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专题 06 旋转压轴四大题型
模型1 手拉手模型 模型3 奔驰模型
模型2 半角模型 模型4 费马点模型
模型一 手拉手模型 （共 3 小题）
1．（九年级上·辽宁鞍山·期中）已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB>CE．
(1)如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE；
(2)如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG=BD．
①求∠BDE的度数；
②若正方形ABCD的边长是❑√2，请求出△BCG的面积．
2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）（1）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一
点（不与点B重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC
之间满足的等量关系式为 ．
（2）探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，
使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，
求AD的长．
3．（辽宁盘锦·期末） 已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．
(1)如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；
(2)如图2，若∠ACD=α，则∠AFB=___________．（用含α的式子表示）；
(3)将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如
图3．试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．
模型二 半角模型 （共 3 小题）
1．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D, E在
BC上，且∠DAE=45°．
(1)画出将△ABD绕点A逆时针旋转90°后的三角形；
(2)若BD=3, CE=4，求DE的长．
2．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）（1）【问题背景】如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=2α,D,E为BC边上的点，且∠DAE=α,△ACE绕点A顺时针旋转2α得到
△ABF，连接DF，试猜想DF与DE的数量关系，并加以证明
（2）【类比探究】如图2，在△ABC中，∠CAB=60°,AB=AC,D、E均为BC边上的点，且
3
∠DAE=30°,BD=2,EC= ，求DE的长；
2
（3）【拓展应用】如图3，E是正方形ABCD内一点，∠AEB=90°,F是BC边上一点，且
∠EDF=45°，若AB=2，请直接写出当DE取最小值时CF=___________．
3．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的
点，满足∠EAF=45°，AE，AF分别与对角线BD交于点M，N．
(1)求证：
①EF=BE+DF；
②M N2=BM2+DN2；
(2)求EF的最小值．
4．（河北石家庄·期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．
下面是一个案例，请补充完整．【解决问题】
如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则
EF=BE+DF，试说明理由．
【思路梳理】
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
(1)根据以上思路可以证明，△AFG≌ （ ），从而可得EF=BE+DF．
(2)如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，
∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有
EF=BE+DF．请证明你的猜想：
1
(3)如图3，AB=AD，∠BAD≠90°，∠EAF≠45°，但∠EAF= ∠BAD，
2
∠B=∠D=90°，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系．
5．（24-25八陕西咸阳·开学考试）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长
线）于E，F．
(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），AE，CF，EF之间的数量关系为___________；
(2)当E在AD上，F在DC上，但AE≠CF（如图2）时，（1）中结论是否成立？请说明理由．
(3)当E在AD延长线上，F在DC延长线上（如图3）时，（1）中结论是否成立？若不成立，线段
AE，CF，EF之间又有怎样的数量关系？
模型三 奔驰模型 （共 2 小题）
1．（四川达州·期中）【提出问题】如图①，在等边△ABC内部有一点P，若∠APB=150°，求证：
AP2+BP2=CP2
【尝试解决】（1）证明：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP'B，连接PP'，
则△APP'为等边三角形，
∴∠APP'=60°， PA=PP'，PC= ，
∵∠APB=150°
∴∠BPP'=90°，
∴P'P2+BP2= ，
即PA2+PB2=PC2
【类比探究】（2）如图②，在三角形ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA,PB,PC之间的数量关系，并证明
【联想拓展】（3）如图③，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且
，满足 ，请直接写出 的值．
∠APB=60° (kPA) 2+PB2=PC2 k
2．（九年级上·河南安阳·期末）（1）探究发现
下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：
如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，若∠APB=150°．求证：AP2+BP2=CP2．
证明：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP'B，则
△PAC≌△P' AB，
∴PC=______．
连接PP'，则△APP'为______三角形，
∴∠APP'=60°，PA=P' A=PP'．
∵∠APB=150°，
∴∠BPP'=∠APB-∠APP'=150°-60°=90°，
∴在Rt△BPP'中，由勾股定理可得，P'P2+PB2=______，即PA2+PB2=PC2．
（2）类比延伸
如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，三角形内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线
段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明．
模型四 费马点模型（共 3 小题）
1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【背景资料】在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆
利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选
择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度
数）
当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接
PP'，由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为①______三角形，故PP'=PC，又P' A'=PA，
故PA+PB+PC=P' A'+PB+PP'≥A'B，由②______可知，当B，P，P'，A'在同一条直线上时，
PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有
∠APC=∠BPC=∠APB=③______；
【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题：
（1）如图3，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求
∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△APB绕顶点A旋转到△ACP'处，此时
△ACP' ≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，
从而求出∠APB=______；
（2）如图4，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°，判断
BE，EF，FC之间的数量关系为______；
【问题解决】怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外
侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．
请同学们探索以下问题．（1）如图5，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABD，连接CD，在
CD上取点P，使∠BPC=120°，连接AP、BP，
求证：点P是△ABC的费马点．
（2）如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为△ABC的费马点，连
接AP、BP、CP，则PA+PB+PC的值为______．
【学以致用】如图7所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，∠A=75°，
AB=2❑√2km，AC=4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离和最
小，则PA+PB+PC的最小值是______．
2．（九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，点P
是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到△P'CB，连接
PP'．若PA=❑√2，PB=3，∠APB=135°，则PC的长为___________，正方形ABCD的边长为
___________；
【变式猜想】
（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，请猜想∠APB的度数，
并说明理由；
【拓展应用】
（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：
如图3，△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=❑√3，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，
求出PA+PB+PC的最小值．3．（24-25九年级上·云南临沧·期末）已知等腰△CAB，CA=CB，点P为三角形内一点，连PA，PB，
PC．
(1)如图1，若△ABC为等边三角形，且PA=2，PB=❑√3,PC=❑√7，求∠BPA的度数以及AB边长；
(2)如图2，若CA=CB=13，AB=10，求PA+PB+PC的最小值．
4．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）在等边△ABC中，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕
点A顺时针旋转120°得到线段AE，则∠DAE=120°,AE=AD，连接BE交AD于点F，交AC于
点H．
(1)如图1，当点D为BC中点时，且AD=3，求点E到直线AB的距离；(2)如图2，猜想线段AB，BD，AH之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在△ABC内部有一个动点P，连接PA，PB，PC，若等边△ABC的高等于6，当
PA+PB+PC的值最小时，直接写出此时线段PC的长．
1.如图，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=7,AC=5,P为三角形内一点，则PA+PB+PC的最小值为
．
2.如图1，Rt△OCD中，∠COD=90°，OC=OD，点A、B分别在OC、OD上，且AB∥CD．
(1)直接写出AC和BD的数量关系；
(2)将△OAB绕点O逆时针旋转，连接AC、BD，如图2，第（1）题中AC和BD的数量关系是否仍
然成立？请说明理由；
(3)如图2，连接AD，若OA=1，AD=❑√2，AC=2，求∠DAO的度数及点A到OC的距离．3.阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为8，15，17，求∠APB的度
数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP' ≌△ABP，这
样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= ；
(2)基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：
EF2=BE2+FC2；
(3)能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连
接AO，BO，CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值．
4.【问题提出】如图①，在等边△ABC内部有一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度
数．
【类比探究】如图②，等腰Rt△ABC内部有一点P，已知PA=1，PB=2，PC=3，则∠APB=
_____．
【联想拓展】如图③，等腰Rt△ABC外部有一点P，已知PA=3，PB=1，PC=❑√11，则
∠APB=_____．
