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2019 年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1
- 的倒数是（ ）
2
1. 1
A. -2 B. C. 2 D. 1
2
下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
2.
A. B. C. D.
据国家统计局统计，我国2018年国民生产总值（GDP）为900300亿元．用科学
记数法表示900300亿是（ ）
3.
A. 9.003×1012 B. 90.03×1012 C. 0.9003×1014 D. 9.003×1013
下列运算正确的是（ ）
4. A. (-2a) 2=-4a2 B. (a+b) 2=a2+b2
C. (a5 ) 2=a7 D. (-a+2)(-a-2)=a2-4
k
若函数y= 与y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=kx+b的大致图象为（ ）
x
5.
A. B.
C. D.
{5x+2＞3(x-1)
不等式组 1 3 的所有非负整数解的和是（ ）
x-1≤7- x
2 2
6.
A. 10 B. 7 C. 6 D. 0
下列命题是真命题的是（ ）
A. 两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
7.
B. 平分弦的直径垂直于
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1 25C. 对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足
五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，
8.
绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设
绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（ ）
{y-x=4.5 {x- y=4.5 {x- y=4.5 {y-x=4.5
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
y- x=1 y- x=1 x- y=1 x- y=1
2 2 2 2
如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若 ABC=40°，
则 ADC的度数是（ ）
9. ∠
∠
A. 130∘ B. 140∘ C. 150∘ D. 160∘
1 1
甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字 ， ，1的卡片，乙中有三张
4 2
10. 标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：
从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．
若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则甲获胜；
否则乙获胜．则乙获胜的概率为（ ）
2 5 4 1
A. B. C. D.
3 9 9 3
y - y
2 1
在下列函数图象上任取不同两点P（x，y）、P（x，y），一定能使 ＜0
1 1 1 2 2 2 x -x
2 1
11.
成立的是（ ）
A. y=3x-1(x<0) B. y=-x2+2x-1(x>0)
√3
C. y=- (x>0) D. y=x2-4x-1(x<0)
x
如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB=1：2，
CE DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延
12.
1
长C⊥B至G，使BG= BC，连接CM．有如下结论：
2
√2
①DE=AF；②AN= AB；③ ADF= GMF；④S ：S
4 ANF 四边形
△
=1：8．上述结论中，所有正∠ 确结论∠的序号是（ ）
CNFB
A. ①②
B. ①③
C. ①②③
D. ②③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
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2 24|x-3|=3-x，则x的取值范围是______．
6 3
13. 方程 - =1的解为______．
(x+1)(x-1) x-1
14. 如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，
这时测得 ABO=70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子
15.
顶端A下移到C，这时又测得 CDO=50°，那么AC的长度
∠
约为______米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，
∠
cos50°≈0.64）
已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]=4，[-0.8]=-1．现定义：{x}=x-[x]，
例：{1.5}=1.5-[1.5]=0.5，则{3.9}+{-1.8}-{1}=______．
16.
⏜ ⏜
如图，CD为 O的直径，弦AB CD，垂足为E， =
AB BF
17. ，CE=1，AB=⊙6，则弦AF的长度⊥为______．
k
如图，点A、A、A…在反比例函数y= （x＞0）的图象上，点A、A、A……
1 3 5 x 2 4 6
18. k
在反比例函数y=- （x＞0）的图象上， OAA= AAA= AAA=…= α=60°，
x 1 2 1 2 3 2 3 4
且OA=2，则A（n为正整数）的纵坐标为∠______∠．（用含∠n的式子表示∠）
1 n
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养
浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书
19.
馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进
馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平
均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
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3 25四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）
2 1 m2+n2 5n m 2n
先化简，再求值：（ - ）÷（ - ）•（ + +2），其中√m+1+
m n mn m 2n m
20. （n-3）2=0．
《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～89分为良
好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质
21.
健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行
分析．成绩如下：
七年级80 74 83 63 90 91 74 61 82 62
八年级74 61 83 91 60 85 46 84 74 82
（1）根据上述数据，补充完成下列表格．
整理数据：
优秀
良好 及格 不及格
七年级 2 3 5 0
八年级 1 4 ______ 1
分析数据：
年级 平均数 众数 中位数
七年级 76 74 77
八年级 ______ 74 ______
（2）该校目前七年级有200人，八年级有300人，试估计两个年级体质健康等级
达到优秀的学生共有多少人？
（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．
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4 2422. 如图， BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上， PAC=30°，AC=2√3．
（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．
∠ ∠
要求：写出作法，并保留作图痕迹；
（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；
（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．
23. 下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式．
收费方式 月通话费/元 包时通话时间/h 超时费/（元/min）
A 30 25 0.1
B 50 50 0.1
C 100 不限时
（1）设月通话时间为x小时，则方案A，B，C的收费金额y，y，y 都是x的函
1 2 3
数，请分别求出这三个函数解析式．
（2）填空：
若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为______；
若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为______；
若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为______；
（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小
王该月的通话时间．
24. （1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且 BAD=60°，请直
接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）
∠
（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；
（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB=AH：AE=1：2，此时
HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出
变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．
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5 255
25. 如图，抛物线y=mx2- mx-4与x轴交于A（x，0），B
2 1
11
（x，0）两点，与y轴交于点C，且x-x= ．
2 2 1 2
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P（x，y），Q（x，y）是抛物线上的两点，当
1 1 2 2
9
a≤x≤a+2，x≥ 时，均有y≤y，求a的取值范围；
1 2 2 1 2
（3）抛物线上一点D（1，-5），直线BD与y轴交于点
E，动点M在线段BD上，当 BDC= MCE时，求点M的坐标．
∠ ∠
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6 24答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：- 的到数是-2，
故选：A．
根据倒数的定义求解即可．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2.【答案】B
【解析】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项正确，
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误，
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概
念得出其中不是中心对称的图形．
题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿
着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，中心对称
图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和
原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，难度适中．
3.【答案】D
【解析】
解：将900300亿元用科学记数法表示为：9.003×1013．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负
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7 25数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】
解：（-2a）2=4a2，故选项A不合题意；
（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项B不合题意；
（a5）2=a10，故选项C不合题意；
（-a+2）（-a-2）=a2-4，故选项D符合题意．
故选：D．
按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．
此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．
5.【答案】C
【解析】
解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k＜0，
根据二次函数的图象确知a＞0，b＜0，
函数y=kx+b的大致图象经过二、三、四象限，
∴
故选：C．
首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数
的性质确定答案即可．
本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，
难度不大．
6.【答案】A
【解析】
解： ，
解不等式 得：x＞-2.5，
解不等式 得：x≤4，
①
不等式组② 的解集为：-2.5＜x≤4，
∴
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8 24不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
∴
不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4=10，
∴
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等
式组的非负整数解．
本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集
是解题的根本，确定不等式组得解集及其非负整数解是关键．
7.【答案】C
【解析】
解：A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错
误，是假命题；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；
C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命
题；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；
故选：C．
A、根据全等三角形的判定方法，判断即可．
B、根据垂径定理的推理对B进行判断；
C、根据平行四边形的判定进行判断；
D、根据平行线的判定进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题
设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，有
些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
8.【答案】B
【解析】
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9 25解：设绳长x尺，长木为y尺，
依题意得 ，
故选：B．
本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长- 绳长=1，据此可列方程组求解．
此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程
组，求准解．
9.【答案】B
【解析】
解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如
图所示，
四边形ABCD为圆O的内接四边形，
ABC+ ADC=180°，
∴
ABC=40°，
∴∠ ∠
ADC=140°，
∵∠
∴
故 ∠选：B．
根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求
角的度数．
此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的
关键．
10.【答案】C
【解析】
解：（1）画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，
乙获胜的概率为 ，
∴
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10 24故选：C．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元
二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求
解即可求得乙获胜的概率
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；
解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
11.【答案】D
【解析】
解：A、 k=3＞0
y随x
∵
的增大而增大，即当x
1
＞x
2
时，必有y
1
＞y
2
∴
当x＜0时， ＞0，
∴
故A选项不符合；
B、 对称轴为直线x=1，
∵
当0＜x＜1时y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小，
∴
当0＜x＜1时：当x ＞x 时，必有y ＞y
1 2 1 2
∴
此时 ＞0，
故B选项不符合；
C、当x＞0时，y随x的增大而增大，
即当x ＞x 时，必有y ＞y
1 2 1 2
此时 ＞0，
故C选项不符合；
D、 对称轴为直线x=2，
∵
当x＜0时y随x的增大而减小，
∴
即当x ＞x 时，必有y ＜y
1 2 1 2
此时 ＜0，
第 页，共 页
11 25故D选项符合；
故选：D．
根据各函数的增减性依次进行判断即可．
本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，需要结合
图象去一一分析，有点难度．
12.【答案】C
【解析】
解： 四边形ABCD是正方形，
AD=AB=CD=BC， CDE= DAF=90°，
∵
CE DF，
∴ ∠ ∠
DCE+ CDF= ADF+ CDF=90°，
∵ ⊥
ADF= DCE，
∴∠ ∠ ∠ ∠
在 ADF与 DCE中，
∴∠ ∠
△ △
，
ADF DCE（ASA），
DE=AF；故 正确；
∴△ ≌△
AB CD，
∴ ①
= ，
∵ ∥
AF：FB=1：2，
∴
AF：AB=AF：CD=1：3，
∵
= ，
∴
∴
= ，
∴
AC= AB，
∵
= ，
∴
AN= AB；故 正确；
∴ ②
作GH CE于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC= a，
⊥
由 CMD CDE，可得CM= a，
△ ∽△
由 GHC CDE，可得CH= a，
△ ∽△
CH=MH= CM，
GH CM，
∴
∵ ⊥ 第 页，共 页
12 24GM=GC，
GMH= GCH，
∴
FMG+ GMH=90°， DCE+ GCM=90°，
∴∠ ∠
FEG= DCE，
∵∠ ∠ ∠ ∠
ADF= DCE，
∴∠ ∠
ADF= GMF；故 正确，
∵∠ ∠
∴设∠ ANF ∠ 的面积为③ m，
AF CD，
△
= = ， AFN CDN，
∵ ∥
∴ △ ∽△
ADN的面积为3m， DCN的面积为9m，
∴△ △
ADC的面积= ABC的面积=12m，
∴△ △
S
ANF
：S
四边形CNFB
=1：11，故 错误，
∴ △ ④
故选：C．
正确．证明 ADF DCE（ASA），即可判断．
① △ ≌△
正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即
可．
②
正确．作GH CE于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC=
③ ⊥
a，通过计算证明MH=CH即可解决问题．
错误．设 ANF的面积为m，由AF CD，推出 = = ，
④ △ ∥
AFN CDN，推出 ADN的面积为3m， DCN的面积为9m，推出 ADC
△ ∽△ △ △ △
的面积= ABC的面积=12m，由此即可判断．
△
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于
中考选择题中的压轴题．
13.【答案】x≤3
【解析】
解：3-x≥0，
x≤3；
∴
故答案为x≤3；
第 页，共 页
13 25根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以3-x≥0，即可求解；
本题考查绝对值的意义；理解绝对值的意义是解题的关键．
14.【答案】x=-4
【解析】
解： - =1，
=1，
=1，
=1，
x+1=-3，
x=-4，
经检验x=-4是原方程的根；
故答案为x=-4；
根据分式方程的解法，先将式子通分化简为 =1，最后验证根的情况，进
而求解；
本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，勿遗漏验根环节是解
题的关键．
15.【答案】1.02
【解析】
解：由题意可得：
ABO=70°，AB=6m，
sin70°= = ≈0.94，
∵∠
解得：AO=5.64（m），
∴
CDO=50°，DC=6m，
sin50°= ≈0.77，
∵∠
解得：CO=4.62（m），
∴
则AC=5.64-4.62=1.02（m），
答：AC的长度约为1.02米．
故答案为：1.02．
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14 24直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AO，CO的长是解题关键．
16.【答案】0.7
【解析】
解；根据题意可得：{3.9}+{-1.8}-{1}=3.9-3-1.8+2-1+1=0.7，
故答案为：0.7
根据题意列出代数式解答即可．
此题考查解一元一次不等式，关键是根据题意列出代数式解答．
48
17.【答案】
5
【解析】
解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，
AB CD，
AE=BE= AB=3，
∵ ⊥
∴
设 O的半径为r，则OE=r-1，OA=r，
在 ⊙ Rt OAE中，32+（r-1）2=r2，解得r=5，
△
= ，
OB AF，AG=FG，
∵
在Rt OAG中，AG2+OG2=52，
∴ ⊥
在Rt △ ABG中，AG2+（5-OG）2= ① 62，
△ ②
解由 组成的方程组得到AG= ，
①②
AF=2AG= ．
∴
故答案为 ．
连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE=BE=3，设 O的
半径为r，则OE=r-1，OA=r，根据勾股定理得到32+（r-1）2=r2，解得r=5， ⊙ 再利
用垂径定理得到OB AF，AG=FG，则AG2+OG2=52，AG2+（5-OG）2=62，然后
⊥
解方程组求出AG，从而得到AF的长．
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15 25本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条
弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也
考查了垂径定理．
18.【答案】（-1）n+1√3（√n-√n-1）
【解析】
解：过A 作A D x轴于D ，
1 1 1 1
⊥
OA =2， OA A = α=60°，
1 1 2
∵ ∠ ∠
OA E是等边三角形，
1
∴△
A （1， ），
1
∴
k= ，
∴
y= 和y=- ，
∴
过A 作A D x轴于D ，
2 2 2 2
⊥
A EF= A A A =60°，
2 1 2 3
∵∠ ∠
A EF是等边三角形，
2
∴△
设A （x，- ），则A D = ，
2 2 2
Rt EA D 中， EA D =30°，
2 2 2 2
△ ∠
ED = ，
2
∴
OD =2+ =x，
2
∵
解得：x =1- （舍），x =1+ ，
1 2
EF= = = =2（ -1）=2 -2，
∴
A D = = = ，
2 2
即A 的纵坐标为- ；
2
过A 作A D x轴于D ，
3 3 3 3
⊥
同理得： A FG是等边三角形，
3
△
第 页，共 页
16 24设A （x， ），则A D = ，
3 3 3
Rt FA D 中， FA D =30°，
3 3 3 3
△ ∠
FD = ，
3
∴
OD =2+2 -2+ =x，
3
∵
解得：x = （舍），x = + ；
1 2
GF= = =2（ - ）=2 -2 ，
∴
A D = = = （ - ），
3 3
即A 的纵坐标为 （ - ）；
3
…
A （n为正整数）的纵坐标为：（-1）n+1 （ ）；
n
∴ 故答案为：（-1）n+1 （ ）；
先证明 OA E是等边三角形，求出A 的坐标，作高线A D ，再证明 A EF
1 1 1 1 2
△ △
是等边三角形，作高线A D ，设A （x，- ），根据OD =2+ =x，解方程可
2 2 2 2
得等边三角形的边长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现
点A 、A 、A …在x轴的上方，纵坐标为正数，点A 、A 、A ……在x轴的下
1 3 5 2 4 6
方，纵坐标为负数，可以利用（-1）n+1来解决这个问题．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直
角三角形30度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与
方程相结合解决问题．
19.【答案】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2=608
化简得：4x2+12x-7=0
（2x-1）（2x+7）=0，
x=0.5=50%或x=-3.5（舍）
∴
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
∴
（2） 进馆人次的月平均增长率为50%，
27
第四∵个月的进馆人次为：128（1+50%）3=128× =432＜500
8
∴
第 页，共 页
17 25答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【解析】
（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆
人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与
500比较大小即可．
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，
属于中档题．
2 1 m2+n2 5n m 2n
20.【答案】解：（ - ）÷（ - ）•（ + +2）
m n mn m 2n m
2n-m m2+n2-5n2 m2+4n2+4mn
= ÷ •
mn mn 2mn
2n-m mn (m+2n) 2
= • •
mn (m+2n)(m-2n) 2mn
m+2n
=- ．
2mn
√m+1+（n-3）2=0．
m+1=0，n-3=0，
∵
m=-1，n=3．
∴
m+2n -1+2×3 5
∴- =- = ．
2mn 2×(-1)×3 6
∴ 5
原式的值为 ．
6
∴【解析】
先通分，再利用因式分解，把可以分解的分解，然后统一化成乘法运算，约分
化简，再将所给等式化简，得出m和n的值，最后代回化简后的分式即可．
本题是分式化简求值题，需要熟练掌握通分和因式分解及分式乘除法运算．
21.【答案】74 78
【解析】
解：（1）八年级及格的人数是4，平均数=
，中位数= ；
故答案为：4；74；78；
（2）计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有200×
第 页，共 页
18 24人；
（3）根据以上数据可得：七年级学生的体质健康情况更好．
（1）根据平均数和中位数的概念解答即可；
（2）根据样本估计总体解答即可；
（3）根据数据调查信息解答即可．
本题考查了众数、中位数以及平均数的运用，掌握众数、中位数以及平均数
的定义以及用样本估计总体是解题的关键．
22.【答案】解：（1）如图，
（2）已知：如图， BPD=120°，点
A、C分别在射线PB、PD上，
∠
PAC=30°，AC=2√3，过A、C分别作
PB、PD的垂线，它们相交于O，以
∠
OA为半径作 O，OA PB，
求证：PB、PC为 O的切线；
⊙ ⊥
证明： BPD=120°，PAC=30°，
⊙
PCA=30°，
∵∠
PA=PC，
∴∠
连接OP，
∴
OA PA，PC OC，
PAO= PCO=90°，
∵ ⊥ ⊥
OP=OP，
∴∠ ∠
Rt PAO Rt PCO（HL）
∵
OA=OC，
∴ △ ≌ △
PB、PC为 O的切线；
∴
（3） OAP= OCP=90°-30°=60°，
∴ ⊙
OAC为等边三角形，
∵∠ ∠
OA=AC=2√3， AOC=60°，
∴△
OP平分 APC，
∴ ∠
APO=60°，
∵ ∠
√3
∴∠AP= ×2√3=2， 劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积=S -S
3 四边形APCO 扇形
∴ 1 60∴⋅π⋅(2√3) 2
=2× ×2√3×2- =4√3-2π．
AOC 2 360
【解析】
（1）过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，然后以OA为半径作 O
即可；
⊙
（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP，先证明Rt PAO Rt PCO，然
△ ≌ △
后根据切线的判定方法判断PB、PC为 O的切线；
⊙
第 页，共 页
19 25（3）先证明 OAC为等边三角形得到OA=AC=2 ， AOC=60°，再计算出
△ ∠
AP=2，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭
图形的面积进行计算．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，
一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉
基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，
逐步操作．也考查了圆周角定理和扇形面积公式．
85 85 175 175
23.【答案】0≤x≤ ≤x≤ x＞
3 3 3 3
【解析】
解：（1） 0.1元/min=6元/h，
由题意
∵
可得，
∴
y = ，
1
y = ，
2
y =100（x≥0）；
3
（2）作出函数图象如图：
第 页，共 页
20 24结合图象可得：
若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为：0≤x≤ ，
若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为： ≤x≤ ，
若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为：x＞ ．
故答案为：0≤x≤ ， ≤x≤ ，x＞ ．
（3） 小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，
∵
结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，
∴
将y=80分别代入y = ，可得
2
6x-250=80，
解得：x=55，
小王该月的通话时间为55小时．
∴
（1）根据题意可以分别写出y 、y 、y 关于x的函数关系式，并写出相应的自
1 2 3
变量的取值范围；
（2）根据题意作出图象，结合图象即可作答；
第 页，共 页
21 25（3）结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，将y=81代入
y 关于x的函数关系式，解方程即可得出小王该月的通话时间．
2
本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件．
24.【答案】解：（1）连接AG，
菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且 BAD=60°，
GAE= CAB=30°，AE=AH，AB=AD，
∵ ∠
A，G，C共线，AB-AE=AD-AH，
∴∠ ∠
HD=EB，
∴
延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也
∴
为菱形，
GC MN， NGO= AGE=30°，
OG √3
∴ ⊥ =∠cos30°=∠ ，
GN 2
∴ GC=2OG，
GN 1
∵ = ，
GC √3
HGN∴D为平行四边形，
HD=GN，
∵
HD：GC：EB=1：√3：1．
∴
∴
（2）如图2，连接AG，AC，
ADC和 AHG都是等腰三角形，
AD：AC=AH：AG=1：√3， DAC= HAG=30°，
∵△ △
DAH= CAG，
∴ ∠ ∠
DAH CAG，
∴∠ ∠
HD：GC=AD：AC=1：√3，
∴△ ∽△
DAB= HAE=60°，
∴
DAH= BAE，
∵∠ ∠
在 DAH和 BAE中，
∴∠ ∠
{
AD=AB
△ △
∠DAH=∠BAE DAH BAE（SAS）
AH=AE
∴△ ≌△
HD=EB，
HD：GC：EB=1：√3：1．
∴
∴
第 页，共 页
22 24（3）有变化．
如图3，连接AG，AC，
AD：AB=AH：AE=1：2， ADC= AHG=90°，
ADC AHG，
∵ ∠ ∠
AD：AC=AH：AG=1：√5，
∴△ ∽△
DAC= HAG，
∴
DAH= CAG，
∵∠ ∠
DAH CAG，
∴∠ ∠
HD：GC=AD：AC=1：√5，
∴△ ∽△
DAB= HAE=90°，
∴
DAH= BAE，
∵∠ ∠
DA：AB=HA：AE=1：2，
∴∠ ∠
ADH ABE，
∵
DH：BE=AD：AB=1：2，
∴△ ∽△
HD：GC：EB=1：√5：2
∴
∴
【解析】
（1）连接AG，由菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且
BAD=60°，易得A，G，C共线，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点
∠
N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，
结合三角函数可得结论；
（2）连接AG，AC，由 ADC和 AHG都是等腰三角形，易证 DAH CAG
△ △ △ ∽△
与 DAH BAE，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；
△ ≌△
（3）连接AG，AC，易证 ADC AHG和 ADH ABE，利用相似三角形的
△ ∽△ △ ∽△
性质可得结论．
第 页，共 页
23 25本题是菱形与相似三角形，全等三角形，三角函数等知识点的综合运用，难
度较大．
b 5 x +x 11
25.【答案】解：（1）函数的对称轴为：x=- = = 1 2，而且x-x= ，
2a 4 2 2 1 2
3
将上述两式联立并解得：x=- ，x=4，
1 2 2
3 3
则函数的表达式为：y=a（x+ ）（x-4）=a（x2-4x+ x-6），
2 2
2
即：-6a=-4，解得：a= ，
3
2 5
故抛物线的表达式为：y= x2- x-4；
3 3
9
（2）当x= 时，y=2，
2 4 2
5 3
①当a≤a+2≤ 时（即：a≤- ），
4 4
2 5
y≤y，则 a2- a-4≤2，
1 2 3 3
9 3
解得：-2≤a≤- ，而a≤- ，
2 4
3
故：-2≤a≤- ；
4
5 5
②当 ≤a≤a+2（即a≥ ）时，
4 4
2 5
则 （a+2）2- （a+2）-4≤2，
3 3
3 5
同理可得：- ≤a≤ ，
4 4
5
故a的取值范围为：-2≤a≤ ；
4
（3） 当 BDC= MCE， MDC为等腰三角形，
∵ ∠ ∠ △
故取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，则点M为符合条件
的点，
1 9
点H（ ，- ），
2 2
将点C、D坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：
直线CD的表达式为：y=-x-4，
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24 245 20
同理可得：直线BD的表达式为：y= x- …①，
3 3
直线DC MH，则直线MH表达式中的k值为1，
同理可得直线HM的表达式为：y=x-5…②，
⊥
5
联立①②并解得：x= ，
2
5 5
故点M（ ，- ）．
2 2
【解析】
（1）函数的对称轴为：x=- = = ，而且x -x = ，将上述两式联立并
2 1
解得：x =- ，x =4，即可求解；
1 2
（2）分a≤a+2≤ 、 ≤a≤a+2两种情况，分别求解即可；
（3）取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，则点M
为符合条件的点，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等，其
中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
第 页，共 页
25 25
