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2024～2025 学年第一学期期中考试
高一数学试题
用时：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合交集运算的定义求出 即可.
【详解】由题意得，因为 ， ，
所以根据交集运算的定义，两集合的公共元素为 ，
所以 ，
故答案选：D.
2. 若命题“ ， ”是真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 的最小值即可得．
【详解】 ， 的最小值是 ，因此 ，故选：B．
3. 定义在 上的偶函数 ，在区间 上单调递减，下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，对函数值 比较大小即可.
【详解】∵ 在(0,+∞)单调递减，∴ ，故B错误；
又 是偶函数，所以 在 上单调递增，
∴ ，故C错误；
而由 是偶函数以及其单调性可得 ，
∴ ，故A正确，D错误；
故选：A．
4. 已知函数 图象如右图所示，则 的图象是（ ）
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 与 的图象关于 轴对称，再将 的图象向右平移1个单位即可求解.
【详解】将 与 的图象关于 轴对称，再将 的图象向右平移1个单位得到 ，
因此D符合，
故选：D
5. 设正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式求出最小值.
【详解】正数 ， 满足 ，则 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 .
故选：A
6. 设 ，则“ ”的充要条件是（ ）
A. a，b不都为1 B. a，b都不为0
C. a，b中至多有一个是1 D. a，b都不为1
【答案】D
【解析】
【分析】由 ，求得 且 ，即可求解.【详解】由 ，可得 ，所以 且 ，
所以“ ”的充要条件是“ 都不为 ”.
故选：D.
7. 已知函数 ， ，则函数 的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据解析式和函数定义域，可由定义法先求出函数的单调性，再根据单调性求出函数值域.
【详解】由题意得，设 ，且 ，
则
，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
若 ，
则 ，此时 ，所以 在 上为减函数；
若 ，
则 ，此时 ，
所以 在 上为增函数；
综上所述，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以函数 ， 的值域为 ，
故答案选：B.
8. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由绝对值 的定义化简函数式，结合单调性求解．【详解】 ，
，则 ，解得 ，
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若 ，则下列各式中，成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据对数运算法则、换底公式判断．
【详解】 ，A错；
，B正确；
由换底公式知C正确；
，D错，
故选：BC．
10. 已知 是定义在R上的奇函数，当 时，f (x)=x2−2x，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当x∈(0,+∞)时，
C. 在定义域R上为减函数 D. 不等式 的解集为
【答案】AC【解析】
【分析】利用奇函数的定义求解在给定区间外的函数表达式，然后分析函数的单调性，最后求解不等式即
可
【详解】利用奇函数的性质，对于所有 ， ，
因为 是奇函数，对于所有 ，
，
因此 ，
所以A正确；B错误；
当 ，函数 的导数为 ，
在 时， ，所以函数 在 内是减函数，
当 ， 的导数为 ，在 时， ，
所以函数 在 内是减函数，故 在整个定义域R上是减函数；故C正确；
若 ， 当 时， ，即
因为 在整个定义域R上是减函数，
解得 ，即 ，所以选项D错误；
故选：AC.
11. 关于 的方程 的两实根为 ， ，且 ， ，则（ ）
A. B. 的最小值为4
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】【分析】根据韦达定理可得 ，即可代入求解 A，根据基本不等式即可求解 B，利用
，结合基本不等式即可求解CD.
【详解】由 的两实根为 ， 可得 ，
故 ， 或 ，
对于A， ，A正确，
对于B，由 ， ， 可得 ，故
，当且仅当 时取等号，故B正确，
对于C，由 可得 ，
故 ，
当且仅当 ，即 取等号，故C错误，
对于D，由 可得 ，故
，当且仅当 ，即
时取等号，故D正确，故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数 的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义即可求得定义域.
【详解】解：由解析式可知 ，
故函数的定义域为：
13. 若集合 ，则 ______.
【答案】1
【解析】
【
分析】利用集合相等，分 和 两种情况求解.
【详解】当 时， ，即 ，则 ；
当 时， ，解得 ，此时 ，即 ，则 ，
综上： .
故答案为：1
14. 若 ，则 的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】用反证法证明 的最小值不小于 ，再确定 能等于 ，即
可得．【
详解】由题意 ，
若存在 使得 ，则 ，
因此 ，但 ，
因此假设错误，不存在 使得 ，
所以 的最小值不小于 ，
又 时， ，
所以 的最小值为 ，
故答案为： ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）化简求值： ；
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1）11；（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂以及对数的运算性质即可求解，
（2）根据指数幂的性质可得 ，即可利用立方差公式求解.
【详解】（1）原式=.
（2）因为 ，两边平方得 ，
所以 .
16. 设 为实数，集合 ， .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简集合A，再由 得到 求解；
（2）分 和 时，由 求解.
【小问1详解】
解：由 得 ，
则 .
若 ，则 ，
所以 ，解得 .
【小问2详解】
当 时，有 ，则 ；当 时，则 ，或 ，
解得 或 .
综上，实数 的取值范围是
17. 定义在 的函数 满足 ，且当 时， .
（1）证明：函数 是奇函数；
（2）判断函数 在 上的单调性并证明.
【答案】（1）证明见解析
（2）函数 在 上单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明；
（2）利用函数的单调性的定义证明.
【小问1详解】
证明：函数 的定义域为R，
令 ， 得： ， ，
再令 ，则 ，
即f (−x)=−f (x)，
所以函数 在R上是奇函数.
【小问2详解】
在R上是单调递减函数，
证明如下：
任取 ， ，且 ，则 ，则 ，
因为当 时， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在R上单调递减.
18. 已知二次函数f (x)=ax2+bx+c的两个零点为 和 ，且 .
（1）求 的解析式；
（2）当 时，求 的最小值；
（3）解关于 的不等式 .
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由函数的零点性质可设 ，代入求解即可；
（2）由二次函数的性质讨论对称轴与区间的关系即可；
1
（3）讨论 与零和 的关系，结合一元二次不等式解法求解即可；
2
【小问1详解】
因为二次函数f (x)=ax2+bx+c的两个零点为 和 ，可设 ，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
【小问2详解】
因为 的对称轴为 ，
当 时， 在 上单调递增， ；
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， 在 上单调递减， ；
综上， .
【小问3详解】
由题意可得 ，即 ，
①当 时，不等式的解集为 ，
②当 时，不等式可化为 ，
不等式的解集为 或 .③当 时，不等式可化为 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 .
综上，当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
19. 设函数 的定义域为 ，若存在常数 满足 ，且对任意的 ，总存在
，使得 ，称函数 为 函数.
（1）求证：函数 是 函数；
（2）若函数 是 函数，求实数 ；
（3）若函数 是 函数，求实数 .
【答案】（1）证明见解析（2）
.
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数 为 函数的定义求解.
（2）法一：根据函数 是 函数，先由 不成立，得到 或 ；再根据函数
的新定义，由 ，转化为 ，令 ，
根据 在 单调递减，由 求解；法二：根据函数
是 函数及 在 是增函数，由 求解；
（3）法一：由 ，得到 ，从而 ，再由函数 是 函数，
化简得到 ，由 求解；法二：同上，由
求解.
【小问1详解】
解：任取 ，总存在 ，
使得 ，所以 是 函数.
【小问2详解】
法一：因为函数 是 函数，
若 ，则当 时， ，
此时不存在 ，使得 ，
所以 或 ；
若任取 ，存在 ，使得 ，
所以 ，化简得 ，
令 ，
因为 在 单调递减，
所以
当 时，得 ，
当 时，得 ，
综上所述 .
法二：因为函数 是 函数，若 ，则当 时， ，
此时不存在 ，使得 ，所以 或 ；
若任取 ，存在 ，使得 ，
只需满足 即可，因为 在 是增函数，
故有 ，即 ，
解得 .
【小问3详解】
法一：因为 ，所以 ，
所以 ，
又
所以函数 为增函数；
函数 是函数，
所以任取 ，存在 ，使得 ，
化简得 ，
，得 ，所以 .
法二：因为 ，所以 ，所以 ，
又
所以函数 为 上的增函数；又函数 是 函数，
所以任取 ，存在 ，使得 ，
等价于 ，
即 ，即 ，
解得 .
【点睛】方法点睛：对任意 ，存在 ，使得 ，由
而得解.
