文档内容
2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学模拟试卷（2）
一．选择题（共12小题）
1．一元二次方程x2＝9的根是（ ）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
2．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．线段 B．角 C．菱形 D．平行四边形
3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知△ADE∽△ABC，若AD：AB＝1：3，△ABC的面积为9，则△ADE的面积为（
）
A．1 B．3 C．27 D．81
5．如图，如图是按照一定规律画出的“分形图”，经观察可以发现，图 A比图A多2根
2 1
“树枝”，图A比图A多出4个“树枝”，图A比图A多出8个“树枝”，…，照此
3 2 4 3
规律，图A比图A多的根数为（ ）
6 2
A．28 B．56 C．60 D．124
6．已知x＝2是一元二次方程x2﹣ax+6＝0的解，则a的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5
7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
8．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
9．已知反比例函数y＝ 的图象上有三点A（4，y），B（2．y），c（ ，y）则y、
1 2 3 1
y、y的大小关系为（ ）
2 3
A．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＞y＞y D．y＞y＞y
1 2 3 2 1 3 3 2 1 3 1 2
10．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A
重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（ ）
A． B． C． D．26
11．如图，过点O作直线与双曲线y＝ （k≠0）交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴于点
C，作BD⊥y轴于点D．在x轴，y轴上分别取点E、F，使点A、E、F在同一条直线上，
且AE＝AF．设图中矩形ODBC的面积为S，△EOF的面积为S，则S、S的数量关系是
1 2 1 2
（ ）
A．S＝S B．2S＝S C．3S＝S D．4S＝S
1 2 1 2 1 2 1 2
12．从3、1、﹣1、﹣2、﹣3这五个数中，取一个数作为函数y＝ 和关于x的方程
（k+1）x2+2kx+1＝0中k的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且方程有实根，满足要求的k的值共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题）
13．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解是 ．
14．若 ＝ 且a+b﹣c＝1，则b+c﹣a的值为 ．
15．已知直线y＝mx与双曲线y＝ 的一个交点A的坐标为（﹣1，﹣2）．则它们的另一个
交点坐标是 ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD垂足分别为E，F，若CF＝3，DE＝2，
∠A＝60°，则平行四边形ABCD的周长为 ．
17．甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶．当乙车到达A地后，继续保持原速向
远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一
段时间后两车同时到达C地．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y
（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则B，C两地相距 千米．
18．为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单
位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定
值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开2个窗口，
则需30分钟．还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐
的人就会减少80%．在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总
务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开多少 个窗口．
三．解答题（共8小题）19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形
AODE是矩形．
20．重庆二外的学生除了体育课要进行体育锻炼外，寒暑假期间还要自己抽时间进行体育
锻炼为了了解同学们假期体育锻炼的情况，初三开学体育老师随机抽取了部分同学进行
调查，并按同学课后锻炼的时间x（分钟）的多少分为以下四类：A类（0≤x≤15），B
类（15＜x≤30），C类（30＜x≤45），D类（x＞45）对调查结果进行整理并绘制了如
图所示的不完整的折线统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中D类所对应的圆心角度数为 ，并补全折线统计图；
（2）现从A类中选出两名男同学和三名女同学，从以上五名同学中随机抽取两名同学
进行采访，请利用画树状图或列表的方法求出抽到的学生恰好为一男一女的概率．
21．（1）化简：（ ÷ ．
（2）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．
22．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝ 的图象交于A（2，4）B（﹣4，n）
1 2
两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．23．在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的小度机器人3：1的总战绩，斩获
2017年度脑王巔峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来某商场去年 5月份某款
智能机器人售价为29000元，当月销出615台，据了解，每涨价1000元，销量就减少5
台．
（1）若该商场要想该款智能机器人月销量不低于600台，则售价应不高于多少元？
（2）据悉，6月份该商场便购进该款智能机器人600台，并按（1）问的最高售价销售，
结果全部售出，7月份，全国经济出现通货膨胀，商品价格进一步上涨，去年 7月份该
款智能机器人的售价比6月份上涨了m%，但7月的销售量比6月份下降了2m%商场为了
促进销量，8月份决定对该款智能机器人实行九折优惠促销，受此政策的刺激，该款智
能机器人销售量比7月份增加了220台，且总销售额比6月份增加了15.5%，求m的值．
24．如图1，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别是边AB、AD上两个动点，满足AE
＝DF，连接BF与DE相交于点G．
（1）如图2，连接BD，求∠BGD的度数；
（2）如图3，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝DG+BG．
25．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的
平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．
例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数）
若x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一
个根，且m+n＝﹣2，求满足条件的所有k的值．
26．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的斜边OA落在y轴的正半轴上，OA、OB的长是
方x2﹣6x+8＝0的两根，把△AOB折叠，使点B落在y轴正半轴上，折痕与AB边相交于
点C．
（1）求A点的坐标．
（2）求折痕OC所在直线的解析式．
（3）点P是直线OC上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四
边形是一个菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．一元二次方程x2＝9的根是（ ）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵x2＝9，
∴x＝±3，
故选：B．
2．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．线段 B．角 C．菱形 D．平行四边形
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：根据轴对称图形的性质，D不一定是轴对称图形，若平行四边形不是矩形
时就不是轴对称图形，
A、B、C都是轴对称图形．
故选：D．
3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先利用列举法可得：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，
正反，反正，反反；然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，正反，反正，
反反；
∴出现两个正面朝上的概率是： ．
故选：D．
4．如图，已知△ADE∽△ABC，若AD：AB＝1：3，△ABC的面积为9，则△ADE的面积为（
）A．1 B．3 C．27 D．81
【分析】根据相似三角形的性质得出 ＝（ ）2，代入求出即可．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：3，
∴ ＝（ ）2，
∵△ABC的面积为9，
∴ ＝ ，
∴S ＝1，
△ADE
故选：A．
5．如图，如图是按照一定规律画出的“分形图”，经观察可以发现，图 A比图A多2根
2 1
“树枝”，图A比图A多出4个“树枝”，图A比图A多出8个“树枝”，…，照此
3 2 4 3
规律，图A比图A多的根数为（ ）
6 2
A．28 B．56 C．60 D．124
【分析】主干1枝，第二层2叉，每叉1枝，多21 枝，第三层在第二层的基础上每叉有
多2枝，共多2×21＝22 枝，依次下去，每层比前一层多2n﹣1
【解答】解：图A 有：1枝
1
图A有：（1+21 ）枝
2
图A有：（1+21+22 ）枝
3
图A 有：（1+21+22+23）枝
4
…
图A 有：（1+21+22+23+…+2n﹣1）
n
则图A比图A多 （1+21+22+23+24+25）﹣（1+21 ）＝60（枝）
6 2
故选：C．6．已知x＝2是一元二次方程x2﹣ax+6＝0的解，则a的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5
【分析】利用一元二次方程的定义，把x＝2代入x2﹣ax+6＝0得4﹣2a+6＝0，然后解
关于a的方程即可．
【解答】解：把x＝2代入x2﹣ax+6＝0得4﹣2a+6＝0，
解得a＝5．
故选：D．
7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
【分析】根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可．
【解答】解：A、是邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形；
B、是对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；
C、是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；
D、是对角线平分对角，可判定平行四边形ABCD是菱形．
故选：C．
8．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】把a＝1，b＝﹣4，c＝5代入△＝b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根
的情况．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝5，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
所以原方程没有实数根．
故选：D．
9．已知反比例函数y＝ 的图象上有三点A（4，y），B（2．y），c（ ，y）则y、
1 2 3 1
y、y的大小关系为（ ）
2 3
A．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＞y＞y D．y＞y＞y
1 2 3 2 1 3 3 2 1 3 1 2【分析】把A、B、C的坐标分别代入y＝ 分别求出y、y、y的值，从而得到它们的
1 2 3
大小关系．
【解答】解：把A（4，y），B（2．y），c（ ，y）分别代入y＝ 得y＝ ＝ ，
1 2 3 1
y＝ ＝1，y＝ ＝4，
2 3
所以y＜y＜y．
1 2 3
故选：C．
10．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A
重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（ ）
A． B． C． D．26
【分析】由勾股定理得出BD＝ ＝13，由折叠的性质可得ND＝AD＝12，
∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，得出∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝1，设AM＝NM＝x，则
BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NM＝AM＝ ，
即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，
∴BD＝ ＝ ＝13，
由折叠的性质可得：ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，
∴∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝13﹣12＝1，
设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，
在Rt△BMN中，NM2+BN2＝BM2，∴x2+12＝（5﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴NM＝AM＝ ，
∴△MNB的面积＝ BN×NM＝ ×1× ＝ ；
故选：A．
11．如图，过点O作直线与双曲线y＝ （k≠0）交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴于点
C，作BD⊥y轴于点D．在x轴，y轴上分别取点E、F，使点A、E、F在同一条直线上，
且AE＝AF．设图中矩形ODBC的面积为S，△EOF的面积为S，则S、S的数量关系是
1 2 1 2
（ ）
A．S＝S B．2S＝S C．3S＝S D．4S＝S
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】根据题意，易得AB两点关与原点对称，可设A点坐标为（m，﹣n），则B的坐
标为（﹣m，n）；在Rt△EOF中，由AE＝AF，可得A为EF中点，分析计算可得S，矩
2
形OCBD中，易得S，比较可得答案．
1
【解答】解：设A点坐标为（m，﹣n），
过点O的直线与双曲线y＝ 交于A、B两点，则A、B两点关与原点对称，则B的坐标为
（﹣m，n）；
矩形OCBD中，易得OD＝n，OC＝m；则S＝mn；
1
在Rt△EOF中，AE＝AF，故A为EF中点，
由中位线的性质可得OF＝2n，OE＝2m；
则S＝ OF×OE＝2mn；
2故2S＝S．
1 2
故选：B．
12．从3、1、﹣1、﹣2、﹣3这五个数中，取一个数作为函数y＝ 和关于x的方程
（k+1）x2+2kx+1＝0中k的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且方程有实
根，满足要求的k的值共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由函数y＝ 的图象经过第二、四象限，可得k﹣2＜0，由关于x的方程
（k+1）x2+2kx+1＝0有实数根，可得（2k）2﹣4×（k+1）≥0或k+1＝0，继而求得答
案．
【解答】解：∵函数y＝ 的图象经过第二、四象限，
则k﹣2＜0，
解得：k＜2，
∴符合要求的有1，﹣1，﹣2，﹣3，
∵关于x的方程（k+1）x2+2kx+1＝0有实数根，
∴（2k）2﹣4×（k+1）≥0或k+1＝0，
∴符合要求的有，﹣1，﹣2，﹣3，
∴恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且方程有实根，满足要求的 k的值共有3
个．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解是 x ＝ 2 ， x ＝ 3 ．
1 2
【分析】用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
x＝2，x＝3，
1 2
故答案为x＝2，x＝3．
1 2
14．若 ＝ 且a+b﹣c＝1，则b+c﹣a的值为 5 ．
【分析】设 ＝ ＝t，利用比例性质得到a＝2t，b＝3t，c＝4t，所以2t+3t﹣4t＝1，解得t＝1，然后利用b+c﹣a＝5t进行计算．
【解答】解：设 ＝ ＝t，
∴a＝2t，b＝3t，c＝4t，
∵a+b﹣c＝1，
∴2t+3t﹣4t＝1，解得t＝1，
∴b+c﹣a＝3t+4t﹣2t＝5t＝5．
故答案为5．
15．已知直线y＝mx与双曲线y＝ 的一个交点A的坐标为（﹣1，﹣2）．则它们的另一个
交点坐标是 （ 1 ， 2 ） ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原
点对称．
【解答】解：∵点A与另一个交点关于原点对称，点A的坐标为（﹣1，﹣2），
∴另一个交点的坐标为（1，2）．
故答案是：（1，2）．
16．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD垂足分别为E，F，若CF＝3，DE＝2，
∠A＝60°，则平行四边形ABCD的周长为 2 8 ．
【分析】根据平行四边形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，∠A＝60°，
∴∠C＝60°，
∵CF＝3，BF⊥CD，
∴BC＝6，
∵DE＝2，
∴AE＝6﹣2＝4，
∵BE⊥AD，
∴AB＝8，
∴平行四边形ABCD的周长＝（6+8）×2＝28，
故答案为：2817．甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶．当乙车到达A地后，继续保持原速向
远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一
段时间后两车同时到达C地．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y
（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则B，C两地相距 60 0 千米．
【分析】当x＝0时，y＝300，故此可得到AB两地的距离为300，3小时后两车相遇，从
而可求得两车的速度之和，然后依据5小时后两车的距离最大，可知甲车到达B地用5
小时，从而可乙车的速度，设甲、乙两车出发后经过t小时同时到达C地，根据甲乙两
车的路程相差300千米，列方程可求得t的值，最后根据乙的路程得到B、C之间的距离．
【解答】解：由图象可得：当x＝0时，y＝300，
∴AB＝300千米．
∴甲车的速度＝300÷5＝60千米/小时，
又∵300÷3＝100千米/小时，
∴乙车的速度＝100﹣60＝40千米/小时，
设甲、乙两车出发后经过t小时同时到达C地，依题意可得
60t﹣40t＝300，
解得t＝15，
∴B，C两地的距离＝40×15＝600千米．
故答案为：600．
18．为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定
值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开2个窗口，
则需30分钟．还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐
的人就会减少80%．在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总
务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开多少 6 个窗口．
【分析】设每个窗口每分钟能卖x人的午餐，每分钟外出就餐有y人，学生总数为z人，
并设同时开n个窗口，根据并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；
若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若在15分钟内等待的学生都能买到午餐，
在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%．在学校学生总人数不变且人人都要就餐的
情况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂15分钟内卖完午餐，可列出不等
式求解．
【解答】解：设每个窗口每分钟能卖x人的午餐，每分钟外出就餐有y人，学生总数为
z人，并设同时开n个窗口，依题意有
，
由①、②得y＝x，z＝90x，代入③得15nx≥90x﹣3x，
所以n≥5.8．
因此，至少要同时开6个窗口．
故答案为：6
三．解答题（共8小题）
19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形
AODE是矩形．
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为
平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形，
∴四边形AODE是矩形．
20．重庆二外的学生除了体育课要进行体育锻炼外，寒暑假期间还要自己抽时间进行体育
锻炼为了了解同学们假期体育锻炼的情况，初三开学体育老师随机抽取了部分同学进行
调查，并按同学课后锻炼的时间x（分钟）的多少分为以下四类：A类（0≤x≤15），B
类（15＜x≤30），C类（30＜x≤45），D类（x＞45）对调查结果进行整理并绘制了如
图所示的不完整的折线统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中D类所对应的圆心角度数为 18° ，并补全折线统计图；
（2）现从A类中选出两名男同学和三名女同学，从以上五名同学中随机抽取两名同学
进行采访，请利用画树状图或列表的方法求出抽到的学生恰好为一男一女的概率．
【分析】（1）先由A类型的人数及其所占百分比求出总人数，再用360°乘以D类型人
数占被调查人数的比例可得其对应圆心角度数，利用各类型人数之和等于总人数求出B
类型人数，从而补全折线图；
（2）用A表示女生，B表示男生，画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的
结果数，再利用概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为48÷40%＝120（人），
∴扇形统计图中D类所对应的圆心角度数为360°× ＝18°，
B类型人数为120﹣（48+24+6）＝42（人），
补全折线统计图如下：故答案为：18°；
（2）用A表示女生，B表示男生，画树状图如下：
共有20种情况，其中一名男同学和一名女同学的有12种结果，
所以抽到的学生恰好为一男一女的概率为 ＝ ．
21．（1）化简：（ ÷ ．
（2）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．
【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案．
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝ ÷ ＝ ；
（2）∵2x2﹣3x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴△＝9+8＝17，
∴x＝
22．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝ 的图象交于A（2，4）B（﹣4，n）
1 2两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m的值；由
点B的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于n的一元一次方程，解方
程即可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析；
（2）结合函数图象即可得出一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围；
（3）待定系数法求得一次函数的解析式，进而求得C的坐标，然后根据三角形面积公
式即可求得．
【解答】解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y＝ 的图象上，
2
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
2
（2）∵点B（﹣4，n）在反比例函数y＝ 的图象上，
2
∴n＝ ＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣2）．
观察函数图象，发现：使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围为x≤﹣4或0
＜x≤2．
（3）将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入到y＝ax+b中，
1
得：解得： ，
∴一次函数的解析式为y＝x+2，
令y＝0，求得x＝﹣2，
∴S ＝S +S ＝ ×2×2+ 2×4＝6．
△AOB △AOC △BOC
23．在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的小度机器人3：1的总战绩，斩获
2017年度脑王巔峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来某商场去年 5月份某款
智能机器人售价为29000元，当月销出615台，据了解，每涨价1000元，销量就减少5
台．
（1）若该商场要想该款智能机器人月销量不低于600台，则售价应不高于多少元？
（2）据悉，6月份该商场便购进该款智能机器人600台，并按（1）问的最高售价销售，
结果全部售出，7月份，全国经济出现通货膨胀，商品价格进一步上涨，去年 7月份该
款智能机器人的售价比6月份上涨了m%，但7月的销售量比6月份下降了2m%商场为了
促进销量，8月份决定对该款智能机器人实行九折优惠促销，受此政策的刺激，该款智
能机器人销售量比7月份增加了220台，且总销售额比6月份增加了15.5%，求m的值．
【分析】（1）设售价为x元，该款智能机器人月销量不低于600台，可列出一元一次
不等式，求解即可；
（2）根据该款智能机器人销售量比7月份增加了220台，且总销售额比6月份增加了
15.5%，可列出一元二次方程，求解，并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【解答】解：（1）设售价为x元，由题意得：
615﹣ ×5≥600
解得：x≤32000
∴售价应不高于32000元．
（2）由题意得：
32000（1+m%）×0.9×[600（1﹣2m%）+220]＝32000×600×（1+15.5%）
令m%＝t，原方程化简得：
120t2+38t﹣5＝0
解得t＝ ，t＝﹣ （舍）
1 2
∴m%＝∴m的值为10．
24．如图1，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别是边AB、AD上两个动点，满足AE
＝DF，连接BF与DE相交于点G．
（1）如图2，连接BD，求∠BGD的度数；
（2）如图3，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝DG+BG．
【分析】（1）只要证明△DAE≌△BDF，推出∠ADE＝∠DBF，由∠EGB＝∠GDB+∠GBD＝
∠GDB+∠ADE＝60°，推出∠BGD＝180°﹣∠BGE＝120°．
（2）如图3中，延长GE到M，使得GM＝GB，连接BD、CG．由△MBD≌△GBC，推出DM＝
GC，∠M＝∠CGB＝60°，由CH⊥BG，推出∠GCH＝30°，推出CG＝2GH，由CG＝DM＝
DG+GM＝DG+GB，即可证明2GH＝DG+GB．
【解答】（1）解：如图2中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝DB，∠A＝∠FDB＝60°，
在△DAE和△BDF中，
，∴△DAE≌△BDF，
∴∠ADE＝∠DBF，
∵∠EGB＝∠GDB+∠GBD＝∠GDB+∠ADE＝60°，
∴∠BGD＝180°﹣∠BGE＝120°．
（2）证明：如图3中，延长GE到M，使得GM＝GB，连接BD、CG．
∵∠MGB＝60°，GM＝GB，
∴△GMB是等边三角形，
∴∠MBG＝∠DBC＝60°，
∴∠MBD＝∠GBC，
在△MBD和△GBC中，
，
∴△MBD≌△GBC，
∴DM＝GC，∠M＝∠CGB＝60°，
∵CH⊥BG，
∴∠GCH＝30°，
∴CG＝2GH，
∵CG＝DM＝DG+GM＝DG+GB，
∴2GH＝DG+GB．
25．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的
平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．
例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；
（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数）若x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一
个根，且m+n＝﹣2，求满足条件的所有k的值．
【分析】（1）由题意代入验证即可解答；
（2）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，
结合喜鹊数的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121；
（2）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，
∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一
个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（ ）2+b（ ）+c＝0，
∴将m、 看成是方程ax2+bx+c的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
∴m＝ ，即mn＝1，
∵m+n＝﹣2，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．26．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的斜边OA落在y轴的正半轴上，OA、OB的长是
方x2﹣6x+8＝0的两根，把△AOB折叠，使点B落在y轴正半轴上，折痕与AB边相交于
点C．
（1）求A点的坐标．
（2）求折痕OC所在直线的解析式．
（3）点P是直线OC上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四
边形是一个菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先解方程求得OA和OB的长，然后利用勾股定理求得OA的长，则A的
坐标即可求得；
（2）作CD⊥y轴于点D，则CD＝BC，根据S ＝S +S ，即可求得CD的长，则C
△ABO △AOC △OBC
的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线解析式；
（3）存在，分类讨论：①当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，且P点在C点
1
下方；②当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，P点在C点上方，Q在直线OC的
2 2
左侧时；③当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，P点在C点上方，Q在直线OC
3 3
的右侧时．由菱形的性质和等边三角形的性质求出Q点的坐标．
【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+8＝0得x＝2或4，
则OB＝2，OA＝4，
则A的坐标是（0，4）；
（2）作CD⊥y轴于点D，如答图（1）．
∵B、D关于OC对称，
∴CD＝CB，OB＝OD＝2，
设CD＝CB＝x，∵S ＝S +S ，
△ABO △AOC △OBC
∴ AB•OB＝ OA•CD+ OB•BC，
∴2× ＝2x+4x，
解得：x＝ ，
则C的坐标是（ ，2），
设直线OC的解析式是y＝kx，则 k＝2，
解得：k＝ ，
则OC的解析式是y＝ x；
（3）存在；
∵C（ ，2），
∴OC＝ ＝ ，
①当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，且P点在C点下方时，
1
∵AC＝OC＝ ，
∴P点与O点重合．
1
∵C（ ，2）
∵AO是菱形ACPQ的对角线，而AO在y轴上，
1 1
∴点Q与点C关于y轴对称，
1
∴Q（﹣ ，2）．
1
②当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，P点在C点上方，Q在直线OC的左侧时，
2 2
连接QC、AP，交于点M．
2 2
∵∠ACP＝∠OAB+∠AOC＝60°，
2
∴∠ACQ＝30°，
2
∴QC∥y轴，
2
∴AP∥x轴，
2∵A（0，4），C（ ，2）
∴M（ ，4），
∵QM＝MC＝4﹣2＝2．
2
∴Q（ ，6）．
2
③当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，P点在C点上方，Q在直线OC的右侧时，
3 3
∵∠ACP＝∠OAB+∠AOC＝60°，AP＝AC＝ ，
3 3
∴△ACP是等边三角形．
3
∴∠PAC＝60°，
3
∴∠PAO＝90°，
3
∴PA∥x轴，
3
∵PA∥QC，
3 3
∴QC∥x轴，
3
∵C（ ，2），QC＝AC＝ ，
3
∴Q（ ，2）．
3
④当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的对角线，且P点在C点上方时，可证得Q与Q
4 4 1
重合
⑤当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的对角线，且P点在C点下方时，由于∠ACP＝
5 5
120°，所以这样的菱形不存在．
综上所述，点Q的坐标为Q（﹣ ，2）、Q（ ，6）或Q（ ，2）．
1 2 3
