文档内容
高二数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 已知 ，则（ ）
.
A B. C. D.
2. 设 ，则 的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. 2 C. D.
3. 现有一个迷宫如图所示，小球 从 三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另
一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球 从 口滚动进入”是“小球 从 口滚动出来”的（
）
.
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指
数衰减的学习率模型为 ，其中L表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率，D表示
衰减系数，G表示训练迭代轮数， 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为
0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据： ， ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每
次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（ ）
A. 甲比较经济 B. 甲和乙一样经济 C. 乙比较经济
D. 不能确定
6. 在 中， ， ，N为BC的中点，且 外接圆的圆心为M，则 （
）
A. 10 B. 20 C. D.
7. 已知四面体 的各顶点均在球 O 的球面上， 平面 ， ， ，三角形
的外接圆半径是 ，则球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 定义：给定一个正整数 ，如果两个整数 满足 能够被 整除，就称整数 对模 同余，记
作 . 若 ，
，则 的一组值可能为（ ）
.
A ， B. ，
C. ， D. ，
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数
图象的对称中心.已知函数 的对称中心为 ，则下列说法中正确的有（
）
A. ，
B. 函数 既有极大值又有极小值
C. 函数 有三个零点
D. 过 可以作三条直线与 图象相切
10. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 被8除的余数为1
C. 甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙、丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有120种排法
D. 现有6本不同的书，分成三份，每份2本，共有90种分法
11. 如图，由 开始，作一系列的相似三角形， ， .设第 个三角形的斜边长
为 ，面积为 ，前 个三角形的面积之和为 ，其中 ， ，则（ ）
A. 为等差数列 B. 为等比数列C. 递增数列 D.
为
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 《哪吒之魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖
对哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王
共 个人物手办，小明从 个盲盒中（ 个盲盒内的人物一定不同）任意抽取 个盲盒，则包含哪吒和至
多一位龙王的概率是_____.
13. 已知函数 ，若对 ，且 ，都有 ，则 的取
值范围是___________．
14. 平面内有A、B、C、D四点，任意三点不共线， 且 ，若 分别是 、
的角平分线，线段 的最大值为________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求 .
16. 已知单位圆O与x，y轴正半轴分别交于A，B两点，过线段OA上一点Q作x轴的垂线交单位圆于点P
（P在第一象限），延长QP至点N，使得P为QN的中点，连接BN，AP，BP，OP．设 ．（1）若 ，求 ；
（2）求 取得最大值时 的值．
17. 已知 是边长为 的等边三角形， 为 中点， ， 为 靠近 的三等分点．连接
．将 沿 折起，使得 ．
（1）若 ，求翻折前 的值；
（2）证明：翻折后， ；
的
（3）若 ，求翻折后二面角 正弦值．
18. 已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆的左右焦点，过 的直线交
于 两点，点 在第一象限， 为 中点， 交 于点 ， 的周长为 ．（1）求 的方程；
（2）求证：直线 与 的斜率乘积为 ；
（3）若分别记 的斜率为 ，求 的最大值．
19. 已知对 ，定义 的余切值为 ，函数 在
处的切线为直线 ．
（1）求切线 的方程；
（2）证明：对 始终在切线 下方；
（3）证明：至少存在3个整数 ，使得 恒成立．
（参考： ）
