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【新北师大版九年级数学】
2018 年第一次调研模拟卷（一）（解析版）
（全卷满分100分 限时90分钟）
一.选择题：（每小题3分共36分）
1．如图所示物体的俯视图是（ ）
【答案】D．
【解析】
试题分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
试题解析：从上面向下看，易得到横排有3个正方形．
故选D．
2．用配方法解方程 ，配方后的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：首先进行移项，左边保留二次项和一次项，右边保留常数项，然后在等式的左右两
边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出答案. +4x=-1， +4x+4=3，则 =3.
3．菱形ABCD一条对角线长为6，边AB长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD周长为（
） A． 8 B． 20 C． 8或20 D． 10
【答案】B
【解析】
试题分析：解方程可得：y=2或y=5，当边长为2时，对角线为6就不成立；则边长为5，则周长
为20.
4．将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，如果∠1＝ 56°，那么∠2等于( )
A．56° B．68° C．62° D．66°
【答案】B
【解析】
试题分析：根据折叠图形的性质以及平行线的性质可得：∠2=180°-2∠1=180°-
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2×56°=68°.
5．袋中有5个红球、4个白球、3个黄球，每一个球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球
是白球的概率（ ）A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵布袋中装有5个红球、4个白球、3个黄球，共12个球，从袋中任意摸出一个球
共有12种结果，其中出现白球的情况有4种可能，∴是白球的概率是 = ．
故选：B．
6．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】
试题解析：根据题意，可得△ADE∽△ABC，
根据相似三角形对应边成比例，可知B不正确，因为AE与EC不是对应边，
所以B不成立．
故选B．
7．给出4个判断：
①所有的等腰三角形都相似，②所有的等边三角形都相似，
③所有的直角三角形都相似，④所有的等腰直角三角形都相似．
其中判断正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
试题分析：由相似三角形的判定方法得出①③不正确；②④正确；即可得出结论．
解：∵所有的等腰三角形不一定相似，∴①不正确；
∵所有的等边三角形都相似，∴②正确；
∵所有的直角三角形不一定相似，∴③不正确；
∵所有的等腰直角三角形都相似，∴④正确；正确的个数有2个，故选：B．
8．某机械厂七月份的营业额为100万元,已知第三季度的总营业额共331万元, 如果平均每
月增长率为 ,则由题意列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
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【答案】D
【解析】
试题分析：因为平均每月增长率为 ,七月份的营业额为100万元,所以八月份的营业额为
100（1+x）万元, 九月份的营业额为 万元,根据第三季度的总营业额共331万元
可列方程得：
100+100（1+x）+ =331，即 ，故选：D．
9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的
长是（ ）A．2.5 B． C． D．2
【答案】B（提示：连接AC、CF）
【解析】
试题分析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC= 、CF= ，∠ACD=∠GCF=45°，再求出
∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF= = ，再根据直角三角形斜边
上的中线，可知CH= AF= .
故选：B
10．如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当A点在反比例函数y=
（x＞0）的图象上移动时，B点坐标满足的反比例函数解析式为（ ）
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A．y=﹣ （x＜0） B．y=﹣ （x＜0） C．y=﹣ （x＜0） D．y=﹣ （x＜0）
【答案】B
【解析】
试题分析：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，设B点坐标满足的函数解析
式是y= ，易得△AOC∽△OBD，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得S ：
△AOC
S =4，继而求得答案．
△BOD
解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
设B点坐标满足的函数解析式是y= ，
∴∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠BOD=∠OAC，∴△AOC∽△OBD，
∴S ：S = ，
△AOC △BOD
∵AO=2BO，∴S ：S =4，
△AOC △BOD
∵当A点在反比例函数y= （x＞0）的图象上移动，∴S = OC•AC= •x• = ，
△AOC
∴S = DO•BD= （﹣x• ）=﹣ k，∴ =4×（﹣ k），解得k=﹣
△BOD
∴B点坐标满足的函数解析式y=﹣ （x＜0）．
故选：B．
11．如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿
OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（ ）
A．变长了1.5米 B．变短了2.5米 C．变长了3.5米 D．变短了3.5
【答案】D．
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【解析】
试题分析：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴ ， ，则
，∴x=5； ，∴y=1.5，∴x﹣y=3.5，故变短了3.5米．
故选D．
12．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两
点的二次函数y 和过P、A两点的二次函数y 的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射
1 2
线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】
试题分析：此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比
较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的
最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE= ，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出
OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出 = ， = ，代入求出BF和
CM，相加即可求出答案．
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM．
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∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA= OA=2，
由勾股定理得：DE= =5，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴ = ， = ，
∵AM=PM= （OA-OP）= （4-2x）=2-x，即 = ， = ，
解得：BF= x，CM= - x，∴BF+CM= ．故选A．
二.填空题：（每小题3分共12分）
13．若a-b+c=0,a≠0, 则方程ax2+bx+c=0必有一个根是________．
【答案】-1
【解析】
试题分析：由题意可得：当x=-1时，有a-b+c=0,所以此方程必有一个根是x=-1.
14．如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的
顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意可得：平移后的函数解析式为：y= x(x+6)，则点P的坐标为(-3，- )，
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则点Q的坐标为(-3， )，则PQ=9，则阴影部分的面积=9×3÷2= .
15．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD
翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为 ．
【答案】 ﹣1．
【解析】
试题分析：如图所示：过点M作MF⊥DC于点F，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD
中点，可得2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，所以∠FMD=30°，即可得FD= MD= ，由锐角三角函
数可得FM=DM×cos30°= ，由勾股定理可得MC= ，所以EC=MC﹣ME= ﹣1．
16．在反比例函数 的图象上，有一系列点 ，若
的横坐标为 2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为 2，现分别过点
，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如下图所示，将图中
阴影部分的面积从左到右依次记为 ，则 ______．（用n
的代数式表示）
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【答案】 ．
【解析】
试题分析：由已知条件横坐标成等差数列，再根据点A、A、A、…、A、A 在反比例函数上，求
1 2 3 n n+1
出各点坐标，再由面积公式求出 S 的表达式，所以图中阴影部分的面积：
n
，因为 ，
所以 = ．
故答案为： ．
三.解答题：（共52分）
17．（1）计算：
2x2 3x50
（2）解方程：
【答案】(1)2；（2）x=1；x= .
1 2
【解析】
试题分析：（1）先分别计算绝对值、负整数指数幂、零次幂和算术平方根，然后再进行加减运
算即可.
（2）运用求根公式即可求出方程的解.
试题解析：（1） =2-4+1+3=2；
（2）∵a=2，b=3，c=-5
b2-4ac=32-4×2×(-5)=49＞0
∴x=
即：x=1；x= .
1 2
18．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连
接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
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（2）若AB= ，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）
【答案】（1）证明过程见解析；（2）2
3
【解析】
试题分析：（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，
OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；（2）
由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．
试题解析：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC， ∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AFO=∠CEO， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE， ∴四边形AECF是菱形；
（2）∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB= ， 在Rt△CDF中，cos∠DCF= ，∠DCF=30°，
∴CF= =2， ∵四边形AECF是菱形， ∴CE=CF=2， ∴四边形AECF是的面积为：
EC•AB=2 ．
19．甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值﹣1，2，5；乙口袋中装有3个相同的小
球，它们分别写有数值﹣4，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口
袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A的坐标为（x，y）．
（1）请用树状图或列表法表示点A的坐标的各种可能情况；
（2）求点A落在 的概率．
【答案】（1）列表见解析；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得（-1，-4），（2，2）在函数y=x2+x-4上，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：（1）
总共有9种等可能的结果；
（2）∵（-1，-4），（2，2）在函数y=x2+x-4上，
∴点A落在y=x2+x-4的概率P= ．
20．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60
件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，
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那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降
价多少元？
【答案】(1) 4800元；(2) 60元．
【解析】
试题分析：(1)先算出售出一件的利润，再乘以每月售出的60件，即可求出降价前商场每月
销售该商品的利润；(2)设每件商品应降价x元，则降价后每件的利润是（360﹣x﹣280）元，
降价后每月售出（5x+60）件，根据给出的使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，建立
一元二次方程求解，根据更有利于减少库存取解，于是求出答案.
试题解析：（1）先算出售出一件的利润，再乘以每月售出的60件，由题意，得60×（360﹣
280）=4800元．所以降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；（2）设要使商场每月销售
这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，那么降价后每
件的利润是（360﹣x﹣280）元，降价后每月售出（5x+60）件，由题意，得（360﹣x﹣280）
（5x+60）=7200，解得：x=8，x=60，∵更有利于减少库存，∴x=60．即要使商场每月销售这种
1 2
商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
21．如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点
D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线y= （k＞0）经过点D，交BC于点E．(1)、求双曲线的解析
式；(2)、求四边形ODBE的面积．
【答案】(1)、y= ；(2)、12.
【解析】
试题分析：(1)、作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，根据点A和点B的坐标得出BC=OM=2，
BM=OC=6，AM=3，根据DN∥BM得出△ADN∽△ABM，从而得出点D的坐标，然后求出反比例函数
的解析式；(2)、根据四边形的面积等于梯形OABC的面积减去△OCE的面积再减去△OAD的面
积得出答案.
试题解析：(1)、作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，如图， ∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，
6），
∴BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3， ∵DN∥BM， ∴△ADN∽△ABM， ∴ ，即
，
∴DN=2，AN=1， ∴ON=OA﹣AN=4， ∴D点坐标为（4，2）， 把D（4，2）代入y= 得k=2×4=8，
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∴反比例函数解析式为y= ；
(2)、S =S ﹣S ﹣S = ×（2+5）×6﹣ ×|8|﹣ ×5×2=12．
四边形ODBE 梯形OABC △OCE △OAD
22．如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点．
（1）求证：△BCF≌△DCE；
（2）求证：BF=DE，BF⊥DE；
（3）若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG：GC的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4：3．
【解析】
试题分析：（1）由四边形 ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，易得 BC=DC，
∠BCF=∠ECD，又由CE=CF，利用SAS即可证得△BCF≌△DCE；
（2）首先延长BF交DE于H，由△BCF≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等，即可得BF=DE，
又由全等三角形的对应角相等，易求得∠CDE+∠2=90°，则可得BF⊥DE；
（3）由BC=5，CF=3，∠BFC=90°，利用勾股定理即可求得BF的长，又由△BCF≌△DCE，即可得
DE的长，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，然后证得△DGE∽△CGF，根据相似三角形的对应边成比
例，即可求得答案．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠BCF+∠FCD=90°，
∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE，
∴∠ECD+∠FCD=90°，
∴∠BCF=∠ECD．
在△BCF和△DCE中，
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，
∴△BCF≌△DCE（SAS）；
（2）证明：延长BF交DE于H，
∵△BCF≌△DCE，
∴BF=DE，∠CBF=∠CDE，
∵∠CBF+∠1=90°，∠1=∠2，
∴∠2+∠CDE=90°，
∴∠DHF=90°，
∴BF⊥DE；
（3）解：在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90°，
∴BF= = =4．
∵△BCF≌△DCE，
∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°．
∴DE∥FC．
∴△DGE∽△CGF．
∴DG：GC=DE：CF=4：3．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，
3）， = ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最
大值；
（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好
落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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【答案】(1)y=﹣ x2﹣ x+3;(2) ;(3)点M的坐标是（﹣4，0），（﹣ ， ），（﹣ ， ）或
（2，0）．
【解析】试题分析：（1）由点C的坐标以及tan∠OAC= 可得出点A的坐标，结合点A、C的坐
标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，由点A、C的
解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，设N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的
坐标，由此即可得出PH关于x的解析式，利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，根据角的计算依据正方形的性质即可得出
△MCK≌△MEG（AAS），进而得出MG=CK．设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的
坐标，由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程即可求出x
值，将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标．
试题解析：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
∵tan∠OAC= ，
∴OA=4，
∴A（﹣4，0）．
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，
得 ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+3．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，
得： ，解得： ，
∴直线AC的解析式为y= x+3．
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设N（x，0）（﹣4＜x＜0），则H（x， x+3），P（x，﹣ x2﹣ x+3），
∴PH=﹣ x2﹣ x+3﹣（ x+3）=﹣ x2﹣ x=﹣ （x﹣2）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴PH有最大值，
当x=2时，PH取最大值，最大值为 ．
（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，则∠MGE=∠MKC=90°，
∴∠MEG+∠EMG=90°，
∵四边形CMEF是正方形，
∴EM=MC，∠MEC=90°，
∴∠EMG+∠CMK=90°，
∴∠MEG=∠CMK．
在△MCK和△MEG中， ，
∴△MCK≌△MEG（AAS），
∴MG=CK．
由抛物线的对称轴为x=﹣1，设M（x，﹣ x2﹣ x+3），则G（﹣1，﹣ x2﹣ x+3），K（0，﹣
x2﹣ x+3），
∴MG=|x+1|，CK=|﹣ x2﹣ x+3﹣3|=|﹣ x2﹣ x|=| x2+ x|，
∴|x+1|=| x2+ x|，
∴ x2+ x=±（x+1），
解得：x=﹣4，x=﹣ ，x=﹣ ，x=2，
1 2 3 4
代入抛物线解析式得：y=0，y= ，y= ，y=0，
1 2 3 4
∴点M的坐标是（﹣4，0），（﹣ ， ），（﹣ ， ）或（2，0）．
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