文档内容
2014-2015学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若分式 有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． x≠0 B． x≥2 C． x≠2 D．x≤2
2．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A． x2﹣xy+x=x（x﹣y） B．a3﹣2a2b+ab2=a（a﹣b）2
C． x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3 D．ax2﹣9=a（x+3）（x﹣3）
3．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D．4
4．（3分）不等式﹣3x+6＞0的正整数解有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．无数多个
5．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交
BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN
的长为（ ）
A． 4cm B． 3cm C． 2cm D．1cm
6．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转
到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（ ）
1 / 28A． 30° B． 35° C． 40° D．50°
7．（3分）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后
因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程
为（ ）
A． B． =
C． D．
8．（3分）小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个
练习本4角，那么他最多能买笔记本（ ）本．
A． 7 B． 6 C． 5 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）用不等式表示：x与y的差小于2：_________．
10．（3分）分解因式：3a2+6a+3=_________．
11．（3分）已知 ，则 的值是_________．
12．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移l个单位，得到△DEF，若四边形
ABFD的周长是12，则△ABC的周长为_________．
13．（3分）已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=80°，则∠BOC=_________．
14．（3分）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点
A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是_________．
2 / 28三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
15．（5分）解不等式组 并将解集表示在数轴上．
16．（5分）分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．
四、（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
17．（7分）先化简 ÷（x﹣ ），然后从﹣2.5＜x＜2.5的范围内选取一个合
适的整数作为x的值代入求值．
18．（7分）如图，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆
形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R=6.8cm，r=1.6cm，他想知道剩余
阴影部分的面积，你能帮助小刚利用所学过的因式分解计算吗？请写出利用因式
分解的求解的过程（π取3）
3 / 28五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
19．（8分）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在
格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A ，在网格中画出平移后得到的
1
△A B C ；
1 1 1
（2）把△A B C 绕点A 按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的
1 1 1 1
△A B C ；
1 2 2
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB=5，AD=4，BD=DC=3，且DE⊥AB于E，DF⊥AC
于点F．
（1）请写出与A点有关的三个正确结论；
（2）DE与DF在数量上有何关系？并给出证明．
4 / 28六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件
乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和
为141元．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分
可以享受7折优惠，若超市购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，求y与x的
函数关系式；
（3）超市打算购买x件（x＞20）玩具，在（2）的条件下，从甲、乙两种玩具中选购
其中一种，问：当x满足什么条件时超市购进甲种玩具比购进乙种玩具更省钱？
22．（9分）如图，正方形ABCD中，CD=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将
△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
（1）求证：①△ABG≌△AFG； ②求GC的长；
（2）求△FGC的面积．
5 / 28七、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
23．（10分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分
∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：①ME⊥BC；②CM平分∠ACE．
24．（10分）如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三
角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直
角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明DM=DN；②在这一过程中，
直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN
6 / 28的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出
其面积；
（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，
DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，
DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出写出结论，不用证明．
7 / 282014-2015学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若分式 有意义，则x应满足的条件是（）
A． x≠0 B． x≥2 C． x≠2 D．x≤2
考点： 分式有意义的条件．
分析： 根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
解答： 解：要使分式 有意义，得x﹣2≠0．
解得x≠2，
故选：C．
点评： 本题考查了分式有意义的条件，分是有意义的条件是分式的分母不为零．
2．（3分）下列因式分解正确的是（）
A． x2﹣xy+x=x（x﹣y） B．a3﹣2a2b+ab2=a（a﹣b）2
C． x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3 D．ax2﹣9=a（x+3）（x﹣3）
考点： 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
分析： 利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答
案．
解答： 解：A、x2﹣xy+x=x（x﹣y+1），故此选项错误；
B、a3﹣2a2b+ab2=a（a﹣b）2，故此选项正确；
C、x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；
D、ax2﹣9，无法因式分解，故此选项错误．
故选：B．
点评： 此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准
公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
3．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（）
8 / 28A． 1 B． 2 C． 3 D．4
考点： 中心对称图形；轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答： 解：第一个图形市中心对称图形，第二个图形、第三个图形既是中心对称
图形，又是轴对称图形，第四个图形是轴对称图形，共2个，
故选：B．
点评： 此题主要中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）不等式﹣3x+6＞0的正整数解有（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．无数多个
考点： 一元一次不等式的整数解．
分析： 首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条
件的正整数即可．
解答： 解：不等式的解集是x＜2，故不等式﹣3x+6＞0的正整数解为1．故选A．
点评： 正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的
基本性质．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交
BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN
的长为（）
A． 4cm B． 3cm C． 2cm D．1cm
考点： 线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．
专题： 压轴题．
分析： 连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，
求出BM、CN值，代入MN=BC﹣BM﹣CN求出即可．
9 / 28解答： 解：
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，
∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm，
∴AB= =2 cm=AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE= AB= cm
同理CF= cm，
∴BM= =2cm，
同理CN=2cm，
∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm，
故选C．
点评： 本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角
三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推
理和计算的能力．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转
到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）
A． 30° B． 35° C． 40° D．50°
考点： 旋转的性质．
10 / 28分析： 旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，
旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问
题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
解答： 解：∵CC′∥AB，∠CAB=70°，
∴∠C′CA=∠CAB=70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°﹣2∠C′CA=40°．
故选：C．
点评： 本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与
旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
7．（3分）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后
因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程
为（）
A． B． =
C． D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
专题： 应用题．
分析： 本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，
然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程．
解答： 解：因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为：
，根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间 减去提前完成时
间 ，可以列出方程： ．
故选：D．
点评： 这道题的等量关系比较明确，直接分析题目中的重点语句即可得知，再
利用等量关系列出方程．
11 / 288．（3分）小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个
练习本4角，那么他最多能买笔记本（）本．
A． 7 B． 6 C． 5 D．4
考点： 一元一次不等式的应用．
分析： 根据小明买笔记本所花的钱和练习本所花的钱＜等于30元，设他最多能
买笔记本x本，就可列出不等式进行求解．
解答： 解：设他最多能买笔记本x本，则练习本30﹣x本．
由题意得：4x+0.4（30﹣x）≤30
得：x≤5
故他最多能买笔记本5本．
故选C．
点评： 本题主要是根据已知条件列出不等式进行求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）用不等式表示：x与y的差小于2： x﹣y ＜ 2 ．
考点： 由实际问题抽象出一元一次不等式．
分析： 要解答本题，读懂题意，首先表示出x与y的差，因为其差小于2，所以用
小于符号将x与y的差与2连接，建立一个不等式就可以了．
解答： 解：由题意，得x﹣y＜2
故答案为：x﹣y＜2．
点评： 本题是一道由实际问题抽象出来的列不等式得题目，考查了不等式的意
义，对题目要求的理解．
10．（3分）分解因式：3a2+6a+3= 3 （ a+1 ） 2 ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 因式分解．
分析： 先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解答： 解：3a2+6a+3，
=3（a2+2a+1），
=3（a+1）2．
故答案为：3（a+1）2．
12 / 28点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式
首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到
不能分解为止．
11．（3分）已知 ，则 的值是 ﹣ 2．
考点： 分式的加减法．
分析： 先把所给等式的左边通分，再相减，可得 = ，再利用比例性质可得
ab=﹣2（a﹣b），再利用等式性质易求 的值．
解答： 解：∵ ﹣ = ，
∴ = ，
∴ab=2（b﹣a），
∴ab=﹣2（a﹣b），
∴ =﹣2．
故答案是：﹣2．
点评： 本题考查了分式的加减法，解题的关键是通分，得出 = 是解题关键．
12．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移l个单位，得到△DEF，若四边形
ABFD的周长是12，则△ABC的周长为10．
考点： 平移的性质．
分析： 根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长
=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案．
解答： 解：根据题意，将△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，
13 / 28∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=12，
∴AB+BC+AC=10，
故答案为：10．
点评： 本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平
移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到
CF=AD，DF=AC是解题的关键．
13．（3分）已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=80°，则∠BOC=160°．
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 由点O为三边垂直平分线交点，得到点O为△ABC的外心，根据同弧所
对的圆周角等于圆心角的一半即可得到结果．
解答： 解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，
∴点O为△ABC的外心，
∴∠BOC=2∠BAC，
∵∠BAC=80°，
∴∠BOC=160°，
故答案为：160°．
点评： 本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外心的性质，解答本题关
键熟练掌握圆周中同一弧线所对应的圆周角是圆心角的一半．
14．（3分）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点
A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是 15° 或 165° ．
14 / 28考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质 ．
专题： 压轴题；分类讨论．
分析： 利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF（SSS），有相
似三角形的性质和已知条件即可求出当BE=DF时，∠BAE的大小，应该注意的
是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情
况分别求解．
解答： 解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，
当BE=DF时，
∴ ，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠FAD，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠FAD=30°，
∴∠BAE=∠FAD=15°，
②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，
当BE=DF时，
∴AB=AD BE=DF AE=AF，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠FAD，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE=（360°﹣90°﹣60°）× +60°=165°，
∴∠BAE=∠FAD=165°
故答案为：15°或165°．
15 / 28点评： 本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三
角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性不小．
三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
15．（5分）解不等式组 并将解集表示在数轴上．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后
把不等式的解集表示在数轴上即可．
解答： 解： ，
解①得：x≤1， 解②得：x＜4，
将解集表示在数轴上为：
故不等式组的解集是：x≤1．
点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判
断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两
数之间．
16．（5分）分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
16 / 28分析： 显然只需将y﹣x=﹣（x﹣y）变形后，即可提取公因式（x﹣y），然后再运
用平方差公式继续分解因式．
解答： 解：x2（x﹣y）+（y﹣x），
=x2（x﹣y）﹣（x﹣y），
=（x﹣y）（x2﹣1），
=（x﹣y）（x﹣1）（x+1）．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首
先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不
能分解为止．
四、（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
17．（7分）先化简 ÷（x﹣ ），然后从﹣2.5＜x＜2.5的范围内选取一个合
适的整数作为x的值代入求值．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式= • = ，
若取x=1，则原式= ．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（7分）如图，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆
形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R=6.8cm，r=1.6cm，他想知道剩余
阴影部分的面积，你能帮助小刚利用所学过的因式分解计算吗？请写出利用因式
分解的求解的过程（π取3）
17 / 28考点： 因式分解的应用．
分析： 用大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩余阴影部分的面积，分解
因式然后把R和r的值代入计算出对应的代数式的值．
解答： 解：阴影部分面积=πR2﹣4πr2
=π（R2﹣4r2）
=π（R﹣2r）（R+2r）
=3×﹙6.8+2×1.6﹚×﹙6.8﹣2×1.6﹚
=108．
点评： 此题考查因式分解的运用，看清题意利用圆的面积计算公式列出代数式，
进一步利用提取公因式法和平方差公式因式分解解决问题．
五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
19．（8分）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在
格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A ，在网格中画出平移后得到的
1
△A B C ；
1 1 1
（2）把△A B C 绕点A 按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的
1 1 1 1
△A B C ；
1 2 2
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．
考点： 弧长的计算；作图-平移变换；作图-旋转变换．
专题： 作图题；网格型．
18 / 28分析： （1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离；
（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度；
（3）利用弧长公式求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．
解答： 解：（1）连接AA ，然后从C点作AA 的平行线且AA =CC ．
1 1 1 1
同理找到点B．
（2）画图如下：
（3）B经过（1）、（2）变换的路径如图红色部分所示：
，
弧B B 的长= ，
1 2
19 / 28故点B所走的路径总长= ．
点评： 本题主要考查了平移变换、旋转变换的相关知识，做这类题时，理解平移
旋转的性质是关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB=5，AD=4，BD=DC=3，且DE⊥AB于E，DF⊥AC
于点F．
（1）请写出与A点有关的三个正确结论；
（2）DE与DF在数量上有何关系？并给出证明．
考点： 勾股定理；勾股定理的逆定理．
分析： （1）先运用勾股定理的逆定理证明△ABD为直角三角形，且
∠ADB=90°，再运用勾股定理求出AC=5，则AB=AC，然后利用等腰三角形的性
质即可求解；
（2）根据角平分线的性质即可得出DE=DF．
解答： 解：（1）AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，AB=AC等．理由如下：
∵AB=5，AD=4，BD=3，
∴42+32=52．
∴△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°．
∵CD=3，
∴ ，
∴AB=AC，
又∵BD=CD，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD；
（2）DE=DF，理由如下：
∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF．
20 / 28点评： 本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形、角平分线的性质，难度适
中．运用勾股定理的逆定理证明△ABD为直角三角形是解题的关键．
六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件
乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和
为141元．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分
可以享受7折优惠，若超市购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，求y与x的
函数关系式；
（3）超市打算购买x件（x＞20）玩具，在（2）的条件下，从甲、乙两种玩具中选购
其中一种，问：当x满足什么条件时超市购进甲种玩具比购进乙种玩具更省钱？
考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用 ．
分析： （1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，根据
“5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进
价与3件乙种玩具的进价的和为141元”列出方程组解决问题；
（2）分情况：不大于20件；大于20件；分别列出函数关系式即可；
（3）设购进玩具x件（x＞20），分别表示出甲种和乙种玩具消费，建立不等式解决
问题．
解答： 解：（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，
由题意得： ，
解得： ．
答：件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元；
（2）当0＜x≤20时，y=30x；
当x＞20时，y=20×30+（x﹣20）×30×0.7=21x+180；
（3）设购进玩具x件（x＞20），则乙种玩具消费27x元，甲种玩具消费（21x+180）
元，
当27x＞21x+180，则x＞30，
所以当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱．
21 / 28点评： 此题考查二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式的运用，解决本题
的关键是理解题意，正确列式解决问题．
22．（9分）如图，正方形ABCD中，CD=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将
△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
（1）求证：①△ABG≌△AFG； ②求GC的长；
（2）求△FGC的面积．
考点： 翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质 ．
分析：（1）①利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL
定理得出△ABG≌△AFG即可；
②利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；
（2）首先过C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM=2.4，进而得出
答案
解答： 解：（1）①在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
②∵CD=3DE
∴DE=2，CE=4，
设BG=x，则CG=6﹣x，GE=x+2
∵GE2=CG2+CE2
22 / 28∴（x+2）2=（6﹣x）2+42，
解得x=3，
∴CG=6﹣3=3；
（2）如图，过C作CM⊥GF于M，
∵BG=GF=3，
∴CG=3，EC=6﹣2=4，
∴GE= =5，
CM•GE=GC•EC，
∴CM×5=3×4，
∴CM=2.4，
∴S = GF×CM= ×3×2.4=3.6．
△FGC
点评： 此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变
换的性质得出对应线段相等是解题关键．
七、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
23．（10分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分
∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：①ME⊥BC；②CM平分∠ACE．
23 / 28考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： （1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出
∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然
后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明
即可；
（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出
HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出
HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求
解即可；
②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明
Rt△ACM和Rt△ECM全等即可得到结论．
解答： 证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
24 / 28∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC；
②由题意得，∠CAE=45°+ ×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
∴AC=CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中， ，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），
∴∠ACM=∠ECM，
∴CM平分∠ACE．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，
角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直
角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等
的角．
24．（10分）如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三
角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直
角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
25 / 28（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明DM=DN；②在这一过程中，
直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN
的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出
其面积；
（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，
DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，
DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出写出结论，不用证明．
考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 ．
专题： 压轴题；探究型．
分析：（1）连接BD，证明△DMB≌△DNC．根据已知，全等条件已具备两个，再
证出∠MDB=∠NDC，用ASA证明全等，四边形DMBN的面积不发生变化，因为
它的面积始终等于△ABC面积的一半；
（2）成立．同样利用（1）中的证明方法可以证出△DMB≌△DNC；
（3）结论仍然成立，方法同（1）．
解答： 解：（1）①如图1，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC=AD，∠BDC=90°，
∴∠ABD=∠C=45°，
∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，
∴∠MDB=∠NDC，
∴△BMD≌△CND（ASA），
∴DM=DN；
②四边形DMBN的面积不发生变化；
26 / 28由①知△BMD≌△CND，
∴S =S ，
△BMD △CND
∴S =S +S =S +S =S = S = × = ；
四边形DMBN △DBN △DMB △DBN △DNC △DBC △ABC
（2）DM=DN仍然成立；
证明：如图2，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC，∠BDC=90°，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴∠DBM=∠DCN=135°，
∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，
∴∠CDN=∠BDM，
则在△BMD和△CND中， ，
∴△BMD≌△CND（ASA），
∴DM=DN．
（3）DM=DN．
27 / 28点评： 本题利用ASA求三角形全等，还运用了全等三角形的性质，等腰直角三
角形的性质，及等腰三角形三线合一定理，勾股定理和面积公式的利用等知识．
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