FD，∠FQD＝30°，
∴QF＝QB＝2 ，∠FQB＝60°，
∴∠FBQ＝60°，
∴∠QBO＝90°，
∴OQ＝ ＝2 ，
∴FM+MN+NO的最小值为：2 +2 ；
（3）连接B″C′、B″O'，由对称性可知△B″C'B'是等边三角形，如图所示，当△B″KT是等边三角形时，如图3，图4；B″T＝B″K，B″C'＝B″B'，∠B'B″C'＝∠KB'T＝60°，
∴∠B'B″K＝∠C'B″T，
∴△B'B″K≌△C'B″T（SAS），
∴∠B″B'K＝∠B″C'T＝30°，
∴∠C′B'K＝90°，
由旋转可知，B'的坐标为（﹣2，﹣2），C′的坐标为（2，4 ﹣2），
如图3，图4，过点K作KS⊥B′B″于S，设K（x，x﹣2），则S（x，﹣2），
∵∠B″B'K＝30°，
∴tan∠B″B'K＝ ＝ ，即 ＝ 或 ＝ ，
解得，x＝1﹣ 或x＝ ，
∴x﹣2＝﹣1﹣ 或x﹣2＝ ﹣1，
∴点K的坐标为（1﹣ ，﹣1﹣ ）或（ +1， ﹣1）．
13．阅读并解答下列问题；在学习完《中心对称图形》一章后，老师给出了以下一个思考题：如图 1，在
平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC，CD，
DB，求AC+CD+DB最小值．【思考交流】小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A ，作点B关于x轴的对称点B ，连
1 1
接A B 交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC．BD．此时AC+CD+DB的最
1 1
小值等于A B +CD．
1 1
小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A ，作点A 关于x轴的对称点A ，连接A B可以求
1 1 2 2
解．
小亮：对称和平移还可以有不同的组合…．
【尝试解决】在图2中，AC+CD+DB的最小值是 7 ．
【灵活应用】如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1），D
（a+2，0），连接AC，CD，DB，则AC+CD+DB的最小值是 ，此时a＝ 2 ，并请在
图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y＝x图象上一点，
CD与y轴垂直且CD＝2（点D在点C右侧），连接AC，CD，AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是
，此时点C的坐标是 （ ） ．
解：【尝试解决】由题意得A （2，3），B （5，﹣1），
1 1
则A B ＝ ＝5，
1 1故A B +CD＝5+2＝7，
1 1
故答案为：7．
【灵活应用】先将A点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A ，作点B关于x轴的
1
对称点B ，连接A B ，与x轴的交点就是D点，以D点为圆心，AA 的长为半径画圆，与直线y＝1的
1 1 1 1
交点就是C点，连接AC，CD，DB，此时AC+CD+DB最小，最小值即为A B +CD，
1 1
作图如下：
由作图得，AA ＝DC，且AA ∥DC，
1 1
∴四边形AA DC是平行四边形，且A （2，2），B （5，﹣1），C（2，1），D（4，0），
1 1 1
∴最小值为A B +CD＝ + ＝3 + ，此时a为C点的横坐
1 1
标2，
故答案为： ；2；
【拓展提升】
先将点A向右平移2个单位长度得到点A ，得到平行四边形AA DC，AC＝A D，而AC+CD+DA中，CD
1 1 1
为定值2，即求AC+DA＝A D+AD的最小值，由题意得：D点在直线y＝x﹣2上，作点A关于直线y＝x
1
﹣2的对称点A′，连接AA'交直线y＝x﹣2于B，连接A A'，交直线y＝x﹣2的交点为D点，D点往左
1
平移2个单位为C点．如图：∵AA'与直线y＝x﹣2垂直，
∴设直线AA'解析式为y＝﹣x+m，将A（0，3）代入得：3＝m，
∴直线AA'解析式为y＝﹣x+3，
解 得 ，
∴B（2.5，0.5），
∵B（2.5，0.5）是AA'中点，设A′（x，y），
∴ ，解得 ，
∴A′（5，﹣2）
设A A'所在直线的解析式为y＝kx+b，将A （2，3）、A'（5，﹣2）代入得：
1 1
得 ，解得 ，
∴ ，
∵D点是直线 与直线y＝x﹣2的交点，
解 得 ，
∴D（ ， ），
∵C点是将D点向左平移2个单位长度，
∴C（ ， ），
∴此时AC+CD+AD＝ ＝ ，
故答案为 ；（ ）．
14．已知抛物线C ：y＝ （x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，与y轴交于B（0，1）．
1
（1）求抛物线C 的解析式；
1
（2）如图1，平移直线AB交x轴于F，交y轴于E，交抛物线C 于点M、N，若ME＝NF，求直线EF
1的解析式；
（3）如图2，把抛物线C 向下平移4个单位的抛物线C 交x轴于C、D两点，交y轴于点G，在抛物线
1 2
C 的对称轴上一条动线段PQ＝1（P点在Q点上方），当四边形GCPQ的周长最小时，求P点坐标．
2
解：（1）将点B（0，1）代入y＝ （x﹣m）2中，
得：1＝ （0﹣m）2中，解得：m＝±2，
∵抛物线C ：y＝ （x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，
1
∴m＝2，A（2，0），
∴抛物线C 的解析式为y＝ （x﹣2）2．
1
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（2，0）、B（0，1）代入y＝kx+b中，
得： ，解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣ x+1．
∵直线EF∥AB，
∴设直线EF的解析式为y＝﹣ x+n．
将y＝﹣ x+n代入y＝ （x﹣2）2中，得：﹣ x+n＝ （x﹣2）2，
解得：x ＝1﹣ ，x ＝1+ ．
1 2当y＝0时，有﹣ x+n＝0，
解得：x＝2n．
∵ME＝NF，
∴0﹣x ＝2n﹣x ，既 ＝n，
1 2
解得：n＝3或n＝1（舍去），
∴直线EF的解析式为y＝﹣ x+3．
（3）在图2中，过点C作CC′∥y轴且CC′＝1（C点在C′点上方），作 G关于x＝2的对称点
G′，连接C′G′交抛物线对称轴x＝2于点Q，在抛物线的对称轴上取PQ＝1（P在Q点上方），连
接CP、GQ，则此时四边形GCPQ的周长最小．
根据平移可知平移后抛物线的解析式为y＝ （x﹣2）2﹣4，
当y＝0时，有 （x﹣2）2﹣4＝0，
解得：x ＝﹣2，x ＝6，
1 2
∴C（﹣2，0），D（6，0）．
∵CC′＝﹣1，且点C在上方，
∴C′（﹣2，﹣1）．
当x＝0时，y＝ （0﹣2）2﹣4＝﹣3，
∴G（0，﹣3），
∴G′（4，﹣3）．
设直线C′G′的解析式为y＝k x+b （k ≠0），
1 1 1
∴ ，解得： ，
∴直线C′G′的解析式为y＝﹣ x﹣ ，
当x＝2时，y＝﹣ ×2﹣ ＝﹣ ．∴Q（2，﹣ ），
∵PQ＝1，点P在点Q的上方，
∴P（2，﹣ ）．
15．在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（5，0），连接AB．
（1）将绕点O按逆时针方向旋转，得到△OCD，（点A落到点C处），求经过B、C、D三点的抛物
线的解析式．
（2）现将（1）中抛物线向右平移两个单位，点C的对应点为E，点B的对应点为N，平移后的抛物线
与原抛物线相交于点F；P、Q为平移后抛物线对称轴上的两个动点，（点Q在点P的上方），且PQ＝
1，要使四边形PQFE的周长最小，求出P、Q两点的坐标．
解：（1）∵点A（0，3），B（5，0），
∴OA＝3，OB＝5，
∴OC＝OA＝3，OD＝OB＝5，
∴C（﹣3，0），D（0，5），
∵抛物线经过B、C、D三点，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣5），代入D（0，5）得，5＝﹣15a，
解得a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ （x+3）（x﹣5），
即y＝﹣ x2+ x+5；
（2）由题意可知E点的坐标为（﹣1，0）
平移前抛物线为y＝﹣ x2+ x+5＝﹣ （x﹣1）2+ ，
∴向右平移2个单位后的抛物线为y＝﹣ （x﹣3）2+ ，
解方程组 ，
解得 ；
∴F（2，5）
∴点E关于对称轴直线x＝3的对称点N（7，0），N向上平移一个单位得N′（7，1），
连接N′F交对称轴于Q点，然后过N作N′F的平行线交对称轴于P点，连接PE，此时四边形PQFE
的周长最小，
设直线N′F的解析式为y＝kx+b，则有 ，
解得 ；
∴直线N′F的解析式为y＝﹣ x+ ；
当x＝3时，y＝ ，
∴Q（3， ），P（3， ）．
16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）
两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与
DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
解：（1）∵抛物线过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）．
（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点
Q′，
过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，
∵A、B关于直线x＝1对称，
∴AQ′＝BQ′，
∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，
∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，
∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，
在Rt△BOC′中，BC′＝ ，
＝＝ ．
∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝ +1，
此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，
∴AQ+QP+PC的最小值为 +1．
（3）线段EF的长为定值1．
如图2，连接BE，
设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，
∵EF⊥x轴，
∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，
∵F（t，0），
∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠DAF+∠BED＝180°，
∵∠BEF+∠BED＝180°，
∴∠DAF＝∠BEF，
∵∠AFD＝∠EFB＝90°，
∴△AFD∽△EFB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EF＝ ＝ ＝1，
∴线段EF的长为定值1．
