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2024-2025 江苏省名校协作体 12 月高一联考
数学试题
（本卷满分150分 考试时间120分钟）
一､单选题（8*5=40分）
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出不等式，根据交集含义即可.
【详解】 ，
,
则 .
故选：B.
2. 命题“ ，使得 ”的否定是（ ）
A. ，均有 B. ，均有
C. ，有 D. ，有
【答案】B
【解析】
【分析】依据命题 的否定的书写即可
【详解】根据命题的否定的书写，存在量词变全称量词，后续结论相反可知，该命题的否定为“ ，
均有 ”，
故选：B
3. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为 ，所以 或 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 ；
因为 ，所以 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 ；
因为 或 是 或 的真子集，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再由 的值，利用排除法判断即可.【详解】函数 的定义域为 ，
且 ，
所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D；
又 ，故排除C.
故选：A
5. 声强级，是指声强x（单位：W/m²）和定值α（单位：W/m²）比值的常用对数值再乘以10，即声强级
（单位：dB）．已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人
交谈时的声强的比值约为109，那么这种火箭发射的声强级约为（ ）
A. 135dB B. 140dB C. 145dB D. 150dB
【答案】A
【解析】
【分析】根据人与人交谈时的声强级约为45dB可得 ，这种火箭发射的声强约 ，代入题
目中公式结合对数运算处理．
【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，则
火箭发射时的声强约为 W/m²，则
故选：A．
6. 已知函数 的图像关于直线 对称，当 时， 恒成立，设
则 的大小关系为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称性可得 ，再根据单调性即可求解.
【详解】因为当 时， 恒成立，
所以 在 上单调递减，
又 的图像关于直线 对称，所以 ，
因为 ，所以 ，即 .
故选：A
7. 定义运算“ ”： ，则函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得函数为 ，再分段求值域即可.
【详解】由 ，可得 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， 在 上单调递增，所以 ，
当 时， 在 上单调递减，所以 ，所以 的值域为 .
故选：A.
8. 已知 是定义在 上的函数， 的图象关于点 对称，对任意 ， ，都有
.若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. 或 B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数 ，然后结合函数的单调性和奇偶性求解．
【详解】因为 是定义在 上的函数， 的图象关于点 对称，
所以 为奇函数， ，
因为 ，即 ，所以 ，
构造函数 ，则有 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 为奇函数，
变形 ，
则有 ，即 ，
所以 ，解得： 或 ，
故选：B．
二､多选题（3*6=18分）
9. 下列说法正确的是（ ）A. 若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为
B. 对应 ，其中 ， ， ，则对应 是函数
C. 对于定义在 上的函数 ，若 ，则 不是偶函数
D. 函数 在 上单调递增，在 上单调递增，则 在 上是增函数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复合函数的性质即可根据 求解A，根据函数的定义即可求解B，根据偶函数的定
义即可求解C，举反例即可求解 D.
【详解】对于A，根据题意可得 ，解得 ，所以 的定义域为 ，故A
正确，
对于B, 对应 ，其中 ， ， ，则对应 不是函数，比如 ，则 可取 ，
故不符合函数定义，B错误，
对于C，若 为偶函数，则需要对定义域内任意的 都有 ，因此对于定义在 上的函
数 ，若 ，则 不是偶函数，C正确，
对于D, 函数 在 上单调递增，在 上单调递增，则 在 上不一定是增函数，比如
，但 在 上不是增函数，故D错误，
故选：AC
10. 若正数 ， 满足 ，则（ ）
A. B.C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误.
【详解】对于A， ，所以 ，化简得 ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B，根据基本不等式，
，
当且仅当 时，等号成立，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，
所以 ， ，同理， ，所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选ABD.
11. 已知连续函数 满足：① ，则有 ，②当 时，
，③ ，则以下说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 在 上的最大值是10
D. 不等式 的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】依题意令 ，求出 ，从而判断A；令 得到 ，再令 ，
，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于
，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D.
【详解】因为 ，则有 ，
令 ，则 ，则 ，故A正确；
令 ，则 ，令 代 ， 则 ，
即 ，即 ，故B错误；
设 且 ，则 ，由 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ， ，则 ，即
，
因为 时， ，又 ，故 ，
所以 ，所以 ，即 在 上单调递减，
又 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
故 在 上的最大值为 ，故C正确；
由 ，即 ，
即 ，即 ，
又因为 ，即 ，
所以 ，即 ，
故 ，即 ，解得 ，
即原不等式的解集为 ，故D正确；
故选：ACD.
三､填空题（3*5=15分）12. 已知函数 （ ）是偶函数，则函数 的单调递增区间为
_______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函数的定义求出 ，再结合二次函数单调性求解即得.
【详解】函数 是偶函数，则 ，即 ，
整理得 ，而 不恒为0，因此 ， ，
函数 的定义域为 ，根据复合函数的单调性，易知单调递增区间为 .
故答案为：
13. 已知函数 ，若关于x的方程 恰有两个不同的实数根，则a的
值是__________.
【答案】 或
【解析】
【分析】根据分段函数作出图象，结合图象性质分析即可得结论.
【详解】因 ，
为
作出函数的图象，如图所示：
由此可知函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，又因为关于 的方程 恰有两个不同的实数根，
结合图象可得 或 .
故答案为： 或 .
14. 已知关于 的不等式 （其中 ）的解集为 ，若满足 （其中
是整数集），则使得集合 中元素个数最少时 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据开口方向的不同分为 三种情况讨论，运用基本不等式对集合 进行分析.
【详解】当 时，原不等式为 ，解得 ，此时集合 有无穷多个元素，显然不满足
题意；
当 时， ，则不等式 的解为 或 ，
此时集合 有无穷多个元素，显然不满足题意；
当 时， ，则不等式的解为 ，而 ，
则 集合至少含有 共 个元素.
综上所述：集合 中元素最少为 个，此时 且 ，解得 .
故答案为：
四､解答题（共5小题满分77分）
15. 计算下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）3 （2）4【解析】
【分析】（1）根据对数的运算法则可得答案；
（2）由指数幂的运算法则及平方和，立方差等公式计算可得答案.
【小问1详解】
结合题意可得：
;
【小问2详解】
结合题意可得：
.
16. 已知二次函数 的图象与直线 有且仅有一个公共点，且不等式
的解集为 .
（1）求此二次函数的解析式；
（2）关于 的不等式 的解集中恰有一个正整数，求实数 的取值范围；
（3）对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，可得 ， 是方程 的两个根，写出解析式，再结合
顶点坐标求解即得.
（2）由（1）的结论，分类求解不等式，进而确定 的范围.
（3）依题意可得对 ，不等式 恒成立，令 ， ，则，解得即可.
【小问1详解】
由不等式 的解集为 ，得 且 是关于 的方程 的两个根，
因此 ，
所以函数 的图象开口向上，其对称轴为 ，
而该图象与直线 有且仅有一个公共点，则 图象的顶点为 ，
于是 ，解得 ，
所以此二次函数的表达式为 ，即 .
【小问2详解】
由（1）知不等式 为 ，
整理得 ，即 ，
的
依题意，不等式 解集中恰有一个正整数，则 ，
当 时，解得 ，即不等式的解集为 ，此时解集中不含正整数，故舍去；
当 时，解得 ，不等式的解集为 ，要使解集中恰有一个正整数，
则 ，
所以实数 的取值范围是 .
【小问3详解】
对 ，不等式 恒成立，
即对 ，不等式 恒成立，
令 ， ，则 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
17. 某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．
已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车 万台
（ ）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为
（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本）
（1）写出年利润 （亿元）关于年产量 （万台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；
（3）若该企业当年不亏本，求年产量 （万台）的取值范围．
【答案】（1）
（2）当年产量为 万台时，该企业获利最大，最大年利润为 亿元
（3）
【解析】
【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式.（2）在每个分段上分
别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润.（3）对于不亏本的情况，即利润大于等于 ，分
别在不同分段上求解不等式得出产量的取值范围.
【小问1详解】
当 时，销售收入为 亿元（每台售价 万元， 万台），总成本为固定研发成本 亿元加上
其他成本 亿元.
根据利润=销售收入-总成本，可 .当 时，销售收入为 亿元，总成本为 亿元.
则 .
所以 .
【小问2详解】
当 时， ，图象开口向下，对称轴为 .
但 ，所以在这个区间上函数单调递增，所以 亿元.
当 时，根据基本不等式，有 .
所以 亿元，当且仅当 ，即 取等号.
因为 ，所以当年产量为 万台时，该企业获利最大，最大年利润为 亿元.
【小问3详解】
当 时， ，即 ，解得 .
结合 ，知道此时 满足题意.
当 时， ，即 ，
即 ，令 ，对称轴 ，
当 时， 单调递减，且 时, .
则当 ， 恒成立，即 恒成立.综上所得，该企业当年不亏本，则年产量 （万台）的取值范围为 .
18. 已知定义在 上的函数 在(0,+∞)上是增函数. 为偶函数，且当
时， .
（1）当 时，求 在 上的解析式；
（2）是否存在实数 ，使函数 与 的值域相同，若存在，求出所有实数 的值，若不存在，说
明理由；
（3）令 ，讨论关于 的方程 的实数根的个数.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用 为偶函数即可求解析式；
（2）根据二次函数、指数函数求值域，结合已知即可求 的值；
（3）分类讨论 确定 零点情况即可.
的
【小问1详解】
当 时， 时， ，
当 时，则 ，而 为偶函数，有 ，
所以 ．
【小问2详解】
∵函数 在(0,+∞)上单调递增，∴ ，且 的值域为 ，
当 时， ，且 为偶函数，
∴ 的值域为 ，
由题意知： ．
令 ，易知 在 上单调递增，且 ；
∴ ．
【小问3详解】
由（2）有 ，令 ，
①当 时， ，此时仅有一个零点 ．
②当 时， ，此时仅有一个零点 ．
③当 时，在 中 ，故无零点；
在 中 单调递增，而 ， ，
∴故此时 ，使 ，即仅有一个 有 ， ．
④当 时，在 中 ，零点有 ，故有两个零点；
在 中 单调递增，而 ，即无零点；
综上所述，当 时，方程 有两个实数根；
当 时，方程 仅一个实数根．
【点睛】关键点点睛：将方程 的实数根转化为的零点问题.
19. 若函数 与 满足：对任意的 ，总存在唯一的 ，使 成立，则
称 是 在区间 上的“ 阶伴随函数”；当 时，则称 为区间 上的“ 阶自伴
函数”.
（1）判断 是否为区间 上的“ 阶自伴函数”，并说明理由；
（2）若函数 为区间 上的“1阶自伴函数”，求 的最小值；
（3）若 是 在区间 上的“2阶伴随函数”，求实数 的取值范围.
【答案】（1）不是，详见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取 ，根据“ 阶自伴函数”的定义判断；
（2）根据函数 为区间 上的“1阶自伴函数”，得到 ，从而化简得
到 ，则 ，再根据“1阶伴随函数”的定义得到 ，
从而有 ，然后利用基本不等式求解；
（3）由 是 在区间 上的“2阶伴随函数”，得到
，且 在区间 上的值域必定包含区间 ，
的值域所对应的自变量唯一求解.【小问1详解】
解： ， ，
当 时， ，则 ，
所以 ，则 ，
即 ，但 ，
故 不是区间 上的“ 阶自伴函数”；
【小问2详解】
函数 为区间 上的“1阶自伴函数”，
则 ， ，所以 ，
则 ，
因为任意的 ，总存在唯一的 ，使 成立，
所以 ，
则 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
，
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
【小问3详解】
因为 是 在区间 上的“2阶伴随函数”，
所以 ，
则 在区间 上的值域必定包含区间 ，
且 的值域所对应的自变量唯一，
当 时， 在 上递增，
则 ，解得 ；
当 时， 在 上递减，
则 ，解得 ；
当0
