文档内容
22.2用函数的观点看一元二次方程 新授
教学时间 课题 课型
（1） 课
知 识
和 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
能 力
教
过 程
学
和 使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。
目
方 法
标
情 感
态 度 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
价值观
使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次
教学重点
函数及其图象、性质去解决实际问题
教学难点 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想
课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图
一、引言
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、
拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本
节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。
二、探索问题
问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，
上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿
形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。
根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平
距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水
池内?
教学要点
1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函
数y＝－x2＋2x＋最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标；
2．学生解答，教师巡视指导；
3．让一两位同学板演，教师讲评。
问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，
现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为
2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超
过1m?
教学要点
1．教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD
的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横
坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得
到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步
算出点D的横坐标。
2．让学生完成解答，教师巡视指导。
3．教师分析存在的问题，书写解答过程。解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标
系。
这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可
设它的 函数关系式为：y＝ax2 (a＜0) (1)
因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是
(0.8，－2.4)。
因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －2.4＝a×0.82 所以：a＝－
因此，函数关系式是 y＝－x2 (2)
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
问题3：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题。
(1)图象与x轴交点的坐标是什么；
(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－＝0有什么关系?
(3)你能从中得到什么启发?
教学要点
1．先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的
画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－
x－的图象。
2．教师巡视，与学生合作、交流。
3．教师讲评，并画出函数图象，如图(4)所示。
4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出
的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－，
0)和(，0)。
5．让学生完成(2)的解答。教师巡视指导并讲
评。
6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交
流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x
－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“数”的方面看，当二
次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解。更
一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的
解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx
＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。
三、试一试
根据问题3的图象回答下列问题。
(1)当x取何值时，y＜0?当x取何值时，y＞0?
(当－＜x＜时，y＜0；当x＜－或x＞时，y＞0)
(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题? (能用含有x的不等式采描
述(1)中的问题，即x2－x－＜0的解集是什么?x2－x－＞0的解集是什么?)
想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系?
让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：
(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bJ＋c在x轴上方的图象上的点的横
坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐
标．即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。
(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自
变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函
数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bc＋c＜0的解。这一结
论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
四、小结： 1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?
2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程
ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情况。
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