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第二十四章《圆》同步单元基础与培优高分必刷卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要
求的）
1．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点
A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交A´B于点C，测出AB=40cm,CD=10 cm，则圆形工件
的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出BD的长；设圆心为O，连接OB，在
Rt△OBD中，可用半径OB表示出OD的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【详解】解：∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴直线CD经过圆心，设圆心为O，连接OB．
1
Rt△OBD BD= AB=20cm
2
中， ，
根据勾股定理得：
OD2+BD2=OB2，即：
(OB-10) 2+202=OB2，
解得：OB=25；
故轮子的半径为25cm，
故选：C．
2．如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是A´C的中点，连结BD,AC交于点E，若∠ECD=40°，则
∠BDC的度数是（ ）A．45° B．40° C．30° D．25°
【答案】D
【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点并能灵活运用．
连接AD，可得∠CAD=90°，进一步求得∠ADC=50°，再根据B是A´C的中点即可求出∠BDC=25°．
【详解】解：连接AD，
∵CD
是直径，
∴∠CAD=90°，
∵∠ECD=40°，
∴∠ADC=90°-40°=50°，
∵B是A´C的中点，
1
∴∠BDC= ∠ADC=25°．
2
故选：D．
3．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则∠B=（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得
到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
【详解】解：∵CD是⊙O的直径，
CAD＝90°，
∴∠ACD+ D＝90°，
∴∠ACD＝∠40°，
∵∠ADC＝∠B＝50°．
∴故∠选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．
4．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结论：①
∠ADB=∠BDC；②DA=DC；③当DB最长时，DB=2DC；④DA+DC=DB，其中一定正确的结论有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可得A´B=B´C，从而得到∠ADB= BDC，故①正确；根据点D是A´C上一动点，可
得A´D不一定等于C´D，故②错误；当DB最长时，DB为圆O的直∠径，可得∠BCD=90°，再由⊙O是等边△ABC
的外接圆，可得∠ABD= CBD=30°，可得DB=2DC，故③正确；延长DA至点E，使AE=AD，证明
△ABE CBD，可得BD∠=AE，∠ABE= DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到DE=BD，故④正确；即可
求解．≌△ ∠
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
AB=BC，∠ABC=60°，
∴∴A´B=B´C，
ADB= BDC，故①正确；
∴∵∠点D是∠A´C上一动点，
∴A´D不一定等于C´D，
DA=DC不一定成立，故②错误；
∴当DB最长时，DB为圆O的直径，
BCD=90°，
∴∵∠⊙O是等边△ABC的外接圆，∠ABC=60°，
BD AC，
∴ AB⊥D= CBD=30°，
∴∠ ∠∴DB=2DC，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
BCD+ BAD=180°，
∴∠BAE+∠BAD=180°，
∵∠BAE=∠BCD，
∴∠AB=BC∠，AE=CD，
∵ ABE CBD，
∴△BD=AE≌，△∠ABE= DBC，
∴ ABE+ ABD= D∠BC+ ABD= ABC=60°，
∴∠BDE是∠等边三∠角形，∠ ∠
∴△DE=BD，
∴DE=AD+AE=AD+CD，
∵∴DA+DC=DB，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和
性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性
质等知识是解题的关键．
5．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方
法来近似估算．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π
3❑√3
的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（ ）
2A．❑√3 B．2❑√2 C．3 D．2❑√3
【答案】C
1
【分析】根据圆内接正多边形的性质可得∠AOB=30°，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得BC= ，
2
根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对
的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30°，设
圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形OAB，过点B作BC⊥OA交OA于点于点C，
∵∠AOB=30°，
1 1
∴BC= OB= ，
2 2
1 1 1
则S = ×1× = ，
△OAB 2 2 4
1
故正十二边形的面积为12S =12× =3，
△OAB 4
圆的面积为π×1×1=3，
用圆内接正十二边形面积近似估计⊙O的面积可得π=3，
故选：C．
6．如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE=90°，BC为⊙O切线，C为切点，DE为⊙O直径，
CA=CD,则△ABC和△CDE面积之比为（ ）
A．1:3 B．1:2 C．❑√2:2 D．(❑√2-1):1【答案】B
【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算即可．
【详解】解：如图取DE中点O，连接OC．
∵DE是圆O的直径．
∴∠DCE=∠DCA=90°．
∵BC与圆O相切．
∴∠BCO=90°．
∵∠DCA=∠BCO=90°．
∴∠ACB=∠DCO．
∵∠ABD+∠ACD=180°．
∴∠A+∠BDC=180°．
又∵∠BDC+∠CDO=180°．
∴∠A=∠CDO．
∵∠ACB=∠DCO，AC=DC，∠A=∠CDO．
∴△ABC≅△DOC(ASA)．
∴S =S ．
△ABC △DOC
∵点O是DE的中点．
∴S =0.5S ．
△DOC △CDE
∴S =0.5S ．
△ABC △CDE
∴S :S =1:2
△ABC △CDE
故答案是：1 2．
故选：B． ∶
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理
以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
7．如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB，CD于点M，N，P是优弧MN上的一点，则∠MPN
的度数为( )A．55° B．60° C．72° D．80°
【答案】C
【分析】先根据正多边形内角和公式求出∠B=∠C=108°，根据切线的定义得出∠OMB=∠ONC=90°，进
1
而可得∠MON，再根据圆周角定理可得∠MPN= ∠MON．
2
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
(5-2)×180°
∴ ∠B=∠C= =108°，
5
∵ ⊙O切AB，CD于点M，N，
∴ ∠OMB=∠ONC=90°，
又∵五边形BMONC的内角和为(5-2)×180°=540°，
∴ ∠MON=540°-∠OMB-∠ONC-∠B-∠C=144°，
1
∴ ∠MPN= ∠MON=72°，
2
故选C．
【点睛】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的直径为
（ ）
A．❑√3 B．2❑√3 C．1 D．2
【答案】B
【分析】过D作DE AB垂足为E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1，再说明
Rt DEB Rt DCB得⊥到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+❑√3，最后根据勾股
定△理列式≌求出△x，进而求得AB．【详解】解：如图：过D作DE AB，垂足为E
AB是直径 ⊥
∵ ACB=90°
∴∠ABC的角平分线BD
∵∠DE=DC=1
∴在Rt DEB和Rt DCB中
DE=D△C、BD=BD△
Rt DEB Rt DCB（HL）
∴BE△=BC ≌ △
∴在Rt ADE中，AD=AC-DC=3-1=2
△
AE=❑√AD2-DE2=❑√22-12=❑√3
设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+❑√3
在Rt ABC中，AB2=AC2+BC2
则（x△+❑√3）2=32+x2，解得x=❑√3
AB=❑√3+❑√3=2❑√3
∴故填：2❑√3．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题
的关键．
9．如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，
且PQ交AD或交D´B于点Q．设AP=x(0
