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2．4 整 式
1．理解单项式、多项式及整式的概念，会判断单项式及整式．
2．掌握单项式的系数与次数、多项式的次数与项的概念，明确它们之间的关系，并能灵
活运用．
一、情境导入
方方和圆圆的房间窗帘的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成
(半径都分别相同)，现在方方和圆圆想算出窗帘的装饰物的面积分别是多少？窗户能射进阳
光的面积分别是多少(窗框面积不计)？要解决这些问题，我们来学习下面的内容，就会知道
答案．
二、合作探究
探究点一：单项式、多项式与整式的识别
指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x2＋y2，－x，，10，
6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7.
解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．
解：，的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式．
单项式有－x，10，m2n，a7；
多项式有x2＋y2，，6xy＋1，2x2－x－5；
整式有x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，m2n，2x2－x－5，a7.
方法总结：(1)分母中含有字母的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项
式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．
探究点二：单项式与多项式
【类型一】 确定单项式的系数和次数
分别写出下列单项式的系数和次数．
(1)－ab2； (2)； (3).
解析：单项式的系数就是单项式中的数字因数；单项式的次数就是单项式中所有字母指
数的和，只要将这些字母的指数相加即可．
解：(1)单项式的系数是－1，次数是3；
(2)单项式的系数是，次数是6；
(3)单项式的系数是，次数是3.
方法总结：(1)当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分
数时，通常写成假分数．单项式的系数包括前面的符号．(2)我们把常数项的次数看作0.确定
单项式的次数时，单项式中单独一个字母的指数1不能忽略，如－3x3y，它的指数是4而不是
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3.(3)π是圆周率，是一个确定的数，不是字母．
【类型二】 确定多项式的项和次数
写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式．
(1)x2－3x＋5；(2)a＋b＋c－d；
(3)－a2＋a2b＋2a2b2.
解析：根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高
的单项式的次数，可得答案．
解：(1)x2－3x＋5的项数为3，次数为2，是二次三项式；
(2)a＋b＋c－d的项数为4，次数为1，是一次四项式；
(3)－a2＋a2b＋2a2b2的项数为3，次数为4，是四次三项式．
方法总结：(1)多项式的项包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次
数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项．
探究点三：与多项式有关的探究性问题
已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．
解析：根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m＋2＝6，解得m＝4，
进而可得此多项式．
解：由题意得m＋2＝6，
解得m＝4，
此多项式是－5x4＋104x4－4x4y2.
方法总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项
的次数．
若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值．
解析：多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0.
解：因为关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，
所以m＝0，n－1＝0，则m＝0，n＝1.
方法总结：多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.
探究点四：多项式的应用
如图，某居民小区有一块宽为2a米，长为b米的长方形空地，为了美化环境，准备
在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果
建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需
多少元？
解析：四个角围成一个半径为a米的圆，阴影部分面积是长方形面积减去一个圆面积．
解：花台面积和为πa2平方米，草地面积为(2ab－πa2)平方米．所以需资金为[100πa2
＋50(2ab－πa2)]元．
方法总结：用式子表示实际问题中的数量关系时，首先要分清语言叙述中关键词的含义，
理清它们之间的数量关系和运算顺序．
探究点五：规律探究问题
如图所示，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，
则第n个图形的周长是________．
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解析：第(1)个图形的周长为3，；第(2)个图形的周长为4＝3＋1；第(3)个图形的周长为
5＝3＋1×2；第(4)个图形的周长为6＝3＋1×3.故第(n)个图形的周长为3＋1(n－1)＝2＋
n.
方法总结：解答此类问题应采用比较归纳的方法和由特殊到一般的方法．通过探究特例，
从中发现一些基本规律，然后推广到一般情况．
三、板书设计
整式
教学过程中，应通过丰富的现实情景，使学生经历从具体问题中抽象出数量关系，在解
决问题中了解数学的价值，发展“用数学”的信心，培养学生认识特殊与一般的辩证关系．
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