七年级上册整式的概念知识讲解_1、初中学习资料_4-2、数学_4-2-1、初一数学上册_人教数学七年级上知识点总结

整式的概念 【学习目标】 1．掌握单项式系数及次数的概念； 2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念； 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式； 4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系． 【要点梳理】 要点一、单项式 1 1.单项式的概念：如2xy2， mn，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式， 3 单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；② 单独的一个数；③单独的一个字母． st 1 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如： 可以写成 st。但若分母 2 2 5 中含有字母，如 就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． m 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定 其系数； （2）圆周率 是常数．单项式中出现 时，应看作系数； π π （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时， 1 5 通常写成假分数，如：1 x2y写成 x2y． 4 4 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 要点二、多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：6x2 2x7是一个三项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次 数． （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 要点三、 整式 单项式与多项式统称为整式． 要点诠释：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示． 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式．【典型例题】 类型一、整式概念辨析 1．指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ ab 1 1 2 x2  y2，x， ，10，6xy1， ， m2n ，2x2 x5， ，a7 3 x 7 x2 x 1 【答案与解析】单项式有：x，10， m2n，a7； 7 ab 多项式有：x2  y2， ，6xy1，2x2 x5； 3 ab 1 整式有：x2  y2，x， ，10，6xy1， m2n，2x2 x5，a7． 3 7 2 1 1 【总结升华】 不是整式，因为分母中含有字母； a2  2 也不是多项式，因为 x2 x a a 不是单项式． 举一反三： 【高清课堂：整式的概念 例1】 2a 1 xy 1 【变式】下列代数式：①1;② ;③ ab3;④ ;⑤2x ;⑥x2y2-2x3y y3 ， 3  2 x 其中是单项式的是_______________，是多项式的是_______________。 【答案】①②③，④⑥ 类型二、单项式 2．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． 3a2b a 5  ，a，24x4， ，3a2y2，a-3，- ，-3108tm2，x2y 4 mn 3 3a2b 5 【答案与解析】 ，a，24x4，3a2y2，- ，-3108tm2，x2y是单项式，其中 4 3 3a2b 3  的系数是 ，次数是3；a的系数是-1，次数是1；24x4的系数是24，次 4 4 数是4； 5 3a2y2的系数是3，次数是4； 为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次 3 数为0； -3108tm2的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3； x2y只含有字母因数，系数是l，次数为字母指数之和为3．【总结升华】（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如24x4中，24 的指数4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）是常 数，不能看作字母． 举一反三： 【变式1】（2011•柳州）单项式3x2y3的系数是 ． 【答案】3． 【变式2】（2009·泰州）下列结论正确的是( )． A．没有加减运算的代数式叫做单项式． 3xy2 B．单项式 的系数是3，次数是2． 7 C．单项式m既没有系数，也没有次数． D．单项式xy2z的系数是-1，次数是4． 【答案】D 类型三、多项式 4 2 3.多项式 x2y x4y2x1，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是什 5 3 么？常数项是什么？这是几次几项式? 4 2 【答案与解析】这个多项式中共有四项，分别为： x2y, x4y2,x,1，它们的次数分 5 3 别为：3,6,1,0； 2 其中 x4y2的次数是6，是最高次项，一次项x的系数是-1，常数项是1，它是六次四项 3 式． 【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：（1）先求多项式中每一项的次数；（2）取这些 次数中的最大的数即为多项式的次数． 4x3 4. 已知多项式6xy2 7x3m1y2  yx2y5． 3 (1)求多项式各项的系数和次数． (2)如果多项式是七次五项式，求m的值． 【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项6xy2的系数是-6，次数是3；第 4 4 二项7x3m1y2的系数是-7，次数是3m+1；第三项 x3y的系数是 ，次数是4；第四项x2y 3 3 系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0． (2)由多项式是七次五项式，可得7x3m1y2的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2． 【总结升华】对于单项式7x3m1y2的次数为3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识． 举一反三： 【高清课堂：整式的概念 ------练习题---3】 【变式】多项式 a4  x3xbxb是关于x的二次三项式，求a与b的差的相反数． 【答案】 a40 a 4 解：由题意得   b2 b2  ab  42 2. 类型四、整式的应用 5.用整式填空： (1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A 的标价为a元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)． (2)甲商品的进价为1400元，若标价为a元，按标价的9折出售；乙商品的进价是400 元，若标价为b元，按标价的8折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：________ 乙： ________． 90%a 90%a1400 【答案】(1) ；(2)甲商品的利润率为 ，乙商 品的利润率为： 10%1 1400 80%b400 ． 400 【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等 问题，打几折就是标价的十分之几． 【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润＝售价－进价; (2)利润率＝ 售价-进价 ． 进价 举一反三： 【变式】有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块， 女生每人搬了30块．这a名男生和b名女生一共搬了 块砖（用含a．b的代数式表示）． 【答案】（40a+30b） 6.(2010·广东茂名)如图所示，用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去， 则摆第n个“口”字需用棋子 A．4n枚 B．(4n-4)枚 C．(4n+4)枚 D．n2枚 【答案】 A 【解析】第一个“口”字用4枚棋子，第二个“口”字用8枚棋子，第三个“口”字用12 枚棋子，由4＝4×1，8＝4×2，12＝4×3依此类推第n个“口”字需用棋子4n．【总结升华】找规律问题一般应经历四个阶级“特例引路”、“对比分析”、“总结规律”、“反 思检验”等．