文档内容
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的选项中，只有一项符
合题目要求。
1．若复数 满足 ，则
A． B． C． D．
2．已知空间中直线 ，平面 ，则以下四个结论：
①若 ，则 为异面直线；② ，则 为异面直线；③没有公
共点的两条直线是平行直线；④两条不平行的直线就一定相交．其中答案正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如右图，四边形 表示水平放置的四边形 根据斜二测画法
得到的直观图， ， ，则
第3题图
A． B．2 C．3 D．
4．3月31日，2025年“广西三月三 八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民
歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边．小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图
所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同
侧的湖岸边一点 C，测出 A，C 的距离为 100m， ，
，计算出A，B两点的距离为
第4题图
A． B． C． D．5．已知在平行四边形 中， ，在直线 上有点 满足
，则 的值为
A．18 B． C．37 D．
6．已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围为
A． B． C． D．
7．已知圆锥的底面半径为1cm，高为 ，其中有一个内接正方体则这个内接正方体的体积
为
A． B． C． D．
8．设
为ΔABC
的重心，且 ，则角 的大小为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。
9．已知复数z满足 ，则
A．z的虚部为 B．z在复平面内对应的点位于第二象限
C． D．
10．在下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，
能得到AB//平面MNP的是
A． B． C． D．
11．在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且 ，
则下列说法正确的有
A．
B．若 ，则△ABC是等边三角形
C．若△ABC的面积为 ，则△ABC的外接圆半径的最小值为
D．若△ABC是锐角三角形，则 的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量 ， ，向量 在向量 方向上的投影向量的坐标为 ，则实数
．
13．若三棱锥 三条棱 两两互相垂直，且 ，则
该三棱锥外接球的表面积为 ．
14．已知在三棱台 中， ，则
．
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15．（13分）已知向量 满足 ， ， ．
（1）求向量 和 的夹角；
（2）若向量 三点共线，求 的值．
16．（15分）如图，在直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，
，点D是棱的 中点，点O为 与 交点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
17．（15分）在ΔABC 中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c， ， b=2√5 ，点D
是边AB上的动点(端点除外)．
（1）求 的最大值；（2）
若∠ACD 为锐角，线段 CD 的长度为4，ΔACD 的面积为4，求a
．
18.（17分）已知函数 ，的部分图像如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 图像上所有的点向下平移3个单位，向右平移 个单位，再将所得图像
上所有点的纵坐标变为原来的 ，横坐标不变，得到函数
.若函数 在区间 上恰有两个零点，
求 的取值范围.
19．（17分）
（1）类比思想是学习数学的一种重要的思想方法，是指依据两类数学对象的相似性，将已知
的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的一种思维方法．通过类比可以从已
知的数学知识中推测出未知的结论．例如，若 是线段 上一点，则
即 ．将它类比到平面上得到定理：若
是ΔABC
内一点，则
．
①将它类比到空间中得到的定理是：若 是四面体 内一个点， ．
（请写出相应结论，不需要证明）②已知 是同一平面内不同的四个点，且 ，则 三点
共线的充要条件是 ．写出空间中的类似定理：已知 是空间中不
同的五个点， ．（请写出相应结论，不需要证明）
③若
是ΔABC
的内心， ，且 ，当 时，求 的最
大值．
