文档内容
环际⼤联考
逐梦计划 学年度第⼀学期阶段考试（⼀）
“ ”2025~2026
⾼⼆数学试题
（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考⽣务必将⾃⼰的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤2B铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改
动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号.回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上⽆效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回.
⼀､单项选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有
⼀项是符合题⽬要求的.
1. 直线 的倾斜⻆为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线 ， ，若 ，则实数 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
3. 若⽅程 表示圆，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知椭圆 的⻓轴⻓是短轴⻓的 倍，则 的离⼼率为（ ）
A. B. C. D.
5. 直线 被圆 截得的弦⻓为（ ）
A.2 B. C.4 D.
6. 已知 、 是椭圆 的两焦点，点 在椭圆 上，则 的最⼩值是（ ）
A. B. C. D.
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司7. 已知直线 ，圆 ，若圆 上有且仅有三个点到直线 的距离为
，则 （ ）
A.2 B.4 C. D.
8. 若椭圆 的离⼼率为 ，左顶点为 ，点 、 为 上任意两点且关于 轴
对称，则直线 和直线 的斜率之积为（ ）
A. B. C. D.
⼆､多项选择题：本⼤题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符
合题⽬要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线 在y轴上的截距为2
B. 直线 过定点
C. 过点 且平⾏于直线 的直线⽅程为
D. 三条直线 交于同⼀点
10. 已知圆 与圆 ，下列选项正确的有（ ）
A. 若 ，则两圆外切
B. 若 ，则直线 为两圆的⼀条公切线
C. 若 ，则两圆公共弦所在直线 ⽅程为
D. 若 ，则两圆公共弦的⻓度为
11. 已知椭圆 的左､右两个焦点分别为 为椭圆上⼀动点， ，则下列说法正
确的是（ ）
A. 存在点 使
B. 的周⻓为16
C. 的最⼤⾯积为12
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司D. 的最⼩值为
三､填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 点 关于点 的对称点 的坐标是__________.
13. 若焦点在x轴上的椭圆 的焦距为4，则 ___________．
14. 若 是圆 上两点，且 ，若存在 ，使得直线
与 的交点 恰为 的中点，则实数 的取值范围为______.
四､解答题：本⼤题共5⼩题，共77分.解答应写出必要的⽂字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知 ， 、 、 ，求：
（1） 边上的中线所在直线的⽅程；
（2） 边上的⾼所在的直线的⽅程；
（3）三⻆形 ⾯积.
16. 已知圆 圆⼼为 ，且过点 .
（1）求圆 半径及标准⽅程；
（2）过点 的直线 被圆 截得的弦⻓为 ，求直线 的⽅程.
17. 已知椭圆 焦点为 、 ，该椭圆经过点
（1）求椭圆的标准⽅程；
（2）若椭圆上的点 满⾜ ，求 .
18. 已知圆 的圆⼼在直线 上，且与 轴相切，直线 被圆 截得的弦⻓为 .
（1）求圆 的⽅程；
（2）若直线 与圆 相切，且与 轴、 轴分别交于点 、 .
①写出 与 的关系式；
②求 ⾯积的最⼩值，并写出此时的直线 的⽅程.
19. 已知椭圆 的 为2，离⼼率为 为 的左，右焦点， 是椭圆
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司上的两点.
（1）求 的⽅程；
（2）若 两点都在 轴上⽅，且 ，
①若 ，求 ；
②求四个点 所构成的四边形⾯积的最⼤值.
第4⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司环际⼤联考
逐梦计划 学年度第⼀学期阶段考试（⼀）
“ ”2025~2026
⾼⼆数学试题
（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考⽣务必将⾃⼰的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤2B铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改
动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号.回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上⽆效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回.
⼀､单项选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有
⼀项是符合题⽬要求的.
1. 直线 的倾斜⻆为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线⽅程得斜率，由斜率得倾斜⻆．
【详解】由直线⽅程为 可知直线 的斜率为 ，
因此倾斜⻆为 ．
故选：B．
2. 已知直线 ， ，若 ，则实数 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利⽤直线垂直的等价条件可得出关于实数 的等式，解之即可.
【详解】因为直线 ， ，且 ，则 ，
解得 .
第1⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故选：C.
3. 若⽅程 表示圆，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的⼀般⽅程性质列式计算求参数.
【详解】因为⽅程 表示圆，所以 ，所以 ，
则实数 的取值范围是
故选：C.
4. 已知椭圆 的⻓轴⻓是短轴⻓的 倍，则 的离⼼率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件得出 ，再利⽤公式 可求出椭圆 的离⼼率.
【详解】因为椭圆 的⻓轴⻓是短轴⻓的 倍，则 ，即 ，
故椭圆 的离⼼率为 .
故选：C.
5. 直线 被圆 截得的弦⻓为（ ）
A.2 B. C.4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出弦⼼距，然后根据圆的弦⻓公式直接求解即可.
【详解】圆 ，所以圆⼼ ，半径 ，
第2⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以弦⼼距为 ，
所以弦⻓为 ，
故选：C
6. 已知 、 是椭圆 的两焦点，点 在椭圆 上，则 的最⼩值是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点 ，其中 ，可得出 ，利⽤平⾯向量数量积的坐标运算结合⼆
次函数的基本性质可求得 的最⼩值.
【详解】对于椭圆 ，
则 ， ， ，
所以 、 ，
设点 ，其中 ，且 ，故 ，
所以 ， ，
故 ，
故当 时， 取最⼩值 .
故选：A.
7. 已知直线 ，圆 ，若圆 上有且仅有三个点到直线 的距离为
，则 （ ）
A.2 B.4 C. D.
【答案】D
第3⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由圆⼼到直线的距离，即可判断.
【详解】圆 的圆⼼到直线 距离 ，
若圆 上有且仅有三个点到直线 的距离为 ，则 ，即 .
故选： D.
8. 若椭圆 的离⼼率为 ，左顶点为 ，点 、 为 上任意两点且关于 轴
对称，则直线 和直线 的斜率之积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的离⼼率求出 的值，设点 ，则点 ，其中 ，可得
出 ，再利⽤斜率公式可求出 的值.
【详解】由题意可知，椭圆 的离⼼率为 ，故 ，
设点 ，则点 ，其中 ，
因为点 在椭圆 上，所以 ，可得 ，
易知点 ，所以 ，
故选：A.
⼆､多项选择题：本⼤题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符
合题⽬要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线 在y轴上的截距为2
第4⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司B. 直线 过定点
C. 过点 且平⾏于直线 直线⽅程为
D. 三条直线 交于同⼀点
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A项，将直线⽅程化成斜截式⽅程即得；对于B项，把直线⽅程化成关于参数 的⽅程，依
题得到 ，解之即得；对于C项，根据平⾏设直线 ，再代⼊求参即可；对于D
项，联⽴求解即可.
【详解】对于A项，由 可得： ，可得直线 在 轴上的截距是 ，故A项
错误；
对于B项，由 可得： ，因 ，则有：
，
故直线 恒过定点 ，故B项正确；
对于C项，不妨设平⾏于直线 的直线⽅程为 ，因为过点 ，所以
，即 ，故C项正确；
对于D项， ，所以 ，所以三条直线 交
于同⼀点 ，故D项正确.
故选：BCD.
10. 已知圆 与圆 ，下列选项正确的有（ ）
A. 若 ，则两圆外切
B. 若 ，则直线 为两圆的⼀条公切线
C. 若 ，则两圆公共弦所在直线的⽅程为
第5⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司D. 若 ，则两圆公共弦的⻓度为
【答案】BD
【解析】
【分析】利⽤圆与圆的位置关系可判断A选项；利⽤直线与圆的位置关系可判断B选项；将两圆⽅程相减
可判断C选项；利⽤勾股定理可判断D选项.
【详解】圆 的圆⼼为 ，半径为 ；圆 的圆⼼为 ，半径为 ，
对于A选项，若两圆外切，则 ，解得 ，A错；
对于B选项，若 ，圆⼼ 到直线 的距离为 ，则直线 与圆 相切，
圆⼼ 到直线 的距离为 ，则直线 与圆 相切，
故当 时，则直线 为两圆的⼀条公切线，B对；
对于C选项，若 ，因为 ，此时两圆相交，
将两圆⽅程相减得 ，即 ，
故当 时，两圆公共弦所在直线的⽅程为 ，C错；
对于D选项，当 时，圆⼼ 到直线 的距离为 ，
此时两圆的公共弦⻓度为 ，D对.
故选：BD.
11. 已知椭圆 的左､右两个焦点分别为 为椭圆上⼀动点， ，则下列说法正
确的是（ ）
A. 存在点 使
B. 的周⻓为16
C. 的最⼤⾯积为12
D. 的最⼩值为
【答案】ACD
【解析】
第6⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】对于A，由 可得点 的轨迹，结合椭圆的⼏何性质即可判断得点 的轨迹与椭圆 没
有交点，由此得以判断；对于B，利⽤椭圆的定义可得 的周⻓，由此判断即可；对于C，根据椭圆
的⼏何性质，当 为椭圆短轴顶点时，可得 的⾯积最⼤，从⽽得以判断；对于D，利⽤椭圆的定义，
结合三⻆形边⻓的不等式可得 ，从⽽得以判断.
【详解】由 ，得 .
对于A：假设存在点 使得 ，则 ，
所以点 的轨迹是以原点 为圆⼼， 为直径的圆 ，则 ，
因为椭圆 上的任⼀点到原点 的最⼩距离是短轴顶点与原点 的距离，即 ，
由 可知，圆 与椭圆 有交点，
所以假设成⽴，即存在点 使得 ，故A正确；
对于B： 的周⻓为 ，故B错误；
对于C：当 为椭圆 短轴顶点时，点 到 的距离最⼤，则 的⾯积最⼤，
所以 ，故C正确；
对于D： ，⼜ ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 点 关于点 的对称点 的坐标是__________.
【答案】
第7⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【解析】
【分析】设点 ，由题意可知 为线段 的中点，利⽤中点坐标公式可求出点 的坐标.
【详解】设点 ，由题意可知 为线段 的中点，
由中点坐标公式可得 ，解得 ，
因此点 关于点 的对称点 的坐标是 .
故答案为： .
13. 若焦点在x轴上的椭圆 的焦距为4，则 ___________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于m的⽅程，解⽅程得到m的值.
【详解】因为椭圆 的焦点在x轴上且焦距为4，
所以 ，
解得 .
故答案为：4.
14. 若 是圆 上两点，且 ，若存在 ，使得直线
与 的交点 恰为 的中点，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由直线与圆相交以及弦⻓ ，可得 点的轨迹⽅程，⼜直线 与
相交，可得交点 的轨迹⽅程，由已知可得圆 与圆 有公共点，根据圆与圆的位
置关系列出不等式，解出实数 的取值范围．
第8⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】圆 的半径 ，
为 的中点，且 ，解得 ，
点 轨迹⽅程为 ，
⼜直线 过定点 ， 即 过定点 ，且
，
则 点是两垂线 交点，所以 点在以 为直径的圆上，圆⼼为 ，半径为
，
的轨迹⽅程为 ，由于 的斜率存在，所以点 的轨迹要去掉点 ，
由已知可得：圆 与圆 有公共点， ，即 ，⼜ ，所以
，解得 ，
故答案为：
四､解答题：本⼤题共5⼩题，共77分.解答应写出必要的⽂字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知 ， 、 、 ，求：
（1） 边上的中线所在直线的⽅程；
（2） 边上的⾼所在的直线的⽅程；
（3）三⻆形 的⾯积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出线段 的中点 的坐标，求出线段 的两点式⽅程，化为⼀般式⽅程即可；
（2）求出直线 的斜率，可求出边 上的⾼所在直线的斜率，再利⽤点斜式⽅程可得出所求直线的⽅
程；
（3）求出直线 的⽅程，即可求出点 到直线 的距离，再求出 的值，再利⽤三⻆形的⾯积公式
可求得 的⾯积.
第9⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【⼩问1详解】
由题意可知线段 的中点为 ，
所以 边上的中线所在直线的⽅程为 ，即 .
【⼩问2详解】
直线 的斜率为 ，故边 上的⾼所在直线的斜率为 ，
因此 边上的⾼所在的直线的⽅程为 ，即 .
【⼩问3详解】
直线 的⽅程为 ，即 ，
，
点 到直线 的⽅程为 ，
因此， .
16. 已知圆 的圆⼼为 ，且过点 .
（1）求圆 的半径及标准⽅程；
（2）过点 的直线 被圆 截得的弦⻓为 ，求直线 的⽅程.
【答案】（1）3，
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）由圆⼼和圆上的点求得半径，写出到圆的标准⽅程；
（2）讨论斜率是否存在，当斜率不存在时，显然成⽴；斜率存在时，先设直线⽅程，由圆⼼到直线的距离
和半径表示出弦⻓，解得斜率值，写出直线⽅程.
【⼩问1详解】
半径 ，
所以 的⽅程为 .
第10⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【⼩问2详解】
当 的斜率不存在时， 的⽅程为 ， 与圆相交，
圆⼼到直线 的距离 ，弦⻓为 ，满⾜条件；
当 的斜率存在时，设直线 的⽅程为 ，即 ，
圆⼼到直线 的距离 ，
所以弦⻓ ，
即 ，
所以 的⽅程为 或 .
17. 已知椭圆的焦点为 、 ，该椭圆经过点
（1）求椭圆的标准⽅程；
（2）若椭圆上的点 满⾜ ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利⽤椭圆的定义可求出 的值，结合 的值可得出 的值，即可得出椭圆的标准⽅程；
（2）由题意得出 ，由题意得出 ，结合平⾯向量数量积的坐标运算求出 的值，
结合三⻆形的⾯积公式可求得 的值.
【⼩问1详解】
根据题意可设椭圆的标准⽅程为 ，
由椭圆的定义可得 ，故 ，
⼜因为 ，所以 ，
第11⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因此椭圆的标准⽅程为 .
【⼩问2详解】
由题意可得 ，故 ，
， ，
因为 ，所以
，解得 ，
故 .
18. 已知圆 的圆⼼在直线 上，且与 轴相切，直线 被圆 截得的弦⻓为 .
（1）求圆 的⽅程；
（2）若直线 与圆 相切，且与 轴、 轴分别交于点 、 .
①写出 与 的关系式；
②求 ⾯积的最⼩值，并写出此时的直线 的⽅程.
【答案】（1） 或
（2）① ；②最⼩值为 ，直线 的⽅程为
【解析】
【分析】（1）不妨设圆⼼坐标为 ，由题意可知，该圆的半径为 ，利⽤勾股定理和点到
直线的距离公式可得出关于 的等式，解出 的值，即可得出圆 的标准⽅程；
（2）①⾸先根据题设条件 对（1）中求得的两个圆进⾏讨论，确定唯⼀满⾜条件的圆 的⽅程，
然后利⽤直线与圆相切的条件（圆⼼到直线的距离等于半径）得出 与 的关系式；
②利⽤基本不等式可求出 ⾯积的最⼩值，利⽤等号成⽴的条件求出 、 的值，即可得出直线 的
第12⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⽅程.
【⼩问1详解】
不妨设圆⼼坐标为 ，由题意可知，该圆的半径为 ，
所以圆 的标准⽅程为 ，
由勾股定理可知，圆⼼ 到直线 的距离为 ，
由点到直线的距离公式可得 ，
所以 ，解得 ，
故圆 的标准⽅程为 或 .
【⼩问2详解】
①由题意，直线 的截距式⽅程为 ，化为⼀般式⽅程为 ，
若圆 的⽅程为 ，
则圆⼼ 到直线 的距离为
，
此时直线 与圆 相离，不合题意，
所以圆 的⽅程为 ，
则圆⼼ 到直线 的距离为 ，整理得 ，
故 ；
②
，
第13⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当且仅当 时，即当 时，等号成⽴，此时
故 ⾯积的最⼩值为 ，此时直线 的⽅程为 .
19. 已知椭圆 的 为2，离⼼率为 为 的左，右焦点， 是椭圆
上的两点.
（1）求 的⽅程；
（2）若 两点都在 轴上⽅，且 ，
①若 ，求 ；
②求四个点 所构成的四边形⾯积的最⼤值.
【答案】（1） ；
（2）①1；②2.
【解析】
【分析】（1）根据离⼼率公式即可得到⽅程组，解出即可；
（2）①设直线 ，联⽴椭圆⽅程得到⻙达定理式，再结合 ，解出即可；
②⾸先分析得 ，从⽽将四边形⾯积转化为 ，再结合⻙达定理得到⾯积表达式，最后
利⽤基本不等式即可得到最值.
【⼩问1详解】
由已知得 ，解得 ，
所以 ，所以椭圆 ⽅程为 .
【⼩问2详解】
①设 关于原点 的对称点为 ，则四边形 为平⾏四边形，所以 ，
因为 ， 两点都在 轴上⽅，且 ，
第14⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ，
，设直线 ，
由 ，消去 得 ，
，
设 ，则 （1）； （2），
因为 ，所以 （3），
由（1）（2）（3）得 ，解得 ，由图知此时 ，
则
，故 .
②由①知 ，且 ，所以 ，
所以
当且仅当 ，即 时取等号．
所以四个点 所构成的四边形⾯积的最⼤值为2．
第15⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司第16⻚/共16⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
