2023年广东学考数学真题卷及解析_普高真题卷_广东数学普高学考(春考)_真题卷(2020-2025)

2023 年广东省普通高中学业水平合格性考试 数 学 （考试回忆版） （时间：90分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合M  0,1,2 ，N 1,0,1 ，则M N （ ） A． 0,1  B． 0,1,2  C．1,0,1,2  D．1,0,1  【答案】C 【解析】由题得，求并集，得M N 1,0,1,2 ．故选C. 2．下列函数中，在定义域内上是增函数的是（ ） A． f  x x B． f  x  x2 C． f  x 3x D． f  x  1 x 【答案】C 【解析】由题得，在定义域内是增函数，选项A为一次函数，，为减函数；选项B为二次函数，开口向下，在 为增函数，在为减函数，不符合题意；选项C是指数函数，为增函数，符合；选项D是反比例函数,不符合．故 选C. 3．已知x0，y0，且xy36，则x y的最小值是（ ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【解析】由均值定理得，x y2 xy 2 36 2612．故选B. 4．不等式 x5  x2 0的解集是（ ） A． x|x2或x5  B． x|x5或x2  C． x|2 x5  D． x|5 x2  【答案】A 【解析】令x50,x5，令x20,x2，大于号取两边，得 x|x2或x5 ．故选A. 5．已知向量a 2,0 ，b1,2 ，则ab（ ） A． 1,2  B． 3,2  C． 2,1  D．3,2  【答案】A 【解析】由题得，ab 2,0 (1,2)(2(1),02)(1,2)．故选A. 6．下列是函数中，是对数函数的是（ ） A． B． C． D．【答案】A 【解析】由题得，对数函数恒过定点（1,0）．故选A.   7．已知角的顶点与坐标点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过P1, 3 ，则tan的值为（ ） 3 1 3 A． B． C． D． 3 2 2 3 【答案】D y 3 【解析】由题得，tan   3．故选D. x 1 8．某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（ ） A．至多中一次 B．两次都投中 C．只投中一次 D．两次都没投中 【答案】D 【解析】至少投中一次，可能是一次或者两次，则他的对立事件是两次都没有投中．故选D. 9．要使 f  x sin  x 1   是正弦函数，则正弦图像（ ）  6 1 1 A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 6 6   C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 6 6 【答案】A 1  1 【解析】由题得，左加右减，正弦函数ysinx向左平移 个单位，可得到ysinx ．故选A. 6  6 10．，已是两个不同平面，A://，B:与没有公共点，则A是B的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为,是两个不同的平面，所以“//”，可得到,没有公共点，反之也成立，所以是充要条件．故 选C. 11．已知函数 f  x  lgx，x0 ，若a f  1   ，则 f  a 的值为（ ） 2x，x0 10 1 1 A．2 B．1 C． D． 10 2 【答案】D 【解析】由题得， f  1   lg 1 lg101 1，所以a f  1   1，则 f  a  f 1 21 10 10 10 1  ．故选D. 2 12．a2 b2 c2，则a、b和c三个数称之为勾股数，3,4,12,13任取两个，能和5组成勾股数的概率是（ ） 1 1 1 1 A． B． C． D． 6 3 4 2 【答案】B【解析】由题得，3,4,12,13四个数抽取2个数，总的事件有C2  43 6件，与5能组成勾股数的有 3,4  ,  12,13  4 21 2 1 共2组，所以概率为P  ．故选B. 6 3 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分． 13．已知复数z1 m2  i，要让z为实数，则m为 ． 【答案】2 【解析】由题得，为实数，即虚部为零，得m20，m2. 14． f  x cos2x的最小正周期为 ． 【答案】 2 2 【解析】由题得，函数最小正周期为T   .  2 15．棱长为2的正方体的内切球的直径为 ． 【答案】2 【解析】正方体内切球的直径等于其棱长，所以棱长为2的正方体的内切球的直径为2. 16．已知向量a和b的夹角为90°，a2，b 3，则ab ． 【答案】0 【解析】由题得，ab a bcos902 300. 17．已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方 法选取27人，则高二抽取的人数为 ． 【答案】9 450 x 【解析】设高二抽取人数为x，得  ，解得x9. 400450500 27 18．函数 f  x 是偶函数，x0时， f  x  x  1x ，则 f 1  ． 【答案】2 【解析】由题得，x0， f 11112，因为该函数是偶函数，所以 f 1  f  1 2. 三、解答题：本大题共4个大题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明、证明过程 和演算步骤． 2 3 19．在ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，b2，c ，B60． 3 （1）求C； （2）求a． 【解析】解： 2 3 （1）由题得，由正弦定理得， b  c ，代入得， 2  3 ，解得sinC  1 ，因为0C，所以C 30； sinB sinC 3 sinC 2 22 2 3 a2   22   a2 c2 b2 1  3  4 3 （2）由余弦定理cosB 得，  ，解得a . 2ac 2 2 3 3 2a 3 20．甲和乙射箭，两人比赛的分数结果如下： 甲 8 6 8 6 5 9 乙 6 7 7 8 10 4 求甲和乙分数的平均数和方差，说明甲和乙发挥的情况． 868659 42 6778104 42 【解析】x甲   7，x乙   7， 6 6 6 6 S2  1  87 2  67 2  87 2  67 2  57 2  97 2   1 (111144) 12 2， 6 6 6 S2  1  67 2  77 2  77 2  87 2  107 2  47 2   1 (100199) 20  10 2 10 ,S2 S2， 甲 乙 6 6 6 3 3 所以甲发挥的更稳定. 21．某个企业十年内投资一个项目，2022年投资200万，之后每一年的投资数额比前一年增长10%． （1）求该企业2024年在该项目的投资金额； （2）该企业在哪一年的投资金额将达到400万元？ 【解析】解： （1）设n为2022年后的第n年（n≥1）， x 为2022年后第n年的投资额， n 之后年的投资额比前一年增加10%， x 200  110% n, n 当n2，x 200  110% 2 242万， 2 所以该企业在2024年在该项目的投资金额是242万元； （2）当x 400时，200  110% n 400， n 1.1n 2,log 1.1n log 2，解得n7.4， 1,1 1,1 所以20227.42029.4， 所以在2030年的投资金额将达到400万． 22．如图，圆的直径为4，直线PA 垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点． （1）证明BC 面PAC ； （2）若PA 2 2，AC 2，求PB与面PAC 的夹角． 【解析】解： （1）因为AB是圆的直径，C是圆上一点，所以AC BC ， 因为PA面ABC,且BC面ABC，所以PABC , 由BC  AC ，BC PA，ACPAA,AC 面PAC ,PA面PAC , 所以BC 面PAC ；（2）因为BC 面PAC ，则PB与面PAC 的夹角为BPC， 在RtPAC 中，PA2 2，AC2， 则PC  PA2 AC2  (2 2)2 22  12 2 3 , 在RtABC 中，ACB90,AB4，AC2， 则BC  AB2 AC2  42 22  12 2 3 , 所以BC PC 因此，PBC 为等边直角三角形，则BPC45， 所以PB与面PAC 的夹角为45．