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高二数学入学
命题人：孙尚宇 审题人：张鹏飞
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，若 中有且仅有一个元素，则实数 的取值范围为（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由交集的概念即可求解.
【详解】因为 ，要使得 中有且仅有一个元素，则 或 ，即
实数 的取值范围为 .
故选：B.
2. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】若复数 满足 ，
则 ，
故复数 的虚部为 .3. 已知点 ， ，直线 与线段 有公共点，则实数 的取值范围为（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出直线 的定点，再求出 ，数形结合，得出结果.
【详解】如图
由题意知直线 过定点 ，
易求 的斜率 ，
的斜率 ，
直线 的斜率 ，
所以 或 ，
即 或
故选：C.
4. 设函数 在定义域内可导, 图象如下图所示,则导函数 的图象可能是A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数和原函数图象之间关系即可判断.
【详解】由图像可知，函数 在 上是减函数，此时 ,故排除A、C；
当 时，函数 的图象是先增，再减，最后再增，
所以 的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，
故选：D.
5. 设 是等差数列 的前n项和， 是数列 的前n项和.若 ，则 等于（
）
A. 49 B. 50 C. 51 D. 52
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列 的公差为 ，根据题意，列出方程组求得 的值，求得 ，结合等
差数列的求和公式，即可求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，因为 ，可得 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为：C.
6. 记函数 的最小正周期为T．若 ，且 的图象关于点
中心对称，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 .
故选：A
7. 甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动
至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用分组分配法、分步计数求活动安排的方法数，最后运用古典概率模型概率公式即得.
【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，
总方法数为 ，
因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲,乙,丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两
人分别在三项活动中选择，
其方法数为 . 故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为 ．
故选:C．
8. 已知 ， ， （e为自然对数的底数），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对 两边取对数，构造函数 利用其在 上的单调性可得 ．
法一令 ，求导利用 在 上的单调性可得 可得答案；法二利用不
等式放缩可比较 的大小，对 两边取对数得出 再做差 可得答案.
【详解】对 两边取对数， ，
而 在 上单调递增，∴ ．令 ， ，
∴ 在 单调递减，∴ ，即 ，∴ ；
；
又 ，
∴ ，∴ ．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ， ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对ACD选项可用基本不等式可得，对B选项根据指数函数性质可得.
【详解】因为 ， ，且 ，
对于A，所以 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，故A正确；
对于B，由已知得 ， ，所以 ，所以 ，故B正确；对于C， ，当且仅当 时，等号成立，故C错误；
对于D, ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，故D正确，
10. 如图，在棱长为2的正方体 中，M，N分别是线段 ， 上的动点（不含端
点），且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则直线 与直线 的夹角为
B. 三棱锥 体积的最大值为
C. 存在 ，使得 平面
D. 若 ，则三棱锥 外接球的表面积为8π
【答案】ABC
【解析】
【分析】当 时， 分别为 的中点，所以 也是 的中点.利用中位线定理及异面直
线所成的角的定义求出直线 与直线 的夹角，判断A；将三棱锥 体积表示成 的函数，
根据二次函数的最值求法求得三棱锥 体积的最大值，判断B；当 时，易得 平面，可判断C正确；当 时，求得三棱锥 的外接球表面积，判断D.
【详解】对A，因为 ，所以
当 时， 分别为 的中点，所以 也是 的中点.
过M作 于Q，连接 ，则 ，所以 .
因为 ，所以直线 与直线 的夹角等于直线 与直线 的夹角，即 .
又因为 ，所以 ，故A正确.
对B，过M作 于Q，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，即三棱锥 的高为 ，
又 ，
所以三棱锥 体积
，
当 时， ，故B正确.对C，当 时， 是 的中点，所以 也是 的中点.
因为 是 的中点，所以 .
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故C正确.
对D，当 时， ，故Q为 的中点，
又N为 的中点，所以 ， ，
所以Q到A，B，M，N的距离都为1，
即三棱锥 外接球的球心为Q，球半径为1，所以外接球表面积 ，故D错误.
11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线交 轴于点 ，直线 过 且交 于不同的 两点，且
，下列命题正确的有（ ）
A. 直线 的斜率
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 存在 使得 平分
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，由判别式可判断选项正误；B选项，由抛物线定义结合 可判断选项正误；C选项，
如图，过A，B作准线垂线，垂足为 ，由抛物线定义结合 可判断选项正误；D选项，方法
1，通过证明 ，可得 ，即可得 坐标，后由抛物线定义可求得 ；方法
2，设 关于 轴的对称点为 ，通过说明 三点共线，可得 ，后同方法1；方法3，由角平分线定理结合抛物线定义可得 ，后同方法1；方法4，利用 结合
，可得 ，即可得 ，后同方法1.
【详解】由题可得 ， .设 方程为： ， ，将直线与抛物线
方程联立： ，消去x得： .
由题： ，又由韦达定理知： .
A选项，由题可得 或 ，则 ，故A正确；
B选项，由抛物线定义可知： ，
则 ，
得 .故B错误；
C选项，如图，过A，B作准线垂线，垂足 为，因 ，则 ，
又 ，则 .故C正确.
选项D，方法1：如图，过 作x轴垂线，垂足为N，M.则 ，
又 所以 .
注意到： ，
则 .
则 ，即存在 满足题意，故D正确；
方法2：设 关于 轴的对称点为 ，则 .注意到：
，则 三点共线，
所以 ，其余同方法1；
方法3：若 平分 ，则由角平分线定理可得 ，
所以 ，又 ， .
即 ，下同方法1；
方法4：只需 ，即 ，
注意到 ， ，则，解得 或3
（舍去），后同方法1.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：应难以直接用坐标表示角度，故角平分线条件常通过角平分线定理，相似，三角函数
等转化为与长度，特殊角度相关的条件.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在 中，a，b，c分别为内角 A，B，C所对的边， ， ，且 ，则
的面积为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据正弦定理和三角变换公式求得 ，再求出 ，最后根据面积公式可求 .
【详解】由 及正弦定理可得 ，又 ，
所以 ，
由 知 ，故 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，
所以 .13. 若函数 在 上无极值点，则 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得 在 内单调，而当 时， ，所以 在 上
恒成立，然后构造函数 ，利用导数求出其最小值即可.
【详解】由 ，得 ，
因为 在 上无极值点，
所以 在 内单调，
因为当 时， ，
所以 在 恒成立，
即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，所以 ，
即 的取值范围为 ，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数解决极值点问题，
解题的关键是根据题意将问题转化为 在 恒成立，然后分离参数，构造函数，
利用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题.
14. 像87125这样各个数位上的数字依次先减少再增加的数称为“凹数”，现用0~9这10个数字，每个数字
只用一次，组成的十位数，能组成______个凹数.
【答案】510
【解析】
的
【详解】方法一：由题设 在凹数 谷底，且左右两侧的数均比零大，
先选择0左侧元素，余下元素放在右侧，
故共有 个数；
方法二：1~9每个数字可能在0的左侧或0的右侧两种可能，
去掉全部在0的左侧和全部在0的右侧两种情况，共 个数.
四、解答题：本题共 5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77
分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知定义在 上的函数
（1）若 ， ，求出曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的极值.
【答案】（1）
（2）极小值为 ，没有极大值【解析】
【分析】（1）通过导函数求值，导数值与切线斜率的关系求解；
（2）通过导函数与函数单调性的关系、极值的定义求解.
【小问1详解】
， 时， ，
所以 ， ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
【小问2详解】
因为 为增函数，令 ，解得 ，
在 上符号为负，在 上符号为正增，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 有极小值为 ,没有极大值.
16. 平面上两个等腰直角 和 ， 既是 的斜边又是 的直角边，沿 边折叠
使得平面 平面 ， 为斜边 的中点．
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说
明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）存在，
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，依题意可得 、 即可证明 平面
，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 、平面 的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积
为 求解即可.
【小问1详解】
取 中点 ，连接 ，如图，
又 为 的中点，
，由 ，则 ，
又 为等腰直角三角形， ， ，
，又 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
【小问2详解】
平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，故 ，
故以 为原点， 为 、 、 轴正方向的空间直角坐标系，设 ，，
则 ， ， ，
若存在 使得平面 平面 ，且 ， ，
则 ，解得 ， ，
则 ， ，
设 为平面 的一个法向量，则 ，
令 ，即 ，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，
，可得 ．
存在 使得平面 平面 ，此时
17. 已知数列 的前n项和为 ， ，公差不为0的等差数列 满足 ，
证明：数列 为等比数列．记 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) 证明见解析 (2) ．
【解析】
【分析】 直接利用已知条件和等比数列 的定义的应用求出结果．
利用 的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．
【详解】 数列 的前n项和为 ， ，
当 时，解得 ．
当 时，
得 ，
整理得 常数 ，
所以数列 是以1为首项2为公比的等比数列．
由 得 ，解得 ．
公差d不为0 的等差数列 满足 ， ，
解得 ，
解得 或 舍去 ，
所以 ，
则 ，
所以
，得 ，
所以 ，
整理得 ，
故 ．
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，
主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18. 已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为 ，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成
功的概率分别为 ， ，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另
一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击
中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件 ，蓝
方击中红方目标为事件 .
（1）求概率 、 ；
（2）设随机变量 表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求 的分布列和数学期望；
（3）求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率.
【答案】（1） ，
（2）期望为 ， 的概率分布为：
0 1
（3） .【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率公式和对立事件的概率关系可求 、 ；
（2） 的可能取值为 ，根据独立事件和对立事件的概率关系可求 取相应值时对应概率，从而
可求分布列和期望.
（3）记3轮对抗后训练结束为事件C，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D，根据独立事件的概率
公式可求 ，再根据条件概率的概率公式可求题设中的条件概率.
【小问1详解】
记无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件 ， ， ，
红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件 ， ， ， .
，
.
【小问2详解】
经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差X的可能取值为 .
，
，
.
X的概率分布为：
0 1所以 的数学期望 .
【小问3详解】
记3轮对抗后训练结束为事件C，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D.
记3轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差为Y，
，
，
所以 ，
所以 .
所以在3轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为 .
19. 双曲线C： 的实轴长为 ，且过点 ，双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点
为F，过F的直线 交双曲线右支于M，N两点，设直线 、 交于点P.
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：点P在定直线h上；
（3）连接 交直线h于点Q，证明：以 为直径的圆与直线 相切.【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据实轴长求出 ，根据所过的点求出 ，故可求双曲线的方程；
（2）设 ： ， ， ，联立直线方程和双曲线方程后化简 后可
求 ，故可证点 在定直线上；
（3）结合（2）中的结果及韦达定理可证 ，再由斜率公式可得 ，故可证以 为直
径的圆与直线 相切于F点.
【小问1详解】
由题意得，所以 ， ，
又因为双曲线过点 ，代入解得 ，
所以双曲线C的方程为 .
【小问2详解】
，所以 ， ， ，
设 ： ，联立 得 ，
因为直线 与右支交于两点，故 .
设 ， ，所以 ， ，
故 ，
且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，
故 ，所以 点在定直线 上.
【小问3详解】
由（2）知 ，故 ，
而 ，所以 ，，
所以 的中点 ，
又
，
所以 ，即 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
另一方面 ，故直线 的方向向量为 ,
而 的方程为 ，故其方向向量为 ,
因 ，所以两个方向向量垂直，故 ，
所以以 为直径的圆与直线 相切于F点.
