安徽省皖中名校联考2025-2026学年高二上学期2月期末数学答案_2026年02月高二试卷_260211安徽省智学大联考·皖中名校联盟2024-2025学年高二上学期期末检测

2025-2026 学年第一学期高二年级期末检测
数学参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 的倾斜角为( )
A.  + 3  −2=0 B. C. D.
【答30案° 】C 120° 150° 60°
【解析】【分析】
本题考查了直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题．
由直线方程求出直线的斜率，即得倾斜角的正切值，从而求出倾斜角．
【解答】解：设直线 的倾斜角为 ，
+ 3  −2=0 
由 ，得： ，
3 2 3
+ 3  −2=0  =− 3  + 3
故直线斜率 ，
3
=  ，    =− 3
∵ 0°≤  <．180°
∴故  选=：15．0°
2.已知动  点 在 所在平面内运动，若对于空间中任意一点 ，都有 ，则实数
的值为(  ) △        =−2    +5    +     
A. B. C. D.
【答0案】D 2 −1 −2
【解析】【分析】
本题考查空间向量共面定理，是基础题．
根据空间向量共面定理可得 ，解出 即可．
【解答】 −2+5+  =1 
解：由题可得 ．
又动点 在    =所−在2平    面+内5运    动+，     
所以  △    ，解得 ．
故选−D2．+5+  =1  =−2
3.在等比数列 中， ， ，则 ( )
{   }  2+  3 =1  3+  4 =2  4+  5 =
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1 16
{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}A. B. C. D.
【答4案】A 8 16 32
4.已知圆 ： 和圆 ： ，动圆 同时与圆 及圆 相外切，则动圆圆心
2 2 2 2
的轨迹方  1程为(  (+3)) +  =1  2 (  −3) +  =9   1  2

A. B.
2 2
2  2 
− 8 =1(  ≤−1)  − 8 =1
C. D.
2 2
2 2 
【答8案+】  A =1  − 8 =1(  ≥1)
【解析】【分析】
本题主要考查与双曲线有关的轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，属于基础题．
设动圆圆心 的坐标为 ，半径为 ，由题意可得 ，可得点 的轨迹是以 、
为焦点的  双曲线的左(支  ,．  )根据  ， ，求得|   2|−|   1|=的2值<，|  可1  得2|点 的轨迹  方程．  1
2 2
【2解答】 2  =2  =3  =  −  
解：设动圆圆心 的坐标为 ，半径为 ，
则由题意可得  (，  ,  )  ，相减可得 ，
故点 的轨迹是|  以  1|=、  +为1焦点|  的  2双|=曲  线+的3左支， |   2|−|   1|= 2< |  1  2|
因为  ，  1，  2
所以2  =2  =3 ，
2 2
=  −  =2 2
故点 的轨迹方程为 ．
2
2 
故选：  ．  − 8 =1(  ≤−1)
5.若函数  ， 满足 ，且 ，则 ′ ′ ( )
2
A.  (  )  (  )  B(.  )+   (  )=  −1C.  (1)=1  D.(1)+  (1)=
【答1案】C 2 3 4
【解析】【分析】
本题考查了已知函数求值的方法，基本初等函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
根据 即可求出 ，然后对函数 求导即可得出 ′
2
′  (1)=1，然后即可  (求1)出=−′1 ′ 的  值(  ．)+   (  )=  −1  (  )+  (  )+
【  解答(  】)=2   (1)+  (1)
解： ，令 代入 中，即 ，解得 ，
2
∵  (1)= 1  =1， ′  (  )+   (  )=  ′−1 ，  令(1)+  ，(1)=0  (1)=−1
2
∵  (  )+   (  )=  −1 ∴  (  )+  (  )+   (  )=2   =1
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2 16
{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}′ ′ ，
∴  ′(1)+  ′(1)+  (1)=2 ．
∴故  选C(1．)+  (1)=2−(−1)= 3
6.已知向量 为平面 的法向量，点 在 内，则点 到平面 的距离为( )
  =(2,0,1)   (−15,2,1)   (15,2,2) 
A. 5 B.2 5 C. D.
5 10
【答案】A
【解析】【分析】
此题考查利用向量求点到面的距离．
直接利用点到面的距离的向量求法求解即可．
【解答】
解：因为 ，
所以  (−1,2,1)  ，(1,2,2)
因为平    面=(的−法2向,0,量−1) ，
  =(2,0,1)
所以点 到平面 的距离 ．
|     ⋅  | |−4−1|
故选：    = |  | = 5 = 5

7.设 ， 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则 的面积
2
2 
为(  ) 1  2  :  − 3 =1    |   | =2 △   1  2
A. B. C. D.
7 5
【答2 案】B 3 2 2
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的定义、圆的性质，属一般题．
根据双曲线的标准方程得到其焦点坐标，结合 ，可确定点 在以 为直径的圆上，得到
2
，结合双曲线的定义可得   的=值2，从而得到答  案．  1  2   1 +
2
【   解2答】=16   1 ⋅   2
解：由双曲线的标准方程可得 ， ，所以焦点坐标为 ，
因为 ，所以点 在以  =为1,直  径=的圆3 上  ，=2  1，−2,0 ,  2 2,0
2 2
=2   1  2 ∴   1 +   2 =16
，所以 ，
2
2 2
∵   1 −   2 =2  =2   1 −   2 =   1 +   2 −2   1 ⋅   2 =4
所以 ，所以直角三角形 面积为 ，
1
1 ⋅   2 =6   1  2 2|   1|⋅|   2|=3
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{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}故选B．
8.已知数列 满足 ， ，设 ，对xN，c c ，
n1 n
5  2  
则实数的取 {  值  } 范围(是   ( +1− ) 1)(   −1)= 3(   −   +1)  1 =2   =2 (  +4−  )
A. B. C. D.
1 1 1
【答
(6案 ,+
】
∞
B
) (3,+∞) (2,+∞) (1,+∞)
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的判定与证明，数列的递推关系，数列的函数特征，利用导数研究函数的单调性
的应用，属于较难题．
根据已知及等差数列的判定与证明，可知 是公差为 的等差数列，根据数列的递推关系，数列的函数
1 1
{   −1} 3
特征的计算，得 ，结合对勾函数的单调性，计算求出实数 的取值范围．
4 2
【解答】解：由  >  +2−  +1 ，得  ．
(   +1 ，−即1)(   −1)= 3(   −，   +1) (   +1−1)(   −1)=3[(   −1)−(   +1−1)]
(   −1)−(   +1−1) 1 1 1 1
∴ (   −1)⋅(   +1−1) =3   +1−1−   −1=3
是公差为 的等差数列，
1 1
∴ {   −1} 3 ，
1 1 1 1 1  +1
∴   −1=  1−1+3(  −1)= 5 2−1 +3(  −1)= 3
，即 ， ．
3  +4 ∗
∴   −1=  +1   =  +1  ∈ 
2    2
∴   =2 ( −  )= 2 ( −  ).
， ，
+4  +1
∗
∵∀  ∈    +1 <  
即 ，
+1 2  2
2 (  +2−  )< 2 (  +1−  )
即 ．
4 2 2 
则  >  +2− ，  +1=  +2  +1
2
> 2
+  +3
对于 在 上单调递减， 上单调递增，
2
+  (0, 2] [ 2,+∞)
的最小值只能在 或 处取得，
2
∴  +   =1  =2
当 时， ，当 时， ，
2 2
=1  +  =3  =2  +  =3
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{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}， ，即实数 的取值范围是
2 1 1
∴故  选+ B  ．+3≥ 6 ∴  >3  (3,+∞).
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A.“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
2
=−1   −  +1=0  −   −2=0
B.直线 的倾斜角 的取值范围是
3 
C.过      ， +  +2= 两 0 点的所有直  线的方程为 [0,4]∪[ 4 ,  )
−  1  −  1
D.经 ( 过  1 点 ,  1) ( 且  2 在 ,  2 轴 ) 和 轴上截距都相等的直线  2−方  1程 = 为  2−  1
【答案】A(C1,D1)    +  −2=0
【解析】【分析】
本题考查了直线的方程，直线垂直的充要条件，直线的倾斜角和斜率之间的关系，主要考查学生的运算能
力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用直线的垂直的充要条件和直线的倾斜角和斜率之间的关系，直线的两点式的使用条件和直线截距
相等的直线方程的应用判定 、 、 、 的结论．
【解答】    
解：对于 ：当 时，“直线 与直线 互相垂直”，
2
当直线   =−1 与直线   −  +1互=相0垂直时，  解−得   −2=或0 ，
2
故“   −”  是+“1直=线0  −   −2与=直0线 互  相=垂0直”−的1充分不必要条件，故A错误．
2
对于  ：=−直1线   −  +的1倾=斜0角 ，则  −   −2=0 ，
+  +2=0      =−     ∈[−1,1]
所以倾斜角 的取值范围是 ，故B正确；
3 
对于 ：过  ， [0 且 ,4]∪[ 4 ， ,  ) 两点的所有直线的方程为 ，故C错误．
−  1  −  1
对于  ：经 ( 过  1 点 ,  1) ( 且  2 在 ,  2 轴 )( 和  1 轴 ≠ 上  截 2 距  都 1 ≠ 相  等 2) 的直线方程为：  2−  1 =  2−  1
①：经  过原点的(直1,1线)为   ，
②设在坐标轴上的截距为  −，  设=直0 线方程为 ，

+  =1
所以 ，解得 ，故 ，故D错误．
1 1
故选：  +  =．1  =2  +  −2=0

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{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}10.如图，抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 ， 两点，过 ， 分别作抛物线准线
2
的垂线，垂足分别  为=，2   (则  下>列0)说法正确的  有(  )    
.
A.若 轴，则
B.若   ⊥  ， |   |=，2则  为定值
2
C.  (  1,  1)  (  2,  2)  1  2 
2
D.|以   线|段=4|为   直||径   的| 圆与 轴相切
【答案】A  C  D 
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义、几何性质、直线与抛物线的位置关系，属中档题．
选项利用直线方程与抛物线方程联立，即可得到答案；
选项利用直线方程与抛物线联立，通过韦达定理得出答案；
选项利用直线与抛物线联立，分别利用韦达定理求出等式左边和右边，证出相等；
选项通过焦半径长，直线与圆位置关系得出相切．
【解答】
解： 由题意， ， 轴， 直线为 ，

代入抛
.
物线
(2,0)  
为
⊥
常

数 ，

得

到
=2
， ，所以A正确
2
B.设直线 的  方程=为2   (  >0 ， )  1 =  ,  2 =−  |   |= 2  ;

与抛物线

联

立
=
，

得
+2
，
2 2 2
设  ，=2   ，  −2    −  =0
则  (  1,  1)  (  2，,  2) ，所以B错误
2
C.由  1上+述  2解=析2得    1  2 =−  ; ，
2 2 2 2 2 2
|   | =  1−  2 =  1+  2 −4  1  2 =4   +4 
2 2 2 2 2 2
1   2  (  1  2)   1 +  2 
4|   ||   |=4(  1+ )⋅(  2+ )=4( + )⋅( + )=4· 2 +4⋅ ⋅ +4⋅
2 2 2  ，2 2  2 4  2 2  4
2 2 2 2 2 2 2 2
=  +4   +2  +  =4   +4 
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{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}所以 ，所以C正确
2
D.设|   的|中=点4|为   |，|   则| 是以线段 ;为直径的圆的圆心．
由   ，  所以圆  的半径为   ，
1 
|   |=  1+2  = 2 +4
则 的坐标为 ，
1   1
2 +4, 2
到 轴的距离为 ，即 到 轴的距离等于以线段 为直径的圆的半径，
1 
故以  线段 为直径  的 = 圆2 与 +4轴 = 相  切，  所以  D正确．  
11.对于函  数  ，下  列说法正确的是( )

A. 在  ( 上  ) 单 = 调   递  增，在 上单调递减
B.若  (方  )程(1,  ) 有 个不等(的  ,实+根∞)，则
C.当  (|  |)=  时4 ，  > 
D.设0<  1 <  2 <，1若对  1    2，<  2    1 ，使得 成立，则
2
【答案  (】  )B=D  +  ∀  1 ∈  ∃  2 ∈(1,+∞)  (  1)=  (  2)  ≥ 
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能
力，属于难题．逐一判断即可．
【解答】
解：函数 ， ．

(  )=     ∈(0,1)∪(1,+∞)
′ ，
−1
可得(  函)数= ln 2  在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增．
大致图  (象  )如图(0,，1) (1,  ) (  ,+∞)
(  )
A.由上述分析可得 不正确．
B.若方程  有 个不等的实根，
(|  |)=  4
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7 16
{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}则 ，且 时， 有 个不等的实根，则 ，因此正确．
>0  ≠ 1  (  )=  2  > 
C.由函数 在 单调递减，

(  )=     ∈ (0,1)
可得函数 在 单调递增，

=   ∈ (0,1)
因此当 时， ，
1    2
即 0<  1 <  2 ， < 因 1 此不正  确1； <  2
D.设  1  函   数2 >  2    1 的值域为 ，函数 的值域为 ．
(  )(，  对∈  ) ，   (．  )(  ∈(1,+∞)) 
2
(  )对=  +  ∀  ，∈   =[  ,+．∞)
(  ) ∀  ∈ (1，,+若∞对)  =[  ，,+∞) ，使得 成立，
2
则(  )=  +  因此∀正  1确∈．  ∃  2 ∈(1,+∞)  (  1)=  (  2)
故选  ⊆BD  .．∴  ≥  .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过点 和 的直线的方程为 ．
【答案】 (1,3) (−3,1)
【解析】  解−：2由  已+知5=得0直线的方程为 ，即 ．
−1  +3
故答案为： ． 3−1=1+3  −2  +5=0
13.函数  的−定2  义+域5是=0 ，其导函数是 ′ ，若 ′ ，则关于 的不等式
(  ) 的解(集0,为  ) ．  (  )  (  )sin  <−  (  )cos  

2  (  )sin  <  (4)
【答案】

【解析】【4分 ,  析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的求解，属于中档题．
结合条件构造函数 ，结合导数判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式即可．
【解答】  (  )=  (  )sin 
解：由题意，函数 满足 ′ ，
令  ，(  )  (  )     +  (  )     <0
则  ′(  )=  (  )′sin  ，
函数  (  )=  (  )si在n  定+义  域(  )cos  上<单0调递减，
(  )=  (  )sin  (0,  )
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8 16
{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}由于 ，关于 的不等式 可化为 ，

>0  2  (  )sin  <  (4)  (  )<  (4)
所以 ，

4 <  < 
故答案为

4, 
14.已知 是双曲线 的左焦点， 是双曲线 右支上的一点，直线 与圆
2 2
2 2
切于点  ， 为坐  标:  原 2−点  ， 2 =若1(  >0,  >0) ，则双曲  线 的离心  率是 ．    +  =
2
5    =    +4     
【答案】
41
【解析】解4：因为 ，
所以 5    =    ，+所4  以   ，
因为直4(线    −与  圆  )=    −    切于点4，    所=以     ， ，
2 2 2
又   ，所以  +  =   ， |   |=    ⊥  
2 2
所以|   |=  ， |   |= ，  −  =  ，
2 2
设双曲
| 
线
|=
的
4
右

焦
|
点

为
|=′5
，
|   |=  +16 

则 ′ ，
|   |= 5  −2′  ′
又 ，故 ，
∠    +∠    =     ∠    +    ∠    =0
′
由余弦定理可得 ， ，
′ ′
2 2 2 2 2 2
|   | +|   | −|   | |   | +|   | −|   |
∠    = 2|   |⋅|   |    ∠    = ′
2|   |⋅|   |
所以 ，
′ ′
2 2 2 2 2 2
|   | +|   | −|   | |   | +|   | −|   |
2|   |⋅|   | + ′ =0
2|   |⋅|   |
所以 ′ ′ ，
2 2 2 2 2
|   | +|   | +2|   | −|   | −|   | =0
又 ′ ， ， ， ′ ，
2 2
所以|   |=|   |=  |   |=  +16  |   |=，5  |   |=5  −2 
2 2 2 2 2
2  +2(  +16  )−25  −(5  −2  ) =0
所以 ，所以 ，
2  5
4  =5    =4
所以则双曲线 的离心率 ，
2
41
另解：作 ′  ，垂  足 = 为  = ， 1+  2 = 4
⊥   
由 ， ′ ，可知 为 ′的中位线，
⊥   |   |=     ▵   
第 页，共 页
9 16
{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}结合已知分析， ′ ， ′ ，
|   |= |   |=  ,|   |=2|   |=2  ,|   |=4  −  =3  |   |= 5  −2 
由勾股定理 ′ ′ ，即 ，整理得 ，其余同上．
2 2 2 2 2 2 2
|   | +|   | =|   | 4  +9  =(5  −2  ) 4  =5  
故答案为： ．
41
4
三、解答题（本题共5小题，共77分）
已知正项数列a 满足 且a 3，
n 1
15.  ln   +1 =(  +1)ln  
求数列a 的通项公式；
n
(1)
设 ，数列b 的前n项和为S
n n
−2
(2)   =   .
【答案】 a 3n
n
(1)
1
(【2)分   析 = 】（  − ） 1 根 + 据3  常数列的性质进行求解即可；
（ ）利用1放缩法，结合等比数列前n项和公式、题中定义进行求解即可
【详2 解】（ ）由 ，得 ，可知数列 .是常数列，
ln   +1 ln   ln  
1  ln   +1 =(  +1)ln    +1 =  
所以 ，所以 ，所以a 3n； 分
n
ln   ln  
= 1 =ln3 ln   =  ln3=ln3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5
（ ）由（ ）可得 ，

−2 3 −2 2
2 1   =   = 3  =1−3 
则
1 1
2 2 2 1 1 1 3 1−3  1
= 1−3 1 + 1−3 2 +⋯+ 1−3  =  −2 3 2 +3 2 +⋯+3  =  −2× 1− 1 3 =  −2×2 1−
分
1 1

3 已 = 知  圆 −1 C + 的3圆.⋯心⋯在⋯直⋯线⋯⋯⋯⋯⋯上⋯，⋯并⋯且⋯⋯经⋯过1点3 ，与直线 相切直线
1 l：6. 2m1xm1y7m  5 =2 0  ．  (5,5)  =7 ,
求圆C的方程；
(1)求直线l被圆C截得的最短弦长及此时何m的值．
(2)
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{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}【答案】
2 2
最短弦(长1)为( 
2
−1
2
) 3，+此(  时−
m
2)
0
=25
(【2)详解】（ ）由题意可设圆C的圆. 心为 ，
圆C与直1线 相切，且过点 {，  ,2  }
=7 ，  (整5,理5)得 解得 ，圆心 ，
2 2 2
|2  半−径7|= (  −5)，+(圆2  C−的5方) 程为：  −2  +1 =0  =1  (1,2) 分
2 2
（ ）由  =2m |    1 |= x5m1y7m50，(  知−1 2 ) x+ y (  7 −m 2)= x25 y .⋯ 5 ⋯⋯ 0 ⋯ ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5
2
2x y70 x2
由 ，得
x y50 y3
.
所以当x2,y3时，无论m取何值，方程2m1xm1y7m50都成立
.
所以直线l恒过定点A2,3 分
如图，当圆心C到直线l的距.⋯离⋯最⋯⋯长⋯，⋯即⋯
C
⋯
A
⋯

⋯
l
⋯时⋯，⋯直⋯线⋯
l
1被0圆C截得的弦长最短
.
32
因为k  1，所以当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的斜率为 ，
CA 21
-1
由直线l：2m1xm1y7m50， 得，解得：m0
2  +1 =  +1 .
此时，CA 212322  2，所以弦长为： 2 25CA2 2 23
故当CAl时，直线l被圆C截得的弦长最短， .
最短弦长为2 23，此时m0 分
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是 ，且它们所在的平面互相垂直．活
1动7弹. 子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM 和BN的长度2保持相等，记
CM BN a(0a2 2)．
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{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}求MN的长；并求当a为何值时，MN长度取得最小值；
(1)当MN的长取得最小值，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
(【2)答案】 a22 2a4 ，当a 2时，MN长度取得最小值；
1 (1)
3
(【2)详解】（ ）法一：
过点M 作1MG AB于点G，连接NG，
因为平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF AB，MG平面ABCD，
所以MG平面ABEF，
因为NG平面ABEF，
所以MGNG，
因为正方形边长为 ，CM BN a，
2
2 2a 2 a 2
所以AM FN 2 2a，MG   2 a ，NG   a，
2 2 2 2
所以 MN  MG2 NG2  a2 2 2a4
当a 2时，MN长度取得最小值 . 分
【法二】 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7
因为四边形ABEF为正方形，所以BE  AB，由（ ）知BC BE，BC AB，
所以以点B为坐标原点，分别以BA,BC,BE为x轴1，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系（如图），则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,0,2) E(0,2,0) F(2,2,0) D(2,0,2)
, , , ,
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{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}因为正方形ABCD，ABEF的边长都是 ，所以AC BF 2 2，
又CM BN a(0a2 2)， 2
2a 2a 2a 2a
所以M( ,0,2 )，N( , ,0)，
2 2 2 2
2a 2a 2a 2a
所以 MN  (  )2(0 )2(2 0)2
2 2 2 2
 a22 2a4
 (a 2)2 2
所以当a 2时，MN长度取得最小值 分
（ ）【法一】 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7
当点2 M ，N为AC，BF中点时MN 的长最小，
取MN中点H，连接AH ，BH ，AN，BM ，
因为ABCD，ABEF为正方形，点M ，N 为AC，BF中点，
所以AM  AN BM BN，
因为H为MN中点，
所以AH MN ，BH MN，
因为平面MNA平面MNBMN，
所以AHB为平面MNA与平面MNB的夹角或其补角，
3 6
AB2，AM  AN  2，MN  2，AH BH   2  ，
2 2
6 6
 4
AH2BH2AB2 4 4 1
在三角形AHB中，根据余弦定理得cosAHB   ，
2AHBH 6 6 3
2 
2 2
1
所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值为 分
3
【法二】
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15
因为 MN 取最小时，a 2，所以M(1,0,1)，N(1,1,0)，
  
所以MN (0,1,1)，BN (1,1,0)，NE (1,1,0)
 ,
设平面MNE的法向量为m(x,y,z )，
1 1 1
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{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#} 
 mMN 0  y z 0
所以 m    N  E  0 ，即 x 1
1
y 1
1
0 ，取x 1 1，所以y 1 1,z 1 1，

所以平面MNE的法向量为m(1,1,1)，

设平面MNB的法向量为n(x ,y ,z )，
2 2 2
 
 mMN 0 y z 0
所以 m  B  N  0 ，即 x
2
2 y 2
2
0 ，取x 2 1，所以y 2 1,z 2 1，

所以平面MNB的法向量为n(1,1,1)，
设平面MNE与平面MNB夹角为，
 
mn 111(1)1(1) 1
所以cos
 
 
m n 121212  12(1)2(1)2 3
.
1
即平面MNE与平面MNB夹角的余弦值为 分
3
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15
x2 y2
．已知椭圆E:  1(ab0)的右焦点为F(1,0)，过点F 且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长
a2 b2
1为8
3
求. 椭圆E的标准方程；
(1)过点B1,0作直线l交椭圆E于M,N两点，且点M 位于x轴上方，设点N关于x轴的对称点为N ，求
1
(2)
△BMN 面积的最大值．
1
x2 y2
【答案】  1
4 3
3 3 (1)
4
(【2)详解】（. ）由题意得c2 a2b2 1，
1 9
3 3
且易知椭圆E过点(1, )，把点(1, )代入椭圆标准方程得 1 4 ，
2 2  1
a2 a2 1
1
解得a2 4或a2  （舍），所以a2 4,b2 3，
4
x2 y2
则椭圆E的方程为  1 分
4 3
（ ）依题意，直线l不垂直于.⋯坐⋯标⋯轴⋯，⋯设⋯直⋯⋯线⋯ l方⋯⋯程⋯为⋯ x ⋯⋯ ty 51，t0，
设点2 N(x,y ),M(x ,y ),y 0，则N (x,y )，|NN |2y ，
1 1 2 2 2 1 1 1 1 1
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{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}xty1
由 消去x得(43t2)y2 6ty90，36
 44t2
0，
3x24y2 12
6t 9
y  y  ,y y  ， 分
1 2 43t2 1 2 43t2
1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10
所以S |S S | |NN ||x x | |NN ||1x |
BMN1 MNN1 BNN1 2 1 2 1 2 1 1
1 1
 2y x 1  (2y )|x 1|y |ty 11|
2 1 2 2 1 2 1 2
9|t| 9|t| 3 3 2
y y |t|   ，当且仅当3t2 4，即|t| 时取等号，
1 2 43t2 4 3|t| 4 3
3 3
所以△BMN 面积的最大值为 分
1
4
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17
．已知函数 f(x)x22lnx1．
1（9 ）求函数y f(x)的最小值；
（1）证明：对任意x1,,lnx
2(x1)
恒成立；
x1
2
（ ）对于函数 f(x)图象上的不同两点A(x,y ),B(x ,y )(x x ) ，如果在函数 f(x)图象上存在点M(x ,y )
1 1 2 2 1 2 0 0
3 x x
（其中x (x,x )）使得点M 处的切线l//AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x  1 2 时，
0 1 2 0 2
又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当xe时，对于函数 f(x)图象上不同两点A、B，直线AB是
否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
【答案】（ ） f(x) =3；（ ）见解析；（ ）函数 f(x)不存在“中值伴侣切线”
min
1 2 3 2 2(x21) .
【详解】解：（ ）x(0,e)时， f(x) x221lnx, f(x)2x  ，
x x
令 f(x)0得x 1(1,e)；f(x)0得x(0,1)，
所以 f(x)在0,1 上单调递减，在 1,e上单调递增，
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{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}2
xe,时， f(x) x22lnx1, f(x)2x 0对xe,恒成立
x
.
所以 f(x)在e,单调递增，故 f(x) =f(1)=3 分
min
2(x1) 4 4 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5
（ ）由lnx 2  lnx 2，
x1 x1 x1
2 4 1 4 (x1)2
令g(x)lnx (x1)，则g'(x)  = ，
x1 x (x1)2 x(x1)2
因为x1显然g'(x)0，所以g(x)在1,上单调递增
显然有g( , x) g(1)2恒成立（当且仅当x 时等号成立, ），即证． 分
（ ）当xe时， f(x) x2 . 2(lnx1)， f =(x 1 )2x 2 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10
x
假设3 函数 f(x)存在“中值伴侣切线”
设A(x ,y ),B(x ,y ) 是曲线y f(x)上. 的不同两点，且0 x  x ，
1 1 2 2 1 2
则y x22(lnx 1)，y x22(lnx 1) 故直线 的斜率：
1 1 1 2 2 2
. AB
k  y 1 y 2    x 1 22(lnx 1 1)    x 2 22(lnx 2 1) 
AB x x x x
1 2 1 2
lnx lnx
(x x )2 1 2
1 2 x x
1 2
曲线在点M(x  y )处的切线斜率：
0 0
x x 4
k  f(x ) f( 1 2) (x x )
0 2 1 2 x x
1 2
ln=x lnx 4
依题意得(x x )2 1 2 (x x )
1 2 x x 1 2 x x
1 2 1 2
lnx lnx 2
化简可得 2 1  ，
x x x x
2 1 1 2
x
2( 2 1)
x 2(x x ) x
即ln 2 = 2 1  1
x x x x
1 2 1 2 1
x .
1
设
x
2 t t1 ，上式化为lnt 
2(t1)
由（ ）知t1时，lnt
2(t1)
恒成立
x t1 t1
1
( ) 2(t,1) 2 .
所以在(1,)内不存在t 使得lnt  成立
t1
综上所述，假设不成立 所, 以函数 f(x)不存在“.中值伴侣切线” 分
. .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17
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{#{QQABCYQQgggIAJIAARhCQQXqCECYkAGACKgOQEAQMAAAAANABAA=}#}