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4.5 利用三角形全等测距离
基础训练
1.如图,将两根钢条 AA',BB'的中点 O 连在一起,使 AA',BB'可以绕着
点 O 自由转动,就做成了一个测量工件,由三角形全等得出 A'B'的长
等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是( )
A.边角边 B.角边角
C.边边边 D.角角边
2.如图,要测量河中礁石 A 离岸边 B 点的距离,采取的方法如下:顺着
河岸的方向任作一条线段 BC,作∠CBA'=∠CBA,∠BCA'=∠BCA.可得
△A'BC≌△ABC,所以 A'B=AB,所以测量 A'B 的长即可得 AB 的长.判定
图中两个三角形全等的理由是( )
A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS
3.某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳.图②是折叠凳撑开后
的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿 AB 和 CD 的长相
等,O 是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度 AD 设计为 30 cm,则由以上信息可推得 CB 的长度也为 30 cm,依
据是( )
A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS
4.教室里有几盆花,如图①,要想测量这几盆花两旁的 A,B两点间的距
离不方便,因此,选点 A,B 都能到达的一点 O,如图②,连接 BO 并延长
BO 到点 C,使 CO=BO,连接 AO 并延长 AO 到点 D,使 DO=AO.那么 C,D 两点
间的距离就是A,B两点间的距离.
理由:在△COD 和△BOA 中, 所以△COD≌△BOA(
).所以CD= .所以只要测出 C,D两点间的距离就可知 A,B两点
间的距离.
5.如图,由两根钢丝固定的高压电线杆,按要求当两根钢丝与电线杆的
夹角相同时,固定效果最好.现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等,
那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求,并说明理由.(电线
杆的粗细忽略不计)6.如图,小敏做了一个角平分仪 ABCD,其中 AB=AD,BC=DC,将仪器上的
点 A 与∠PRQ 的顶点 R 重合,调整 AB 和 AD,使它们分别落在角的两边
上,过点 A,C 画一条射线 AE,AE 就是∠PRQ 的平分线.此角平分仪的画
图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.
则说明这两个三角形全等的依据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
7.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达 B处的过程中,
通过隔离带的空隙 O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核
心价值观标语,其具体信息汇集如下:
如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD 相交于O,OD⊥CD,垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.
8.如图,为了测量出池塘两端 A,B 之间的距离,在地面上找到一点 C,
连接 BC,AC,使∠ACB=90°,然后在 BC 的延长线上确定点 D,使 CD=BC,
那么只要测量出 AD的长度就得到了 A,B两点之间的距离.你能说明其
中的道理吗?
9.如图,已知零件的外径为 a,要求它的厚度 x,动手制作一个简单的工
具,利用三角形全等的知识,求出x.10.如图,在△ABC中,D为AB的中点,AD=5 cm,∠B=∠C,BC=8 cm.
(1)若点 P 在线段 BC 上以 3 cm/s 的速度从点 B 向终点 C 运动,同时点
Q在线段CA上从点C向终点A运动.
① 若 点 Q 的 速 度 与 点 P 的 速 度 相 等 , 经 过 1 s 后 , 请 说 明
△BPD≌△CQP.
②若点 Q 的速度与点 P 的速度不等,当点 Q 的速度为多少时,能使
△BPD≌△CPQ?
(2)若点 P 以 3 cm/s 的速度从点 B 向点 C 运动,同时点 Q 以 5 cm/s 的
速度从点 C 向点 A 运动,它们都依次沿△ABC 三边运动,则经过多长时
间,点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P?
11.如图,AB=DC,∠A=∠D.试说明:∠ABC=∠DCB.
12.如图,在△ABC中,∠BAC=4∠ABC=4∠C,BD⊥AC交CA的延长线于点
D,求∠ABD的度数.13.农科所有一块五边形的试验田如图所示,已知在五边形 ABCDE 中,
∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=20 m,求这块试验田的面积.
参考答案
1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】A
4.【答案】SAS;BA
5.解:合乎要求.理由如下:
在△ABO和△ACO中,
所以△ABO≌△ACO(SAS).所以∠BAO=∠CAO.所以合乎要求.
分析:本题易误认为 AB=AC,由 BO=CO,AO=AO 判定△ABO≌△ACO
而出错.
6.【答案】D
解 : 因 为 在 △ ABC 和 △ ADC 中 ,AB=AD,BC=DC,AC=AC, 所 以
△ABC≌△ADC(SSS).故选D.
7.解:因为AB∥CD,所以∠ABO=∠CDO.
因为OD⊥CD,所以∠CDO=90°.
所以∠ABO=90°,即OB⊥AB.
因为相邻两平行线间的距离相等,
所以OD=OB.
在△ABO与△CDO中,
所以△ABO≌△CDO(ASA).
所以CD=AB=20米.
8.解:因为∠ACB=90°,所以∠ACD=180°-∠ACB=90°.
在△ABC和△ADC中,
所以△ABC≌△ADC(SAS).
所以AB=AD.9.解:可设计如图所示的工具,其中O为AC,BD的中点.
在△AOB和△COD中,
所以△AOB≌△COD(SAS).
所以AB=CD.所以测量出C,D之间的距离,CD的长就是A,B间的距离.
因为AB=a-2x,所以x= = .
10.解:(1)①因为BP=3×1=3(cm),CQ=3×1=3(cm),
所以BP=CQ.
因为D为AB的中点,
所以BD=AD=5 cm.
因为CP=BC-BP=8-3=5(cm),
所以BD=CP.
又因为∠B=∠C,所以△BPD≌△CQP(SAS).
②设点Q的运动时间为t s,运动速度为v cm/s.
因为△BPD≌△CPQ,
所以BP=CP=4 cm,BD=CQ=5 cm.
所以t= = s.所以v= = = (cm/s).
所以当点Q的运动速度为 cm/s时,能使△BPD≌△CPQ.
(2)设经过x s点Q第一次追上点P.
由题意,得5x-3x=2×10,
解得x=10.
所以点P运动的路程为3×10=30(cm).
因为30=28+2,
所以此时点P在BC边上.
所以经过10 s点Q第一次在边BC上追上点P.
11.解:如图,分别取AD,BC的中点N,M,连接BN,CN,MN,
则有AN=ND,BM=MC.
在△ABN和△DCN中,
所以△ABN≌△DCN(SAS).
所以∠ABN=∠DCN,NB=NC.在△NBM和△NCM中,
所以△NBM≌△NCM(SSS).
所以∠NBM=∠NCM.
所以∠NBM+∠ABN=∠NCM+∠DCN.
所以∠ABC=∠DCB.
分析:说明三角形全等时常需添加适当的辅助线,辅助线的添加以能创
造已知条件为上策.如本题取AD,BC的中点就是把中点作为已知条件,
这也是几何说明中的一种常用技巧.
12.解:设∠C=x°,则∠ABC=x°,∠BAC=4x°.
在△ABC中,x+x+4x=180,解得x=30.
所以∠BAC=120°.所以∠DAB=60°.
因为BD⊥AC,
所以∠ABD=90°-∠DAB=90°-60°=30°.
13.解:如图,延长DE至点F,使EF=BC,连接AC,AD,AF.易得CD=FD.因为
所以△ABC≌△AEF(SAS).
所以AC=AF.
在△ACD与△AFD中,因为
所以△ACD≌△AFD(SSS).
所以五边形ABCDE的面积是
2S =2× ·DF·AE=2× ×20×20=400(m2).
ADF
△
