文档内容
2025 年秋期长寿中学高一年级半期考试
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上
无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 设集合 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用元素与集合的关系判断得解.
【详解】集合 ，则 ，ACD 错误，B 正确.
故选：B
2. 已知 ⫋ ，且若 ，则 ，则满足条件的集合 的有（ ）
A. 4 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 15 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出集合 A 即可.
【详解】因为 ⫋ ，
都满足题意，共 7 个.
故选：B.
3. 若集合 ， ，则 （ ）
第 1页/共 16页A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 ，与集合 求交集即可得解.
【详解】因为 ，则 ，又 ，
所以 .
故选：B
4. 人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据必要不充分条件的定义结合“学以成人”即可判断.
【详解】“学好数学”不一定能推出“成人”，充分性不成立，
“成人”能推出“学好数学”，必要性成立，
故“学好数学”是“成人”的必要不充分条件．
故选：B．
5. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由特称命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得.
【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为 ， .
故选：C
6. 若 ， ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
第 2页/共 16页B. 若 ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的相关性质可推理判断选项 A,D，通过举反例判断选项 B,C.
【详解】对于 A 选项，由 可得 ，因 ，故不能判断 的值正负，故 A
项错误；
对于 B 选项，因 时， ，故 B 项错误；
对于 C 选项，取 满足 ， ，
但是 有 ，故 C 项错误；
对于 D 选项，因 ，故 ，又因 ，故 ，
由不等式的同向皆正可乘性可得： ，移项得： ，故 D 项正确.
故选：D.
7. 如图，已知二次函数 的图象顶点在第一象限，且经过 、 两个点．
则下列说法正确的是：① ；② ；③ ；④ ．（ ）
A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.
【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则 ，
图象与 轴交点为 ，所以 ，
第 3页/共 16页顶点在第一象限，对称轴 ，又 ，所以 ，
所以 ，①说法正确；
因为图象经过 、 两个点，所以 ，解得 ，
因为 ， ，所以 ，②说法正确；
由 得 ，即 ，③说法正确；
因为图象顶点在第一象限，且经过 ，
由二次函数的对称性可知与 轴另一个交点的横坐标在 上，
所以当 时， ，
又 ， ， ，所以 ，即 ，④说法正确；
综上①②③④正确；
故选：D
8. 已知函数 的图象关于 轴对称，且对于 ，当 时，
恒成立，若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据函数的性质，把函数不等式 转化 为 与的代数不等式，进
一步转化成不等式恒成立的问题，结合基本（均值）不等式求参数的取值范围.
【详解】由已知可得，函数 为偶函数，
又对于 ，当 时， 恒成立，
即 ，若 ，都有 成立，
则 在 上单调递减，
第 4页/共 16页又函数 为偶函数，则 在 上单调递增，
又 对任意的 恒成立 ，则可得 ．
当 时，不等式为 显然成立；
当 时，原不等式可化为 恒成立，只需要式子的最小值满足即可．
因 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：A．
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
B. “ 且 ”是“ ”的充要条件
C. 某文具店搞活动，1 个笔记本与 2 支圆珠笔价格之和大于 6 元，而 2 个笔记本与 1 支圆珠笔价格之和小
于 4 元，则 3 个笔记本的价格比 2 支圆珠笔的价格低
D. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量
一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则用第一种方式购买更实惠
【答案】AC
【解析】
【分析】对于 A，解出 的范围，再去判断；
对于 B， 找一组特例，就可以分析出和 且 关系；
对于 C，设笔记本价格为 a，圆珠笔价格为 b，根据条件判断 正负；
对于 D，用调和平均数和算术平均数的不等关系求解.
第 5页/共 16页【详解】对于 A 选项， ，则 ，
则 推出 ， 推不出 ，
所以 是 充分不必要条件，故 A 正确；
对于 B 选项， 且 能推出 ；
（比如 ）推不出 且 ，
所以 且 是 的充分不必要条件，故 B 错误；
对于 C 选项，设 1 个笔记本价格 a 元，1 支圆珠笔价格 b 元，则 ，
令 ， ，得 ，
所以 ，由 ，所以 ，
则 3 个笔记本的价格比 2 支圆珠笔的价格低，故 C 正确；
对于 D 选项，设第一次价格为 A，第二次价格为 A，第三次价格为 A， ，
1 2 3
第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，平均价格 ，
第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，平均价格 ，
由调和平均数 算术平均数，可得第二种优惠，故 D 错误．
故选：AC．
10. 已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则关于 的不等式 的解集也为
C. 若 ，则 且
D. 若 ，则关于 的不等式 的解集为 或
第 6页/共 16页【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A 和 D，根据条件，利用一元二次不等式的解法，得 ，且 ，即可求解；
对于 B，由题是可得 ，从而得不等式 的解集，即 的解
集，即可求解；对于 C，利用一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】对于 A，因为 ，则 ，且 和 是方程 的两根，
则 ，得到 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B，若 ，则 ，
此时 等价于 ，即 ，
显然一元二次不等式 与一元二次不等式 解集不相等，所以 B 错误；
对于 C，令 ，因为 ，则 图象开口向下，且与 轴有一个交点或无
交点，
所以 且 ，故 C 正确；
对于 D，因为 ，由选项 A 知， ，且 ，
由 ，得到 ，即 ，解得 或 ，所以 D 正确，
故选：ACD.
11. 下列说法错误的是（ ）
A. 不等式 的解集为
B. 函数 的定义域是
C. 若 ，则函数 的最小值为 2
D. 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是
【答案】AC
第 7页/共 16页【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法可得 A 错误；由具体函数的定义域可得 B 正确；由基本不等式可得 C 错
误；分 ， ，当 时由二次函数的性质可得 D 正确；
【详解】对于 A，不等式 等价于 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 或 ，故 A 错误；
对于 B，由题意可得 ，解得 ，所以函数 的定义域是
，故 B 正确；
对于 C，函数 ，当且仅当 时取等号，
但在 内 无解，故 C 错误；
对于 D，当 时，不等式变为 ，恒成立，符合题意；
当 时，由二次函数的性质可得 ，解得 ，
综上 的取值范围是 ，故 D 正确；
故选：AC.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设正实数 ， ， ，满足 ，则当 取得最大值时， 的最大
值为__________________________
【答案】 ##
【解析】
【分析】将 化为 ，利用基本不等式可求出 时， 取最大
值，进而化简 为 ，结合二次函数性质，即得答案.
第 8页/共 16页【详解】由题意知正实数 ， ， ，满足 ，
即 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 ，即 最大值为 ，
此时 ，故 ，
当 ，即 时， 取最大值 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题涉及到多个变量，因此解答时要将变量转化 单变量问题解决.
13. 若不等式 的解集为 ，则 ____；不等式 的解集为
____
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题意确定 的两根 求得 ，即可求解.
【详解】由题意方程 ，有两根 ，
所以 ，解得： ，所以 ，
所以 即为： ，
即 ，
即 ，
所以解集为： ，
第 9页/共 16页故答案为： ，
14. 记号 表示 ， 中取较小的数，如 ，已知函数 是定义域为 的奇函数，
且当 时， ，若对任意 ，都有 ，则实数 的取
值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知定义，结合奇函数的性质，求出函数的解析式并画出函数的图象，利用数形结合思想进
行求解即可.
【详解】因为函数 是定义域为 的奇函数，所以有 ，
当 时，由 ，
所以 ，
因为函数 是定义域为 的奇函数，
所以当 时， ，
因此函数 的图象如下图所示：
因为对任意 ，都有 ，
第 10页/共 16页所以将函数 的图象向右平移后，图象在 的非下方，
因此有 且 ，解得 ，且 ，
因此实数 的取值范围是 ，
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知命题 p：方程 有两个不相等的实数根；命题 q： ．
（1）若 为假命题，求实数 m 的取值范围；
（2）若 p，q 中一真一假，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意 为真命题，则有 即可求解；
（2）由 p，q 中一真一假，分 真， 假和 假， 真，两种情况分类讨论即可求解.
【小问 1 详解】
由题意有： 为假命题，所以 为真命题，
又由方程 有两个不相等的实数根，
所以 ，
所以实数 m 的取值范围为 ；
【小问 2 详解】
由（1）有 为真命题，则 ，
因为 p，q 中一真一假，
所以当 真， 假时，有 ，
当 假， 真时，有 ，
第 11页/共 16页综上所述， ，
所以实数 m 的取值范围为 .
16. 设全集 ，集合 或 ， ．
（1）当 时，求图中阴影部分表示的集合 ；
（2）在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数
的取值范围．
【答案】（1） 或
（2）条件选择见解析，
【解析】
【分析】（1）当 时，求出集合 及 ，结合图形分析出阴影部分表示的集合 ，再
根据交集的定义求解即可；
（2）先分析出选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到 ，然后分 和 两种情况讨
论，列出不等式，求解即可.
【小问 1 详解】
因为全集 ，集合 或 ，
当 时， ，
所以 或 .
所以图中阴影部分表示的集合 或 ．
小问 2 详解】
① ；② ；③ ，
选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到 ，
当 时， ，解得 ；
第 12页/共 16页当 时， 或 ，
解得 或 ，所以 .
综上可知，实数 的取值范围是 ．
17. 已知 是一元二次方程 的两个不等实数根．
（1）若 均为正根，求实数 的取值范围；
（2）求使 的值为整数的 的整数值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题可得 ，判别式 和 ，运算得解；
（2）利用韦达定理化简，结合题意求解.
【小问 1 详解】
由题意，一元二次方程有两个正根 ，
故 ，得 ，
且 ，解得： .
【小问 2 详解】
由题意， ，
又当 ，即 时，且 ，
故 ，
由于 为整数，故 只能取 ，又 ，
第 13页/共 16页故整数 的值为 .
18. 已知函数 ，其中 .
（1）若 在区间 上具有单调性，求 的取值范围；
（2）当 时，函数 的最大值为 ，求实数 的值.
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案；
（2）根据对称轴 和区间 的关系，分三种情况讨论，由最大值是 得到 的值.
【小问 1 详解】
因为二次函数 的图象开口向下，对称轴为 ，且 在 上具有单调性，
所以，当 在 上单调递减时， ；当 在 上单调递增时， .
所以，实数 的取值范围是 ．
【小问 2 详解】
二次函数 的图象开口向下，对称轴为 ，
①当 时， 在 上单调递减，此时 ，
因为当 时，函数 最大值为 ，即 ，
解得 或 ，所以 ；
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 ，无解，所以 不存在，
③当 时， 在 上单调递增，
此时 ，
因为当 时，函数 的最大值为 ，
所以 ，解得 或 ，所以
第 14页/共 16页综上所述， 或 .
19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若 ，那么称点 是点 的“上位
点”.同时点 是点 的“下位点”；
（1）试写出点 的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点 是点 的“上位点”，判断点 是否既是点 的“上位点”，又
是点 的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数 满足以下条件：对集合 内的任意元素 ，总存在正整数 ，使得点
既是点 的“下位点”，又是点 的“上位点”，求正整数 的最小值.
【答案】（1） ，
（2）是，证明见解析 （3）4039
【解析】
【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点 的一个“上位点”的坐标为 ，
一个“下位点”的坐标为 ；
（2）由点 是点 的“上位点”得出 ，然后利用作差法得出 与 、 的大小关系，
结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论；
（3）先由 推导出 ，结合（2）中的结论，可得 ， ，满足
条件，可得出 的最小值.
【小问 1 详解】
由 ，
根据题意的定义可得点 的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为 和 .
【小问 2 详解】
点 既是点 的“上位点”，又是点 的“下位点”，证明如下：
因为点 是点 的“上位点”，所以 ，
第 15页/共 16页因为 ，
所以 ，所以点 是点 的“下位点”，
因为 ，
所以 ，所以点 是点 的“上位点”；
所以点 既是点 的“上位点”，又是点 的“下位点”；
【小问 3 详解】
若正整数 满足条件 ，在 ， 时恒成立，
即 ，
所以 所以 ，
所以 ， 在 ， 时恒成立，
所以 ，
又由（2）中的结论可知， ， 时，满足条件，
因此， 的最小值为 4039．
第 16页/共 16页
