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2025-2026 学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 ( )
A={x|x>2} B={2,3,4} (∁ A)∩B=
R
A. ⌀ B. {2} C. {2,3} D. {2,3,4}
2.命题“∃x<1，x3+2x−1<0”的否定是( )
A. ∃x≥1，x❑ 3+2x−1≥0 B. ∃x<1，x❑ 3+2x−1≥0
C. ∀x≥1，x❑ 3+2x−1≥0 D. ∀x<1，x❑ 3+2x−1≥0
3.已知a>b>c，则( )
1 1
A. ab>bc B. a|c|>b|c| C. > D. a❑ 2>b❑ 2>c❑ 2
b−c a−c
√ x
4.函数y= +1的定义域为( )
x−2
A. (−∞,1]∪[2,+∞) B. [1,2)
C. (−∞,1]∪(2，+∞) D. [1,2]
5.已知全集U=N，集合A={x|x=3k,k∈N}，B={x|x=6k,k∈N}，则正确的关系是( )
A. A∪B=B B. B∩(∁ A)=⌀ C. B∪(∁ A)=U D. A∩(∁ B)=A
U U U
6.已知 ，则函数 的解析式为( )
f(x2−1)=x4−1 f(x)
A. B.
f(x)=x❑ 2+2x f(x)=x❑ 2−1(x≥−1)
C. D.
f(x)=x❑ 2+2x(x≥−1) f(x)=x❑ 2−1
2 1
7.已知x>0，y>0，且 + =1，若2x+ y0 的整数解的集合为 ，求实数 的取值范围( )
x {−2} k
2x2+(2k+5)x+5k<0
A. (−3,2) B. [−3,2) C. [1,2) D. (1,2]
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1 1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 {x2,−2≤x<1关于函数 的结论正确的是( )
f(x)= f(x)
−x+2,x≥1
A. f(x)的定义域为R B. f(x)的值域为(−∞,4]
C. 若f(x)=2，则x的值是−√2 D. f(x)<1的解集为(−1,1)
10.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−4或x≥5}，则下列说法正确的是( )
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集为{x|x<−5}
C. 不等式 的解集为{ | 1 1}
cx❑ 2−bx+a<0 x x<− 或x>
5 4
D. a+b+c>0
11.已知a，b为正实数，且ab+2a+b=16，则( )
A. ab的最大值为8 B. 2a+b的最小值为8
1 1 √2
C. a+b的最小值为6√2−3 D. + 的最小值为
a+1 b+2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知3∈{2,a,a−1}，则实数a的值为 ．
13.设 { x2,x≥2 ，则 ．
f(x)= f(f(1))=
2x+1,x<2
14.用Card(A)表示非空集合A中的元素的个数，定义A∗B=|Card(A)−Card(B)|，若A={−1,1}，
，若 ，设实数 的所有可能取值构成集合 则
B={x|(ax2+3x)(x2+ax+2)=0} A∗B=1 a S. Card(S)=
；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|−30) q x x2−5x−6≤0
(1)若a=2，且命题p和q都是真命题，求实数x的取值范围；
(2)若命题p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场．已知该种设备年固定研发成本为50
万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台，且全部售完，且每万台的销售收入
G(x)(万元)与年产量x(万台)的函数关系式近似满足：
{
180−2x,020.
x x2
(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(年利润=年销售收入−总成本)
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求最大利润．
18.(本小题17分)
已知函数 ．
f(x)=mx2−(m−1)x+m−1
若 的解集为[1 ]，求 的值；
(1) f(x)≥−2 ,1 m
2
(2)若不等式f(x)0使关于x的方程f(|x|)=m+ +1有四个不同的实根，求实数a的取值范围．
m
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3 1参考答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.B
6.C
7.A
8.B
9.BC
10.AC
11.ABC
12.4
13.9
14.5
15.解：(1)当a=2时，B={x|1≤x≤5}，则A∩B={x|1≤x<2}，
∁
A={x|x≤−3或x≥2}，(∁ A)∪B={x|x≤−3或x≥1}；
R R
(2)①若B=⌀，则a−1>2a+1⇒a<−2，
{ a−1≤2a+1 { a≥−2
②若B≠⌀，则 ⇒ ⇒a≥3或a=−2，
2a+1≤−3或a−1≥2 a≤−2或a≥3
综上可得，a≥3或a≤−2，
即实数a的取值范围为：{x|a≥3或a≤−2}．
16.解：(1)p:实数x满足x2−ax−2a2<0，其中a>0⇔(x+a)(x−2a)<0，
∵a>0，所以−a1
所以{x|−1≤x≤6}⌀{x|−a6 a>3
所以a>3，
∴实数a的取值范围是：(3,+∞)．
17.解：(1)由题意，年销售收入为x⋅G(x)万元(x为年产量，单位：万台)，
总成本为固定研发成本50万元加每台80元的变动成本，
当020时：
( 2000 9000) 9000 9000
W(x)=x⋅ 70+ − −(50+80x)=70x+2000− −50−80x=−10x+1950− .
x x2 x x
综上，年利润函数解析式为：
{ −2x2+100x−50, 020.
x
(2)当020 W(x)=−10 x+ +1950.
x
900 √ 900
x+ ≥2 x× =60.
x x
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5 1900
当且仅当x= 即x=30(满足x>20)时，等号成立。
x
此时：W(x) =−10×60+1950=1350(万元).
max
因1350>1150，故当年产量为30万台时，利润最大，最大利润为1350万元。
18.解：
由题意得 即 ，整理得 ．
f(x)≥−2 mx2−(m−1)x+m−1≥−2 mx2−(m−1)x+m+1≥0
因为不等式解集为[1 ]，所以二次函数开口向下 ，且方程 的根为1和 ．
,1 (m<0) mx2−(m−1)x+m+1=0 1
2 2
1 3 m−1
根据韦达定理，根的和为 +1= = ，解得：
2 2 m
3 1
m−1= m⌀− m=1⌀m=−2
2 2
m+1 −2+1 1
验证根的积： = = ，符合条件，且m=−2<0满足开口向下要求．
m −2 2
故：m=−2
(2)
由 得 ，整理得 ．
f(x)0 m<0 m<0
综合得m≤0．
(3)
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6 1需满足 对 [ 1 1]恒成立，分情况讨论：
mx2−(m−1)x+m−1≥0 x∈ − ,
2 2
1
当m=0时，f(x)=x−1，在区间内f(x)≤− <0，不满足；
2
当 时，开口向下，端点 ( 1) 7m 3 、 (1) 3m 1 ，不满足；
m<0 f − = − <0 f = − <0
2 4 2 2 4 2
m−1
当m>0时，开口向上，对称轴为x= ．
2m
1 m−1 1 1
(i)若对称轴在区间内，由− ⩽ ⩽ ，得m⩾ ，
2 2m 2 2
(m−1)(3m+1)
f(x) 在 顶点处取最小值为 ，
4m
1
因为 m>0，所以3m+1>0，由题则需要 m−1≥0即m≥1，又m⩾ ，所以m≥1;
2
m−1 1 1
(ii)对称轴不在区间内时，若x= <− ，解得m< ，
2m 2 2
此时 在 1 处取最小值且 ( 1) 7m 3 ，故不合题意；
f(x) x=− f − = − <0
2 2 4 2
m−1 1
(iii)对称轴不在区间内时，若x= > ，得−1>0，显然错误．
2m 2
综上，m≥1．
19.解： 当 时， ，
(1) a=1 f(x)=x2−3x+2
配方得 ( 3) 2 1，其对称轴为 3，且3 ，
f(x)= x− − x= ∈(0,4)
2 4 2 2
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7 1所以最小值为 (3) 1；
f =−
2 4
， 不在区间内 。
f(0)=2 f(4)=42−3×4+2=6(x=4 )
因此， 在 上的值域为[ 1 )；
f(x) (0,4) − ,6
4
(2)f(x)≥0即(x−1)(ax−2)≥0，
当a=0时，即−2(x−1)≥0，解得：x≤1，所以不等式的解集为：(−∞,1]；
2 2 2
当a<0时，即(x−1)(x− )≤0， <1，不等式的解集为：[ ,1]；
a a a
2
当a>0时，即(x−1)(x− )≥0，
a
2 2
当01，不等式解集为(−∞,1]∪[ ,+∞)；
a a
2
当a=2时， =1，不等式解集为R；
a
2 2
当a>2时， <1，不等式解集为(−∞, ]∪[1,+∞)．
a a
综上：当a=0时，不等式的解集为：(−∞,1]；
2
当a<0时，不等式的解集为：[ ,1]；
a
2
当02时，不等式解集为(−∞, ]∪[1,+∞)．
a
1
(3)m>0时，令t=m+ +1≥2+1=3，
m
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8 1则存在t≥3，f(|x|)=t有四个不等实根，
即 有四个不等实根，
a|x|2−(a+2)|x|+2−t=0
令|x|=s，s>0时一个s对应两个x；s=0时一个s对应一个x；s<0时无x与之对应；
则存在 ， 有两个不等正根，
t≥3 as2−(a+2)s+2−t=0
a+2
{ >0
则 ，存在 ， a ，
a≠0 t≥3
2−t
>0
a
即存在 ，{(a+2) 2−4a(2−t)>0，
t≥3
a<−2
即a<−2，且存在t≥3，a2−4a+4+4at>0，
a<0时，t≥3时a2−4a+4+12a=a2+8a+4最大值为a2−4a+4+12a=a2+8a+4，
则a2+8a+4>0，
由a<−2及 a<−4−2√3，
所以实数a的取值范围是(−∞,−4−2√3)．
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9 1
