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⾼⼀第三次数学练习
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
指定位置.
2.回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤2B铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊，如需
改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号；回答⾮选择题时，⽤0.5mm的⿊⾊字迹签字
笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上⽆效.
3.考试结束后，请将答题卡上交.
⼀､选择题：本题共 8⼩题，每⼩题 5分，共 40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 已知集合 ， ，则 中元素个数为（ ）
A.0 B.3 C.5 D.8
2.“ ” 是“ ” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知幂函数 图象过点 ，则 （ ）
A.3 B. C. D.
4. 已知函数 的图象如下，则 的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
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学科⽹（北京）股份有限公司5. 不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列函数是偶函数，且在区间 上是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数 的定义域为 ， ，且当 时 ，则下列结论中
⼀定正确的是（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
⼆､多选题：本题共 3⼩题，每⼩题 6分，共 18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 与函数 表示同⼀个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 的图象关于点 对称
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 存在常数 ，使 恒成⽴
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司D. 时， 的最⼩值为
三､填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 求值： ___________．
13. 已知集合 ，集合 ，下列函数能体现集合A与集合B⼀⼀对应关系
的是__________.
① ；② ；③ ；④ .
14. 已知函数 ，当 时， ，则 的最⼤值是________．
四､解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出必要的⽂字说明､证明过程及演算步骤.
15. 已知集合 ， ．
（1）若 ，求 ， ；
（2）若 ，求实数a的取值范围．
16. （1）解不等式 ；
（2）若 ，解不等式 ．
17. 对于函数 .
（1）探索函数 的单调性；并证明.
（2）是否存在实数 使函数 为奇函数?如果存在求出 值，如果不存在说明理由.
18. 设矩形 的周⻓为 ，把 沿 向 折叠， 折过去后交 于
点P，设 ．
（1）⽤x 代数式表示y，并写出x的取值范围；
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）求 最⼤⾯积及相应x的值．
19. 著名英国数学家⽜顿提出：把物体放在冷空⽓中冷却，如果物体原来 温度是 ，空⽓的温度是
，那么 分钟后物体的温度 （单位： ）可由公式 求得，其中 是
⼀个物体与空⽓的接触状况⽽定的正常数，这⼀公式称为⽜顿冷却公式.若⼀杯 的茶⽔放在 的空
⽓中冷却，1分钟后茶⽔温度是 .
（1）求 的值；
（2）如果茶⽔冷却⾄60° C时⼝感最佳，那么⼀杯95° C的茶⽔放置在15° C的空⽓中，⼤约需要等待
⼏分钟⼝感最佳？
（3）现有⼀杯温度为 的茶⽔，放置在 的空⽓中，过 分钟以后，测得其温度为 ，再过 分
钟后，测得其温度为 .试⽐较 与 的⼤⼩关系，并说明理由.参考数据：
.
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学科⽹（北京）股份有限公司⾼⼀第三次数学练习
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
指定位置.
2.回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤2B铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊，如需
改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号；回答⾮选择题时，⽤0.5mm的⿊⾊字迹签字
笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上⽆效.
3.考试结束后，请将答题卡上交.
⼀､选择题：本题共 8⼩题，每⼩题 5分，共 40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 已知集合 ， ，则 中元素个数为（ ）
A.0 B.3 C.5 D.8
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， 中的元素个数为 ，
故选：C．
2.“ ” 是“ ” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求解不等式 ，再根据充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为 ，
因为当 时，必然满⾜ ，所以“ ” 能推出“ ” ，充分性成⽴；
当 时，满⾜ ，但不满⾜ ，所以“ ” 不能推出“ ” ，必要
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学科⽹（北京）股份有限公司性不成⽴.
故选：A.
3. 已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ）
A.3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 是幂函数⽤待定系数法求出 解析式，再求 解即可．
【详解】设所求幂函数为： ，
∵幂函数 的图象经过点 ，
,解得
所以 ，
故选：B.
4. 已知函数 的图象如下，则 的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由 时函数值正负情况可得解.
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学科⽹（北京）股份有限公司【详解】由图可知函数为偶函数，⽽函数 和函数 为奇函数，故排除选项AB；
⼜当 时 ，此时 ，
由图可知当 时， ，故C不符合，D符合.
故选：D
5. 不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】移项通分，转化为⼀元⼆次不等式即可求解.
【详解】 ，可得 ，
即为 ，且 ，可得
故选：C
6. 下列函数是偶函数，且在区间 上是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数定义判断各选项是否为偶函数，再判断在区间 的上的单调性.
【详解】A.令 ，则 ， 偶函数且在区间 单调递减，A选项正确；
B.令 ，则 ，是偶函数但在区间 单调递增，B选项错误；
C.令 ，则 ，⾮奇⾮偶函数，C选项错误；
D.令 ，则 ，⾮奇⾮偶函数，D选项错误；
第3⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故选：A
7. 已知函数 的定义域为 ， ，且当 时 ，则下列结论中
⼀定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】由 ， 依次迭代求解，可得各函数值范围.
【详解】当 时 ，所以 ， ，⼜ ，
则 ， ， ，
， ， ，
， ，故B正确，ACD错误.
故选：B.
8. 已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分段函数单调性的判定⽅法，结合⼆次函数、指数函数和对数函数的单调性，列不等式求解.
【详解】因为函数 在 上单调递增，且当 时， ，
所以 在 上单调递增，所以对称轴 ，即 ；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增.
若函数 在 上单调递增，则 ，即 .
综上，实数 取值范围是 .
故选：B.
⼆､多选题：本题共 3⼩题，每⼩题 6分，共 18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
第4⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 与函数 表示同⼀个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】若两个函数为同⼀函数，则定义域相同，解析式相同，逐⼀分析各个选项，即可得答案.
【详解】 的定义域为R，当 时， ，当 时， ，
选项A： ，由 ，得 ，且 ，故A正确；
选项B： ，定义域 ，与 的定义域不同，故B错误；
选项C： ，定义域为R，解析式与 相同，故C正确；
选项D： ，定义域为R，解析式与 相同，故D正确；
故选：ACD
10. 下列是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】AC
【解析】
【分析】根据全称量词命题的特征可判断.
【详解】对于A，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，A正确；
对于B，含有存在量词，不是全称量词命题，B错误；
对于C，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，C正确；
对于D，含有全称量词，是全称量词命题，但不是真命题，例如当 时， ，这是假命题，D错
误.
故选：AC
第5⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司11. 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 的图象关于点 对称
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 存在常数 ，使 恒成⽴
D. 时， 的最⼩值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，由 即可判断；对B，利⽤复合函数的单调性判断；对C，利⽤
运算得解；对D，将原式变形为 ，令 ，利⽤基本不等式
求解.
【详解】对于A，由 ，所以 的图象关于点 对
称，故A正确；
对于B，由 ，令 ，易知 在 上单调递减，
⼜ 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递减，故B错误；
对于C，由 ，即 ，化简整理得 ，
上式恒成⽴，则 ，所以存在常数 使得 恒成⽴，故C正确；
对于D，当 时， ，
令 ，则 ，
第6⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，等号成⽴，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 求值： ___________．
【答案】0
【解析】
【分析】利⽤对数的运算公式可得答案.
【详解】
故答案为：0
13. 已知集合 ，集合 ，下列函数能体现集合A与集合B⼀⼀对应关系
的是__________.
① ；② ；③ ；④ .
【答案】①③
【解析】
【分析】
验证按照这个函数关系 是定义域， 是值域，或 是定义域， 是值域．还有就是⼀对⼀，两个不同的
⾃变量对应的函数值不相同．
【详解】①当 时， 的值域为B.
②当 时， ，但 .
③当 时， 的值域为A.
④当 时， .
∴能体现A，B对应关系的是①③.
故答案为：①③
【点睛】本题考查函数的概念，考查⼀⼀对应的概念．属于基础题．
14. 已知函数 ，当 时， ，则 的最⼤值是________．
第7⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】分别求得 和 时对应的⾃变量 的值，结合 的图象可确定 的取值范围，
由此可得结果.
【详解】令 ，解得： ；令 ，解得： ；
图象如下图所示，
由图象可知： ， ， .
故答案为： .
四､解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出必要的⽂字说明､证明过程及演算步骤.
15. 已知集合 ， ．
（1）若 ，求 ， ；
（2）若 ，求实数a的取值范围．
【答案】（1） ， 或
（2）
【解析】
【分析】（1）将 代⼊，根据集合交集，补集以及并集的定义进⾏求解即可.
（2）由题意可得 ，对集合 是否为空集进⾏讨论即可.
【⼩问1详解】
集合 ，当 时， ， ，
第8⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司或 ， 或
【⼩问2详解】
， ，
当 时， ，即 时，满⾜ ，
当 时，即 时，由 ，得 ，解得 ，
综上，实数a的取值范围是 ．
16. （1）解不等式 ；
（2）若 ，解不等式 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）整理可得 ，进⽽解不等式即可；
（2）整理可得 ，判断两根⼤⼩解不等式即可.
【详解】（1）因为 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ；
（2）因为 ，
若 ，令 ，解得 或 ，且 ，
由 解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
17. 对于函数 .
（1）探索函数 的单调性；并证明.
（2） 否存在实数 使函数 为奇函数?如果存在求出 值，如果不存在说明理由.
第9⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】（1）增函数，证明⻅详解；
（2） ，理由⻅详解.
【解析】
【分析】（1）⽤函数单调性定义证明即可；
（2）利⽤函数奇偶性的定义，列出⽅程，即可求解.
【⼩问1详解】
函数 在 上是增函数，证明如下：
因为 的定义域为 ，
任取 且 ，
则 ，
因为 在 上单调递增且 ，
所以 ，即 ，
⼜因为 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上是增函数.
【⼩问2详解】
因为函数 为奇函数，
所以 ，即 ，即 ，
解得 ，
所以存在实数 ，使函数 是奇函数.
18. 设矩形 的周⻓为 ，把 沿 向 折叠， 折过去后交 于
点P，设 ．
第10⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）⽤x的代数式表示y，并写出x的取值范围；
（2）求 的最⼤⾯积及相应x的值．
【答案】（1）
（2）当 时， 的⾯积最⼤，⾯积的最⼤值为
【解析】
【分析】（1）设 ，根据⼏何关系可得各边⻓度，再根据 中的勾股定理列式，化简可得
，根据 求解即可；
（2）根据 ，利⽤基本不等式求解最⼤值即可.
【⼩问1详解】
如图，∵ ，由矩形 的周⻓为 ，可知 ．设
，则 ，
， ， ， ，
．
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，所以 ．即 ．
【⼩问2详解】
第11⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司的⾯积为 ．
由基本不等式与不等式的性质，得 ，
当且仅当 时，即当 时， 的⾯积最⼤，⾯积的最⼤值为
19. 著名英国数学家⽜顿提出：把物体放在冷空⽓中冷却，如果物体原来的温度是 ，空⽓的温度是
，那么 分钟后物体的温度 （单位： ）可由公式 求得，其中 是
⼀个物体与空⽓的接触状况⽽定的正常数，这⼀公式称为⽜顿冷却公式.若⼀杯 的茶⽔放在 的空
⽓中冷却，1分钟后茶⽔温度是 .
（1）求 的值；
（2）如果茶⽔冷却⾄60° C时⼝感最佳，那么⼀杯95° C的茶⽔放置在15° C的空⽓中，⼤约需要等待
⼏分钟⼝感最佳？
（3）现有⼀杯温度为 的茶⽔，放置在 的空⽓中，过 分钟以后，测得其温度为 ，再过 分
钟后，测得其温度为 .试⽐较 与 的⼤⼩关系，并说明理由.参考数据：
.
【答案】（1）
（2）⼤约需要等待5分钟⼝感最佳.
（3）
【解析】
【分析】(1)根据题⽬中所给关系式，代⼊即可求得
(2)根据第⼀⼩问求得 ，把对应温度代⼊可求得等待时间；
(3)把 和 分别⽤ 和 表示后，作差⽐较⼤⼩.
【⼩问1详解】
由⼀杯 的茶⽔放在 的空⽓中冷却，1分钟后茶⽔温度是 .
则 ，则 ，所以 ;
第12⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 .
【⼩问2详解】
设⼤约需要等待 分钟⼝感最佳，则 ，则 ，
所以 ，
故⼤约需要等待5分钟⼝感最佳.
【⼩问3详解】
根据题意, ，
，
所以
因为 ，所以 ，⼜ ，所以 ，
所以 .
第13⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
