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武威市 2023 年初中毕业、高中招生考试
数学试卷
考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟.所有试题均在答题卡上作答，否则无效.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1.9的算术平方根是（ ）
A. B. C.3 D.
2.若 ，则 （ ）
A.6 B. C.1 D.
3.计算： （ ）
A.2 B. C. D.
4.若直线 （ 是常数， ）经过第一、第三象限，则 的值可为（ ）
A. B. C. D.2
5.如图， 是等边 的边 上的高，以点 为圆心， 长为半径作弧交 的延长线于点 ，
则 （ ）
A. B. C. D.
6.方程 的解为（ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司7.如图，将矩形 对折，使边 与 ， 与 分别重合，展开后得到四边形 .若
， ，则四边形 的面积为（ ）
A.2 B.4 C.5 D.6
8.据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》
中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列
结论错误的是（ ）
年龄范围（岁） 人数（人）
90-91 25
92-93
94-95
96-97 11
98-99 10
100-101
A.该小组共统计了100名数学家的年龄
B.统计表中 的值为5
C.长寿数学家年龄在92-93岁的人数最多
D.《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96-97岁的人数估计有110人
9.如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科
学领域做过的一些探索及成就.其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的
反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的
两侧；反射角等于人射角”。为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改
变光路，当太阳光线 与地面 所成夹角 时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入
学科网（北京）股份有限公司深井底部,则需要调整平面镜 与地面的夹角 （ ）
A. B. C. D.
10.如图1，正方形 的边长为4， 为 边的中点.动点 从点 出发沿 匀速运动，运动
到点 时停止.设点 的运动路程为 ，线段 的长为 ， 与 的函数图象如图2所示，则点 的坐标
为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11.因式分解： ________.
12.关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 ________（写出一个满足条件的
值）.
13.近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台
作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水
器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位
大气科学观测海拔最高的世界记录.如果把海平面以上9050米记作“ 米”，那么海平面以下10907米
记作“________米”.
学科网（北京）股份有限公司14.如图， 内接于 ， 是 的直径，点 是 上一点， ，则
________ .
15.如图，菱形 中， ， ， ，垂足分别为 ， ，若 ，
则 ________ .
16.如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人
民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰.而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是
兰州“水车之都”的象征.如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径） 长约为6米，辐条
尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，
水斗依次舀满河水在点 处离开水面，逆时针旋转 上升至轮子上方 处，斗口开始翻转向下，将水倾
入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从 处（舀水）转动到 处（倒水）所经过的路程是
________米.（结果保留 ）
三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
学科网（北京）股份有限公司17.（4分）计算： .
18.（4分）解不等式组：
19.（4分）化简： .
20.（6分）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作
图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中.请你利用数
学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知 ， 是 上一点，只用圆规将 的圆周四等分.（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①以点 为圆心， 长为半径，自点 起，在 上逆时针方向顺次截取 ；
②分别以点 ，点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于 上方点 ；
③以点 为圆心， 长为半径作弧交 于 ， 两点.即点 ， ， ， 将 的圆周四等分.
21.（6分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，
传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：
A.南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B.长征会师胜利之旅（会宁县）；C.西路军红色征程之旅（高台县），
且每人只能选择一条线路.小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路.他们准备了3张不透明的
卡片，正面分别写上字母 ， ， ，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮
先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片.
（1）求小亮从中随机抽到卡片 的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片 的概率.
22.（8分）如图1，某人的一器官后面 处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）.为避免伤害器
官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量
学科网（北京）股份有限公司获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离.方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
如图2，新生物在 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的 处照射新生物，检测射线与皮
说明 肤 的夹角为 ；再在皮肤上选择距离 处 的 处照射新生物，检测射线与皮肤
的夹角为 .
测量数据 ， ，
请你根据上表中的测量数据，计算新生物 处到皮肤的距离.（结果精确到 ）
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（7分）某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的
八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用
表示，分成6个等级： . ； . ； . ； . ； . ；
. ）.下面给出了部分信息：
a.八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如下：
b.八年级学生上学期期末地理成绩在 . 这一组的成绩是：
15，15，15，15，15，16，16，16，18，18
c.八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：
学科网（北京）股份有限公司学期 平均数 众数 中位数
八年级上学期 17.7 15
八年级下学期 18.2 19 18.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ________；
（2）若 为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有________人；
（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由.
24.（7分）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于点
.
（1）求点 的坐标；
（2）用 的代数式表示 ；
（3）当 的面积为9时，求一次函数 的表达式.
25.（8分）如图， 内接于 ， 是 的直径， 是 上的一点， 平分 ，
，垂足为 ， 与 相交于点 .
（1）求证： 是 的切线；
学科网（北京）股份有限公司（2）当 的半径为5， 时，求 的长.
26.（8分）
【模型建立】
（1）如图1， 和 都是等边三角形，点 关于 的对称点 在 边上.
①求证： ；
②用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由.
【模型应用】
（2）如图2， 是直角三角形， ， ，垂足为 ，点 关于 的对称点 在
边上.用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由.
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值.
27.（10分）如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，点 在
轴上.点 从点 出发，沿线段 方向匀速运动，运动到点 时停止.
学科网（北京）股份有限公司（1）求抛物线 的表达式；
（2）当 时，请在图1中过点 作 交抛物线于点 ，连接 ， ，判断四边形
的形状，并说明理由.
（3）如图2，点 从点 开始运动时，点 从点 同时出发，以与点 相同的速度沿 轴正方向匀速运动，
点 停止运动时点 也停止运动.连接 ， ，求 的最小值.
武威市 2023 年初中毕业、高中招生考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D C A B D B C
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 12. （答案不唯一，合理即可） 13.
14.35 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
（解法合理、答案正确均可得分）
17.（4分）
解：原式 ……………………………………………………2分
……………………………………………………3分
.…………………………………………………………4分
18.（4分）
解：解不等式组：
解不等式①，得 .……………………………………………………2分
解不等式②，得 .…………………………………………………………3分
学科网（北京）股份有限公司因此，原不等式组的解集为 .…………………………………………4分
19.（4分）
解：原式 …………………………2分
………………………………………………3分
.…………………………………………………………4分
20.（6分）
解：
即点 ， ， ， 把 的圆周四等分.……………………………………6分
21.（6分）
解：（1） （小亮抽到卡片 ） .…………………………………………2分
（2）列表如下：
小刚
小亮
……………………………………4分
或画树状图如下：
…………………………………………4分
学科网（北京）股份有限公司共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片 的结果有1种，
所以， （两人都抽到卡片 ） .………………………………………………6分
22.（8分）
解：过点 作 ，垂足为 .………………………………………………1分
由题意得， ， ，
在 中， .………………3分
在 中， .………………5分
∵ ，∴ ，
∴ .…………………………………………………………7分
答：新生物 处到皮肤的距离约为 .………………………………8分
四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
（解法合理、答案正确均可得分）
23.（7分）
解：（1）16；…………………………………………………………………………3分
（2）35；………………………………………………………………………………5分
（3）因为抽取的八年级学生的期末地理成绩的平均分（或中位数）下学期的比上学期的高，所以八年级学生
下学期期末地理成绩更好，（注：写出一个理由即可）…………………………7分
24.（7分）
解：（1）∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，∴ .…………………………………………………………2分
学科网（北京）股份有限公司（2）∵点 在一次函数 的图象上，
∴ ，即 .………………………………………………4分
（3）如图，连接 .
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，………………………………5分
∴ ，∴ ，
∴ ，……………………………………6分
∴一次函数的表达式为： .……………………………………7分
25.（8分）
（1）证明：∵ ，∴ .
∵ ，∴ .…………1分
∵ 平分 ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ .…………………………………………2分
∵ ，∴ ，
∴ ，即 .………………………………3分
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线.……………………………………………………4分
（2）连接 ，得 ，∴ .
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ .…………………………6分
∵ 是 的直径，∴ ，
∴ ，
∴ ，……………………………………7分
∴ ，
∴ .………………………………8分
26.（8分）
（1）①证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，………………………………1分
∴ .
∴ .……………………………………2分
② .理由如下：
∵ 和 关于 对称，∴ .
∵ ，∴ .
∴ .………………………………………………4分
（2）解： .理由如下：
如图，过点 作 于点 ，得 .
∵ 和 关于 对称，
∴ ， .
∵ ，∴ ，∴ .
∴ .………………………………5分
∵ 是直角三角形， ，
∴ ， ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ .
∴ ，即 .……6分
（3）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ .
如图，过点 作 于点 .
∵ ，
∴ ，…………………………7分
.
∴ .
∴ .…………………………………………8分
学科网（北京）股份有限公司27.（10分）
解：（1）∵抛物线 过点 ，
∴ ，∴ ，………………………………1分
∴ .………………………………………………2分
（2）四边形 是平行四边形.理由如下：
如图1，作 ，垂足为 ，连接 ， .
∵点 在 上，∴ ， ，
连接 ，∵ ，∴ .………………………………3分
∵ ，∴ .
∴ .………………………………4分
当 时， .
∴ .…………………………………………5分
∵ ，∴ .∴ .
∵ 轴， 轴，
∴ ，∴四边形 是平行四边形.………………………………7分
学科网（北京）股份有限公司（3）如图2，由题意得， ，连接 .
在 上方作 ，使得 ， .
∵ ， ，∴ .
∴ .
∵ ， ， ，
∴ ，………………………………8分
∴ ，
∴ （当 ， ， 三点共线时最短）.
∴ 的最小值为 .…………………………………………9分
∵ ，
∴ ，
即 的最小值为 .………………………………………………10分
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