文档内容
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
1．4 角平分线的性质
CD＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE
的周长为DE＋BD＋BE＝CD＋BD＋BE＝
BC＋BE＝AE＋BE＝AB.故答案为7cm.
1．理解并掌握角平分线的性质及判定； 方法总结：此题考查了角平分线的性质．
(重点) 此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转
2．能够对角平分线的性质及判定进行 化思想的应用．
简单应用．(难点) 【类型二】 利用角平分线的性质求面积
如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于
点E，DF⊥BC且交BC的延长线于点F.若
一、情境导入 AB＝18cm，BC＝12cm，DE＝2.4cm，求
在S区有一个集贸市场P，它建在公路 △ABC的面积．
与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条
路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
解析：根据角平分线的性质得到DE＝
DF，再将△ABC分成△BCD和△ADB两个
三角形，分别求出它们的面积再求和．
解：∵BD 平分∠ABC，DE⊥AB，
DF⊥BF，∴DE＝DF.∵S ＝S ＋S
△ABC △BCD △ABD
＝ BC·DF ＋ AB·DE ＝ (BC ＋ AB)·DE ＝
二、合作探究 ×30×2.4＝36(cm2)．
探究点一：角平分线上的点到角两边的 方法总结：如果求三角形面积出现困难
距离相等 可将此三角形分成几个三角形再利用一些
【类型一】 利用角平分线的性质求线段 性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性
长 质，求这几个三角形面积的和．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC 【类型三】 利用角平分线的性质进行证
＝BC，∠BAC的平分线 AD交BC于D， 明
DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周
长是____________．
如图，已知∠1＝∠2，P为BN上
一点且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD，求证：
解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ ∠BAP＋∠BCP＝180°.
BC，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D， 解析：过点P作PE⊥BA，根据已知条
DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得 件得Rt△BPE≌RtBPD，再根据AB＋BC＝
www.youyi100.com
第 1 页 共 3 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才
2BD得AE＝CD，可证Rt△APE和RtPDC， 有两种方法：一是利用三角形全等证明；二
可得∠PCD＝∠PAE，根据邻补角互补可得 是利用角平分线性质定理的逆定理证明．显
∠BAP＋∠BCP＝180°. 然，方法二比方法一更简捷，在用方法二判
证明：过P作PE⊥AB，交BA的延长线 定一条射线是一个角的平分线时一般分两
于E.∵PD⊥BC，∠1＝∠2，∴PE＝PD，在 步：一是找出或作出射线上的一点到角两边
Rt△ BPE 和 Rt△ BPD 中 ， 的垂线段；二是证明这两条线段相等．
∴ Rt△ BPE≌ Rt△ BPD(HL) ， ∴ BE ＝ 探究点三：角平分线的性质和判定的综
BD.∵AB＋BC＝2BD，BC＝CD＋BD，AB＝ 合应用
BE－AE，∴AE＝CD.∵PE⊥BE，PD⊥BC，
∴∠PEA＝∠PDC＝90°.在△PEA和△PDC
中，
∴△PEA≌△PDC(SAS)，∴∠PCD＝ 如图所示，在△ABC外作等腰三
∠PAE.∵∠BAP＋∠EAP＝180°，∴∠BAP 角形ABD和等腰三角形ACE，且使它们的
＋∠BCP＝180°. 顶角∠DAB＝∠EAC，连接BE、CD相交于
方法总结：题目中有角平分线可过角平 P点，AP的延长线交BC于F点，试判断
分线上的点作角两边的垂线，这是角平分线 ∠BPF与∠CPF的关系，并加以说明．
题目中常见的辅助线． 解析：首先猜想∠BPF＝∠CPF，即
探究点二：角的内部到角两边距离相等 ∠DPA＝∠EPA，显然这两个角所在的三角
的点在角的平分线上 形不一定全等，可考虑用角平分线的判定来
如图所示，在△ABC中，PD垂直 求解．
平分BC，PM⊥AB于点M，PN⊥AC交AC 解：∠BPF＝∠CPF，理由如下：过A点
的延长线于点N，且BM＝CN.求证：∠1＝ 作 AM⊥DC 于 M ， 作 AN⊥BE 于
∠2. N.∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB＋∠BAC＝
∠EAC＋∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在
△BAE和△DAC中，
∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝DC，
S ＝S .∵AM⊥DC ，AN⊥BE，
△BAE △DAC
∴BE·AN＝DC·AM，∴AN＝AM，∴PA平分
解析：先根据中垂线性质得出 PB＝ ∠DPE，∴∠DPA＝∠APE.又∵∠DPA＝
PC，再根据HL证Rt△PBM≌Rt△PCN，再根 ∠CPF，∠EPA＝∠BPF，∴∠BPF＝∠CPF.
据角平分线性质的逆定理得出结论． 方法总结：证明两个角相等：①如果在
一个三角形里，通常利用等边对等角；②如
果在两个三角形里，通常证所在的两个三角
形全等或利用角平分线的判定．
证明：连接PB、PC.∵PD垂直平分BC， 探究点四：利用角平分线的性质作图
∴PB＝PC.∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴∠PMB 如图所示，一条南北走向的铁路
＝∠PNC＝90°.在Rt△PBM与Rt△PCN中， 与一条东西走向的公路交叉通过，一工厂在
∵ PB ＝ PC ， BM ＝ CN ， 铁路的东面，公路的南面，距交叉路口
∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)．∴PM＝PN.∴ 300m，并且工厂到铁路与公路的距离相等．
点P在∠BAC的平分线上，即∠1＝∠2. 请在图上标出工厂的位置，并说明理由(比
方法总结：证明一条射线是角的平分线 例尺为1∶20000)．
www.youyi100.com
第 2 页 共 3 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才
解：画出∠AOB的平分线OC，在射线
OC上量出表示实际距离300m长度的图上
距离线段 OP，OP＝300×＝0.015(m)＝
1.5(cm)．
因为角平分线上的点到角的两边的距
离相等，所以点P即是工厂在图中的位置．
方法总结：解决此类问题的关键是把实
际问题转化为数学模型，进一步运用数学知
识来解决．
三、板书设计
角平分线的性质：角平分线上的点到角
两边的距离相等．
角平分线的判定：角的内部到角的两边
距离相等的点在角的平分线上．
在教学中要注意强调与角平分线有关的求
证线段相等、角相等问题，我们可以直接利
用角平分线的性质，而不必再去证明三角形
全等，从而可以简化解题过程.
www.youyi100.com
第 3 页 共 3 页
