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绝密★启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 设集合M =1,3,5,7,9,N = x 2x>7 ，则M
I
N =（ ）
7,9 5,7,9 3,5,7,9 1,3,5,7,9
A. B. C. D.
2.
为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到
如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
第1页 | 共6页B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3. 已知(1-i)2z =3+2i，则z =（ ）
3 3 3 3
A. -1- i B. -1+ i C. - +i D. - -i
2 2 2 2
4. 下列函数中是增函数的为（ ）
x
A. f x=-x B. f x= æ ç 2ö ÷ C. f x= x2 D. f x= 3 x
è3ø
5. 点 3,0 到双曲线
x2
-
y2
=1的一条渐近线的距离为（ ）
16 9
9 8 6 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
6.
青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视
力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L=5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的
数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（1010 »1.259）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
7.
在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面
体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A. B. C. D.
第2页 | 共6页8. 在
V
ABC 中，已知B =120，AC= 19，AB=2，则BC =（ ）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 3
9. 记S 为等比数列 a 的前n项和.若S =4，S =6，则S =（ ）
n n 2 4 6
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
æ pö cosa
11. 若aÎ ç 0, ÷ ,tan2a= ，则tana=（ ）
è 2ø 2-sina
15 5 5 15
A. B. C. D.
15 5 3 3
æ 1ö 1 æ5ö
12. 设 f x 是定义域为R的奇函数，且 f 1+x= f -x .若 f ç - ÷ = ，则 f ç ÷ =（ ）
è 3ø 3 è3ø
5 1 1 5
A. - B. - C. D.
3 3 3 3
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
r r r r r r r r
13. 若向量a,b满足 a =3, a-b =5,a×b=1，则 b = _________.
14. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30p则该圆锥的侧面积为________.
æpö
15. 已知函数 f x=2coswx+j 的部分图像如图所示，则 f ç ÷ =_______________.
è 2ø
x2 y2
16. 已知F,F 为椭圆C： + =1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且
1 2
16 4
第3页 | 共6页PQ = FF ，则四边形PFQF 的面积为________．
1 2 1 2
三､解答题：共70分.解答应写出交字说明､证明过程程或演算步骤，第17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共60分.
17.
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用
两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
n(ad-bc)2
附：K2 =
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P K2 ³k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18.
记S 为数列 a 的前n项和，已知a >0,a =3a ，且数列 S 是等差数列，证明： a 是等差数列.
n n n 2 1 n n
19.
已知直三棱柱ABC-ABC 中，侧面AABB为正方形，AB= BC =2，E，F分别为AC和CC 的中点
1 1 1 1 1 1
，BF ^ AB .
1 1
第4页 | 共6页（1）求三棱锥F -EBC的体积；
（2）已知D为棱AB 上的点，证明：BF ^ DE.
1 1
20. 设函数 f(x)=a2x2 +ax-3lnx+1，其中a >0.
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若y = f x 的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.
21. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP^OQ．已知点
M 2,0 ，且
e
M 与l相切．
（1）求C，
e
M 的方程；
（2）设A
1
,A
2
,A
3
是C上的三个点，直线A
1
A
2
，A
1
A
3
均与
e
M 相切．判断直线A
2
A
3
与
e
M 的位置关系，
并说明理由．
(二)选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
r=2 2cosq．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为 1,0 ，M为C上的动点，点P满足 u A u P ur = 2 u A u M uur ，写出Р的轨迹C 的参数方程，
1
并判断C与C 是否有公共点．
1
第5页 | 共6页[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数 f(x)= x-2,g(x)= 2x+3 - 2x-1．
（1）画出y = f x 和y = gx 的图像；
（2）若 f x+a³ gx ，求a的取值范围．
第6页 | 共6页
