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高二数学入学
命题人：孙尚宇 审题人：张鹏飞
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，若 中有且仅有一个元素，则实数 的取值范围为（
）
A. B.
.
C D.
2. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点 ， ，直线 与线段 有公共点，则实数 的取值范围为（
）
A. B.
C. D.
4. 设函数 在定义域内可导, 图象如下图所示,则导函数 的图象可能是
A. B.C. D.
5. 设 是等差数列 的前n项和， 是数列 的前n项和.若 ，则 等于（
）
A. 49 B. 50 C. 51 D. 52
6. 记函数 的最小正周期为T．若 ，且 的图象关于点
中心对称，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 3
7. 甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动
至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 ， ， （e为自然对数的底数），则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ， ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.10. 如图，在棱长为2的正方体 中，M，N分别是线段 ， 上的动点（不含端
点），且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则直线 与直线 的夹角为
B. 三棱锥 体积的最大值为
C. 存 在，使得 平面
D. 若 ，则三棱锥 外接球的表面积为8π
11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线交 轴于点 ，直线 过 且交 于不同的 两点，且
，下列命题正确的有（ ）
A. 直线 的斜率
.
B 若 ，则
C. 若 ，则
D. 存在 使得 平分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在 中，a，b，c分别为内角 A，B，C所对的边， ， ，且 ，则的面积为______.
13. 若函数 在 上无极值点，则 的取值范围为______.
14. 像87125这样各个数位上的数字依次先减少再增加的数称为“凹数”，现用0~9这10个数字，每个数字
只用一次，组成的十位数，能组成______个凹数.
四、解答题：本题共 5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77
分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知定义在 上的函数
（1）若 ， ，求出曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的极值.
16. 平面上两个等腰直角 和 ， 既是 的斜边又是 的直角边，沿 边折叠
使得平面 平面 ， 为斜边 的中点．
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说
明理由．
17. 已知数列 的前n项和为 ， ，公差不为0的等差数列 满足 ，
证明：数列 为等比数列．
记 ，求数列 的前n项和 ．18. 已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为 ，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成
功的概率分别为 ， ，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另
一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击
中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件 ，蓝
方击中红方目标为事件 .
（1）求概率 、 ；
（2）设随机变量 表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求 的分布列和数学期望；
（3）求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率.
19. 双曲线C： 的实轴长为 ，且过点 ，双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点
为F，过F的直线 交双曲线右支于M，N两点，设直线 、 交于点P.
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：点P在定直线h上；
（3）连接 交直线h于点Q，证明：以 为直径的圆与直线 相切.
